●吳旻玲 (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

在近幾年的數(shù)學高考試題中，經(jīng)常遇到一些題目，雖然可以利用中學的數(shù)學知識解決，但是在高等數(shù)學中往往能找出相關(guān)的“影子”，也即所謂的“高觀點”試題.這樣的試題或以高等數(shù)學知識為背景，或體現(xiàn)高等數(shù)學中常用的思想方法.這類試題常受到命題者的青睞，成為高考中一道亮麗的風景，其中不乏以拉格朗日中值定理為背景的高考試題.拉格朗日中值定理是利用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要工具，它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可以用它來研究函數(shù)的性態(tài).下面以2009年遼寧省數(shù)學高考理科第21題為例，并結(jié)合近幾年全國各地高考試卷中出現(xiàn)的以拉格朗日中值定理為背景的試題，探索該定理在中學數(shù)學中的應(yīng)用.

1 一道高考題的兩種解法

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2009年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

1.1 解題分析

(1)略;

(2)證法1 由結(jié)論，知

因此，g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，故有

證法 2 不妨設(shè)點 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，原題即證 f(x)的任意一條割線的斜率kAB＞-1.由幾何圖形可知，只需證f(x)的任意一條切線的斜率kAB＞-1，即證f'(x)＞-1對x∈(0，+∞)恒成立，也即證

1.2 證法比較

證法1需要構(gòu)造新函數(shù)來求解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+x是本題的難點.事實上，可以從平時常遇到的一些結(jié)論進行聯(lián)想和分析.如：化率.要證平均變化率大于-1恒成立，從幾何圖形不難分析，只需證明瞬時變化率大于 -1，即f'(x)＞-1，這就是證法2.若能結(jié)合幾何圖形，證法2比證法1更容易想到和理解.

1.3 背景挖掘

在證法2的分析過程中可以發(fā)現(xiàn)，對于一個連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)來說，任意一條割線都可找到一條與其斜率相等的切線，這就是高等數(shù)學中的拉格朗日中值定理.下面介紹該定理：

若函數(shù)f(x)滿足如下條件：

(1)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù);(2)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，

本題就是以拉格朗日中值定理為背景而設(shè)計的高考試題.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，它建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，在微分學中占有極其重要的地位.導(dǎo)數(shù)是高中新課程新增的內(nèi)容，也是高考考查的重點內(nèi)容之一.函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是2個不同的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)只反映函數(shù)在一點的局部特征.如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間建立聯(lián)系，微分中值定理就是起這種作用.

2 高考中的拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是高考試題設(shè)置高等數(shù)學背景的一個熱點素材.在近幾年的數(shù)學高考中，出現(xiàn)了不少含有拉格朗日中值定理的試題.這類試題常以不等式恒成立問題為基本切入點，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數(shù)學的學科特點，較好地甄別了學生的數(shù)學能力.下面以近幾年全國各地的數(shù)學高考試題為例，說明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中的應(yīng)用，更好地體會用“高觀點”解題的優(yōu)勢.

2.1 形如

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x.

(1)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)≥2;

(2)證明：若對所有x≥0，都有f(x)≥ax，則a的取值范圍是(-∞，2］.

(2007年全國數(shù)學高考理科試題)

分析(1)略.

由拉格朗日中值定理知，即證f'(x)≥2.

2.2 形如|f(x1)-f(x2)|＞a|x1-x2|

例3 已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè) a ＜ -1，如果對任意 x1，x2∈(0，+∞)，都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范圍.

(2010年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

(1)略.

(2)解 由拉格朗日中值定理，知必存在x0∈(0，+∞)，使得

2.3 形如

(2006年四川省數(shù)學高考理科試題)

分析(1)不妨設(shè)0＜x1＜x2，即證即證 f'(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，也即證f″(x)≥0.

(2)略.

