霍穎瑩 田鳳 鐘嬋燕

廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510520

論創(chuàng)新教育在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程中的實(shí)踐

霍穎瑩 田鳳 鐘嬋燕

廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510520

本文主要介紹創(chuàng)新教育在新世紀(jì)教育下的含義，用大量的例子對在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力進(jìn)行探討。

創(chuàng)新教育；復(fù)變函數(shù)與積分變換；創(chuàng)新能力

innovation education；complex analysis and integral transformation；innovative ability

創(chuàng)新教育是社會(huì)教育事業(yè)的重要組成。創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力是民族進(jìn)步的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的源泉，是推動(dòng)科技發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力。江澤民同志指出：“要迎接科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)和知識(shí)經(jīng)濟(jì)迅速興起的挑戰(zhàn)，最主要是堅(jiān)持創(chuàng)新；創(chuàng)新是一個(gè)民族興起的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力?！币虼藢?shí)施創(chuàng)新教育是每一位教學(xué)工作者當(dāng)前一項(xiàng)重要的任務(wù)。要實(shí)施創(chuàng)新教育首先要理解什么是創(chuàng)新教育。本文主要就對創(chuàng)新教育的理解和它在復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)中實(shí)施談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

1 創(chuàng)新教育的內(nèi)涵

所謂創(chuàng)新，根據(jù)《現(xiàn)代漢語小詞典》的是指：“拋開舊的，創(chuàng)造新的?！笔裁词莿?chuàng)新教育？簡而言之[1]，創(chuàng)新教育是以培養(yǎng)人的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新人格為基本價(jià)值取向的教育實(shí)踐。是以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才為主要目標(biāo)的教育。具體地說，就是根據(jù)創(chuàng)新原理，以創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新人格培養(yǎng)為主要內(nèi)容，選擇創(chuàng)新性的教育手段和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的教育理論和實(shí)踐。創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)是創(chuàng)新教育的基礎(chǔ)，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是創(chuàng)新教育的核心，創(chuàng)新人格培養(yǎng)是創(chuàng)新教育的關(guān)鍵。而創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)則是創(chuàng)新教育的最終目的。

要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才要注意觀念的轉(zhuǎn)變。在教學(xué)過程中注意遵循主體性原則和平等民主原則。課堂是師生間交流情感的場所，教師應(yīng)該以學(xué)生為主體，建立一種民主無權(quán)威的教學(xué)環(huán)境，把發(fā)現(xiàn)真理的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生覺得“我要學(xué)”，并鼓勵(lì)學(xué)生討論、質(zhì)疑和發(fā)表見解，破除學(xué)生對教師的迷信，引導(dǎo)學(xué)生思考。只有這樣，學(xué)生的創(chuàng)新能力才能被激發(fā)出來。

2 創(chuàng)新是復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的重要組成部分

就工科專業(yè)課程復(fù)變函數(shù)與積分變換本身而言，它就是創(chuàng)新的再現(xiàn)。復(fù)變函數(shù)是在實(shí)變函數(shù)基礎(chǔ)上的創(chuàng)新。復(fù)變量函數(shù)是二元實(shí)函數(shù)的發(fā)展。雖然課程仍然討論函數(shù)是否連續(xù)，可導(dǎo)，如何積分，但連續(xù)已經(jīng)變成兩個(gè)二元函數(shù)的連續(xù)，函數(shù)是否可導(dǎo)也變成了要求更高的以解析區(qū)分函數(shù)。也正因?yàn)閷瘮?shù)有更高的要求，積分除了可用第二類曲線積分計(jì)算外，還有新的一系列的柯西積分法，在柯西積分法的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展出了圍道積分，而圍道積分又可以解決一些復(fù)雜的實(shí)積分。積分變換中，傅里葉積分是傅里葉級數(shù)的發(fā)展，而傅里葉積分卻具有局限性因而發(fā)展出拉普拉斯變換。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中每向前一步都看到創(chuàng)新。

3 創(chuàng)新教育在復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的實(shí)施

3.1 課前發(fā)放教案培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力

高校學(xué)生即將步入社會(huì)，僅靠學(xué)校的“一次教育”遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了社會(huì)的需求，要不斷提升就要接受“終身教育”。而且學(xué)生已經(jīng)具有較強(qiáng)的自學(xué)能力，在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)總有部分學(xué)生對教材有濃厚的興趣，提前看完教材并提出見解。復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課除了定義、公式、定理外，更重要的是蘊(yùn)含著許多深刻的數(shù)學(xué)思想和方法，課前發(fā)放學(xué)案可鼓勵(lì)更多的學(xué)生自主學(xué)習(xí)獨(dú)立思考，而不是為了過關(guān)拿學(xué)分死記公式。

