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        例談一元二次函數(shù)的取值問(wèn)題

        2012-08-27 02:41:56浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)謝黎靜
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年3期
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱(chēng)軸開(kāi)口最值

        ☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 謝黎靜

        一元二次函數(shù)是初中教材中的重點(diǎn)內(nèi)容,但難度要求不高,到高中進(jìn)行了深化,在學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)不光它的內(nèi)容應(yīng)用廣泛而且它滲透了一些很重要的數(shù)學(xué)思想方法(如數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等),而其中最能體現(xiàn)一元二次函數(shù)上述特點(diǎn)的是:解決一元二次函數(shù)在區(qū)間上的取值問(wèn)題.此知識(shí)的考查在高考中很常見(jiàn).一元二次函數(shù)在區(qū)間上的取值問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間是否含有參數(shù)細(xì)分成四種類(lèi)型,下面筆者通過(guò)一些例題來(lái)加以說(shuō)明.

        一、對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間都不含參數(shù)的類(lèi)型

        例1求函數(shù)(fx)=x2-2x+2在區(qū)間[0,1]上的最小值.

        分析:此函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,結(jié)合圖像可知函數(shù)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,則函數(shù)的最小值為f(1)=1.

        二、對(duì)稱(chēng)軸不含參數(shù)、區(qū)間含參數(shù)的類(lèi)型

        例2函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+1]上的最小值為2,求t的值.

        分析:區(qū)間位置會(huì)隨著t變化,而函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位置和函數(shù)圖像開(kāi)口方向都確定,結(jié)合函數(shù)圖像此題應(yīng)按對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論.

        解:函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1.

        當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè),即t>1時(shí),函數(shù)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,即fmin(x)=f(t)=t2-2t+2=2,則t=0(舍去)或t=2.

        當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi),即0≤t≤1時(shí),函數(shù)的最小值在頂點(diǎn)處取得,即fmin(x)=f(1).又f(1)≠2,則0≤t≤1舍去.

        當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè),即t<0時(shí),函數(shù)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,即fmin(x)=f(t+1)=t2+1=2,t=1(舍去)或t=-1.

        綜上:t=2或t=-1.

        例3函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+1]上的最大值記為h(t),求h(t)的最小值.

        分析:區(qū)間位置會(huì)隨著t變化,而函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位置和函數(shù)圖像開(kāi)口方向都確定,結(jié)合函數(shù)圖像此題應(yīng)按對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論.當(dāng)然又由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知,函數(shù)圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間中間時(shí),區(qū)間端點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸的距離大小影響最大值取到的可能性.

        解:函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1.

        當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè),即t>1時(shí),函數(shù)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,即h(t)=f(t+1)=t2+1.

        當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè),即t<0時(shí),函數(shù)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,即h(t)=f(t)=t2-2t+2.

        當(dāng)然對(duì)于開(kāi)口向下的一元二次函數(shù)求最小值的分類(lèi)討論也與上例類(lèi)似.

        三、對(duì)稱(chēng)軸含參數(shù)、區(qū)間不含參數(shù)的類(lèi)型

        例4函數(shù)f(x)=x2-2tx+2在區(qū)間[0,1]上的最大值為2,求t.

        分析:此函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=t,位置不確定,區(qū)間位置和函數(shù)圖像開(kāi)口方向確定,結(jié)合函數(shù)圖像此題應(yīng)按對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論,當(dāng)然又由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知,函數(shù)圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間中間時(shí),區(qū)間端點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸的距離大小影響最大值取到的可能性.

        解:此二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=t.

        當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè),即t>1時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,即2=fmax(x)=f(0),而f(0)=2恒成立,則t>1.

        四、對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間都含參數(shù)的類(lèi)型

        例5已知函數(shù)f(x)=t>0),求函數(shù)f(x)的最小值.

        分析:此函數(shù)中含有絕對(duì)值,要求最值,先需對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行討論,再求相應(yīng)的最值.

        總之,事實(shí)上,通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間是否含有參數(shù)的分類(lèi),任何一個(gè)一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題都可以歸類(lèi)到以上某種類(lèi)型,而以上每種類(lèi)型中最值問(wèn)題的求解都離不開(kāi)對(duì)函數(shù)圖像開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間相對(duì)位置的把握,并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想方法.

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