3 教學啟示

“高觀點”試題起點高，但落點低，試題的設(shè)計雖然來源于高等數(shù)學，但都可以用初等數(shù)學知識來解決.“高觀點”試題有利于區(qū)分考生的能力，在今后的高考中仍將出現(xiàn).因此，我們應(yīng)不斷改善教學，提高學生的應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，才能更適合新課程的要求.

3.1 課堂教學，重視過程

有些教師為了追求所謂的效率，在課堂上將知識發(fā)生發(fā)展的過程一帶而過，將重點放在解題應(yīng)用上，通過大量的解題訓(xùn)練來達到效果，這是典型的應(yīng)試教育.事實上，知識是如何發(fā)生發(fā)展的、公式是如何推導(dǎo)的、定理是如何證明的，這些過程的探究，對培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力是至關(guān)重要的，對學生能力的提升也起著潛移默化的作用.因此，教師要改變課堂教學重結(jié)論、輕過程的做法，對知識形成的來龍去脈要搞清楚，進行探究性學習，培養(yǎng)學生獨立分析問題、解決問題的能力.

3.2 解題教學，重視方法

“授人以魚，不如授人以漁”這句話啟示我們，教學的目的不只是讓學生掌握具體的知識與技能，更重要的是教會學生學習的方法，要讓學生學會如何去學習.會學習的學生，在遇到從未見過的題目時，才能沉著冷靜，細心觀察，仔細分析，用自己所掌握的知識和方法去解決.因此，教師應(yīng)改變解題教學中過分追求機械化的做法，不要熱衷于歸納題型、記憶方法，如果光靠機械訓(xùn)練，那么在高考中遇到“高觀點”試題是不能應(yīng)對的.

3.3 居高臨下，重視能力

“高觀點”試題在考查知識的基礎(chǔ)上，更側(cè)重于考查各種能力，其中以考查思維能力為核心.這類試題選拔的不再是對知識死記硬背、生搬硬套的學生，而是具有運用數(shù)學知識和方法解決問題的能力的學生.因此，教師可充分運用自己具備的高等數(shù)學知識，結(jié)合對中學數(shù)學的教學實踐，居高臨下地編制一些適合學生認知水平的“高觀點”試題，在平時的學習中逐漸培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決問題的能力，同時也能鍛煉他們的思維能力，激發(fā)他們繼續(xù)學習數(shù)學的潛能.

3.4 自我發(fā)展，重視科研

對于從事高中數(shù)學教學的教師，只有加強教育教學理論學習和高等數(shù)學知識的再學習，才能更好地以高觀點來指導(dǎo)中學數(shù)學教學.教師要用新課程標準來審視常規(guī)教學，樹立終身學習的意識，在實踐中不斷學習，不斷對自己的教育教學進行研究和反思，對自己的知識與經(jīng)驗進行重組，使自己的知識結(jié)構(gòu)具有前瞻性，在反復(fù)思考中使自身的專業(yè)素質(zhì)、教學能力和科研水平都得到提高，從而實現(xiàn)中學數(shù)學教師的自我發(fā)展、終身發(fā)展.

［1］ 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京：高等教育出版社，1991(3)：156-158.

［2］ 李云杰.“高觀點”下的中學數(shù)學的實踐與認識［D］.福建：福建師范大學，2005(10)：40-46.

［3］ 肖羅保，鄧丹.由2009年浙江省一道數(shù)學高考題引起的思考［J］.數(shù)學教學，2010(2)：41-43.

［4］ 黃妮，李娟.高考試題中的高等數(shù)學背景探析及應(yīng)對策略［J］.中學數(shù)學研究，2009(8)：19-23.

［5］ 李惟峰.拉格朗日中值定理在中學數(shù)學中的應(yīng)用［J］.數(shù)學教學通訊，2008(8)：39-40.

［6］ 連春興.高等數(shù)學對中學數(shù)學教學作用初探［J］.北京教育學院學報，2000，14(3)：68-71.