金 星， 常 浩， 彭 博， 魯 海

(中國人民解放軍裝備學(xué)院， a.激光推進(jìn)及其應(yīng)用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; b.研究生管理大隊(duì)，北京 101416)

1 背景

在工程中，快速、準(zhǔn)確地確定備件需求量對于提高系統(tǒng)運(yùn)行可靠性有著舉足輕重的作用。但在分析系統(tǒng)所需備件數(shù)量時，由于問題的復(fù)雜性很難求出精確解，所以一般采用蒙特卡羅仿真方法計(jì)算［1－4］，但蒙特卡羅仿真計(jì)算過程十分耗費(fèi)機(jī)時且計(jì)算精度不高。例如，相同指數(shù)分布單元組成的r/n系統(tǒng)，系統(tǒng)故障概率［5］為

系統(tǒng)不可用度為

這種特殊的被積分函數(shù)以及雙重積分計(jì)算，即使采用數(shù)值計(jì)算方法或蒙特卡羅仿真方法，計(jì)算過程都將是十分耗時和繁瑣的。因此，工程上迫切需要一種能夠快速并且準(zhǔn)確求出備件所需數(shù)量的方法。

一般來說，相同分布單元組成的串聯(lián)、并聯(lián)和旁聯(lián)等系統(tǒng)是工程中常見情況，大多數(shù)電子產(chǎn)品可以看成是由相同指數(shù)分布單元組成的此類典型系統(tǒng)。本文在假定修復(fù)時間忽略不計(jì)的條件下，采用泊松過程方法，提出系統(tǒng)平均可靠度的解析分析方法，由于此分析方法存在解析解，從而為工程中備件策略的制定提供了簡捷并且物理意義明確的解析分析方法，具有一定的工程實(shí)用價值。

2 確定備件數(shù)目的基本方法

2.1 按照故障次數(shù)確定

設(shè)給定時間間隔(0，τ］內(nèi)，產(chǎn)品故障次數(shù)N(τ)是隨機(jī)變量，所能提供的備件數(shù)目為k，備件充足概率(不缺備件概率)p［N(τ)≤k］滿足

從而可解得備件數(shù)目k，備件充足概率是概率指標(biāo)，工程中應(yīng)用不直觀、不方便［6－7］。

2.2 按照平均不能工作時間確定

設(shè)給定時間間隔(0，τ］內(nèi)，所能提供的備件數(shù)目為k，要求產(chǎn)品平均不能工作時間滿足

式中:U(t)為產(chǎn)品故障概率;T0為平均不能工作時間的上限值，用(0，τ］內(nèi)平均不能工作時間表示，具有直觀、方便的特點(diǎn)［8］。

2.3 按照平均不可用度確定

設(shè)給定時間間隔(0，τ］內(nèi)，所能提供的備件數(shù)目為k，要求產(chǎn)品平均可用度滿足

3 r/n系統(tǒng)的分析模型

為了使問題分析具有一般性，文章對n個相同分布單元組成的r/n系統(tǒng)進(jìn)行分析，當(dāng)r=1時代表并聯(lián)系統(tǒng)情況，當(dāng)r=n時代表串聯(lián)系統(tǒng)情況。首先采用以下基本假設(shè):1)系統(tǒng)由n個相同的指數(shù)分布單元組成，單元故障率為λ;2)故障單元的更換時間忽略不計(jì)，即更換時間相對工作時間小很多;3)在(0，τ］時間間隔內(nèi)，所需備件數(shù)目為k。

如圖1所示，在(0，τ］時間間隔內(nèi)，可修復(fù)系統(tǒng)的故障過程分為2個階段。

圖1 可修復(fù)系統(tǒng)的故障過程Fig.1 The fault process of repairable system

1)階段1:k個單元依次故障。單元發(fā)生故障次數(shù)小于或等于k，單元發(fā)生故障就有備件進(jìn)行修理。在任意時刻t(t≤τ)的無限小區(qū)間dt內(nèi)，n個單元中任意一個故障的故障率為nλ，根據(jù)泊松過程方法［10］，系統(tǒng)中單元發(fā)生k次故障的概率為

2)階段2:無備件條件下故障。此時，單元發(fā)生故障次數(shù)大于k，沒有備件，系統(tǒng)相當(dāng)于不可修復(fù)系統(tǒng)。在(t，τ］時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)相當(dāng)于不可修復(fù)系統(tǒng)，系統(tǒng)不可靠度為F(τ－t)(F(·)為系統(tǒng)不可靠度表達(dá)式)。

因此，在(0，τ］時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)故障的概率為

在(0，τ］時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)平均不能工作時間為

在(0，τ］時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)平均不可用度為

根據(jù)式(7)、式(8)或式(9)，可進(jìn)行系統(tǒng)備件數(shù)目分析。

由于r/n系統(tǒng)的不可靠度為

因此，

式(11)中:r為大于等于1的正整數(shù);n為大于等于2的正整數(shù)。當(dāng)r=1時是并聯(lián)系統(tǒng)情況;當(dāng)r=n時是串聯(lián)系統(tǒng)情況。

將式(6)和式(11)代入式(7)，可得在(0，τ］內(nèi)系統(tǒng)故障的概率為

根據(jù)式(9)，對上式再進(jìn)行一次積分才可計(jì)算出系統(tǒng)的平均不可用度，可以預(yù)見，此特殊的被積分函數(shù)和二重積分計(jì)算過程將十分繁瑣。針對此問題，首先采用積分變化，將式(12)轉(zhuǎn)化為一般級數(shù)求和。

式中:m為大于等于零的正整數(shù);a為大于零的實(shí)數(shù)。最后根據(jù)式(9)，再利用式(13)積分變換，可計(jì)算系統(tǒng)平均不可用度的解析解

4 旁聯(lián)系統(tǒng)的分析模型

除了上述討論的r/n系統(tǒng)，在一般典型系統(tǒng)中，還包括一類系統(tǒng)即旁聯(lián)系統(tǒng)。它由n個單元組成，任意時刻工作單元只有1個，(n－1)個單元處于備用狀態(tài)?，F(xiàn)假定系統(tǒng)工作單元故障，通過故障監(jiān)測和轉(zhuǎn)換裝置(假定故障監(jiān)測和轉(zhuǎn)換裝置的可靠度為1)，切換到待用單元工作，同時更換故障單元，更換時間忽略不計(jì)。

若有k個備件的旁聯(lián)系統(tǒng)故障，意味著(n+k)個單元依次全部故障，當(dāng)每個單元的故障率為λ，根據(jù)泊松分布可知，在任意時刻t(t≤τ)的無限小區(qū)間dt內(nèi)，單元發(fā)生(n+k)次故障的概率為

在任意時間區(qū)間［0，t］內(nèi)，發(fā)生第n+k次故障的時間為Tn+k，發(fā)生第n+k次故障的概率為

對式(16)利用式(13)積分變化可得

最后，根據(jù)式(4)和式(5)，利用式(13)積分變化可得旁聯(lián)系統(tǒng)平均不可用度解析解

5 模型計(jì)算分析

一般一個典型系統(tǒng)可看作是由3～5個單元構(gòu)成。這里，假定此r/n系統(tǒng)是由5個單元構(gòu)成，當(dāng)r=1(并聯(lián)情況)，r=3，r=5(串聯(lián)情況)，備件數(shù)量 k分別為1～5時，根據(jù)式(14)，系統(tǒng)平均可用度A隨λτ的變化情況分別如圖2～圖4所示。

圖2 r/n(r=1，n=5)系統(tǒng)平均可用度A與λτ關(guān)系Fig.2 The relationship between average availability A and λτ for r/n system(r=1，n=5)

圖3 r/n(r=3，n=5)系統(tǒng)平均可用度A與λτ關(guān)系Fig.3 The relationship between average availability A and λτ for r/n system(r=3，n=5)

圖4 r/n(r=5，n=5)系統(tǒng)平均可用度A與λτ關(guān)系Fig.4 The relationship between average availability A and λτ for r/n system(r=5，n=5)

由圖2～圖4所示，可以方便快速地考察系統(tǒng)平均可用度A在不同備件數(shù)目k條件下隨λτ的變化情況。同時，當(dāng)單元故障率和時間已知的情況下，根據(jù)系統(tǒng)的構(gòu)成情況，可以分析此r/n系統(tǒng)達(dá)到規(guī)定的可用度時所需最小備件數(shù)。例如，考察n為5，λτ為相應(yīng)定值，系統(tǒng)平均可用度分別大于等于90%，95%和99%時所需的最小備件數(shù)量，結(jié)果如表1所示。

表1 解析法計(jì)算r/n(n=5)系統(tǒng)最小備件數(shù)Table 1 The minimum number of r/n system spare parts calculated by analytic method(n=5)

同樣，對于旁聯(lián)系統(tǒng)，根據(jù)式(18)即旁聯(lián)系統(tǒng)平均不可用度的解析表達(dá)式，可以得到系統(tǒng)平均可用度A隨λτ的變化情況。這里，假定此旁聯(lián)系統(tǒng)由5個單元構(gòu)成，當(dāng)備件數(shù)量k分別為1～3時，系統(tǒng)平均可用度A隨λτ的變化情況如圖5所示。

圖5 旁聯(lián)系統(tǒng)(n=5)平均可用度A與λτ關(guān)系Fig.5 The relationship between average availability A and λτ of on－off system(n=5)

根據(jù)圖5可以快速查出，當(dāng)n為5，λτ為相應(yīng)值，系統(tǒng)平均可用度分別大于等于90%，95%和99%時所需的最小備件數(shù)量，結(jié)果如表2所示。

表2 解析法計(jì)算旁聯(lián)系統(tǒng)(n=5)最小備件數(shù)Table 2 The minimum number of on-off system spare parts calculated by analytic method(n=5)

6 結(jié)論

針對蒙特卡羅仿真方法計(jì)算備件數(shù)量十分耗時且精度不高的問題，提出一種單元服從指數(shù)分布條件下典型電子系統(tǒng)備件數(shù)目確定的解析分析方法，通過分析可以得到以下結(jié)論:1)該解析解計(jì)算精度高，速度快;2)以平均可用度作為優(yōu)化目標(biāo)，將其與備件數(shù)量聯(lián)系起來，更加符合工程實(shí)際;3)通過計(jì)算分析，對于可修復(fù)系統(tǒng)，在其他條件均相同的情況下，旁聯(lián)系統(tǒng)的平均可用度大于并聯(lián)系統(tǒng)平均可用度，且大于串聯(lián)系統(tǒng)平均可用度的結(jié)論依然成立。

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