由于學(xué)案有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，重點(diǎn)難點(diǎn)，還有指導(dǎo)方法和供學(xué)生研究的參考文獻(xiàn)。有了學(xué)案，本來喜愛本學(xué)科的學(xué)生就能在課前以學(xué)習(xí)目標(biāo)為依據(jù)，以重點(diǎn)難點(diǎn)為主攻方向，主動(dòng)查找教材、參考文獻(xiàn)，思考問題，探究問題，在探究中獲取知識(shí)，而不是被動(dòng)接受知識(shí)。

學(xué)案不同于教案。學(xué)案是學(xué)生進(jìn)行探究知識(shí)的載體，教學(xué)生探究知識(shí)，應(yīng)編寫在前；而教案是教師對學(xué)案所提知識(shí)的處理和升華，應(yīng)編寫在后。編寫學(xué)案時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是以學(xué)生為主體，第多斯惠曾提出：“一個(gè)壞的教師奉送真理，一個(gè)好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理”，所以應(yīng)把“發(fā)現(xiàn)真理”的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生。由于學(xué)生的知識(shí)水平不同，編寫學(xué)案應(yīng)以學(xué)生能解決問題為出發(fā)點(diǎn)，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二是所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)是應(yīng)該對學(xué)生的能力有提高，方法的形成有價(jià)值。由于數(shù)學(xué)知識(shí)是縱橫成框架的，應(yīng)盡量從舊知識(shí)中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題，思考問題和探討，從而達(dá)到“溫故而知新”。例如，在講解柯西定理前，可讓學(xué)生先用第二類曲線計(jì)算做一些函數(shù)在不同的閉曲線上的積分，引導(dǎo)學(xué)生提出問題為何有些積分與路徑有關(guān)有些無關(guān)？學(xué)生會(huì)注意到被積函數(shù)的不同，不妨多舉例子，由于在學(xué)習(xí)積分前一章學(xué)生學(xué)習(xí)了解析函數(shù)，學(xué)生自然想到可能與被積函數(shù)是否解析有關(guān)。但由于柯西定理的古薩證明比較復(fù)雜，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況一般無法證明自己的猜想。不妨引導(dǎo)學(xué)生退一步：在第二類曲線積分中是否有類似問題？學(xué)生通過查找高數(shù)書能回憶起格林公式。最后讓學(xué)生回憶起高數(shù)中積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件就能得到加強(qiáng)條件后的柯西定理。這樣，就能立足于舊知識(shí)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明加強(qiáng)條件后的柯西定理。當(dāng)然，可鼓勵(lì)部分學(xué)有余力的學(xué)生在課后查找柯西定理的古薩證明。

3.2 教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

創(chuàng)新能力是創(chuàng)新人才的智慧資源，由創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新技能三大要素構(gòu)成，其中創(chuàng)新思維是人的創(chuàng)新能力形成的核心與關(guān)鍵。創(chuàng)新思維就是不受現(xiàn)成的常規(guī)思路約束，尋求問題全新的獨(dú)特性的解答和方法的思維過程。當(dāng)然，創(chuàng)新思維形式有多種，主要包括：觀察、聯(lián)想、具體、抽象、發(fā)散、收斂、推廣（收縮）、歸納、類比、奇巧、多維、質(zhì)疑等。下面僅從復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)中舉出例子。

發(fā)散性思維它是一種重要的創(chuàng)造性思維。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該經(jīng)常使用一題多解、一題多變等方式去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散式地思考問題，利用章節(jié)的小結(jié)去訓(xùn)練學(xué)生對同一問題從不同方向去思考，多角度去觀察，盡量探索出多種解法。它不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生加深對所學(xué)知識(shí)的理解，拓寬學(xué)生的解題思路，而且能給學(xué)生創(chuàng)造廣闊的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生對問題引申推廣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。例如，在講完利用留數(shù)定理計(jì)算積分后，讓學(xué)生做一道積分的練習(xí)，題目既可用復(fù)合閉路定理和柯西積分定理，也可用洛朗展開式中負(fù)一次冪系數(shù)，更可用留數(shù)定理，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法求解，并思考幾種方法的關(guān)系。

復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，在學(xué)習(xí)過程中比較兩者的相似之處，可加深學(xué)生對概念的理解又能啟發(fā)學(xué)生的類比思維。例如，在講解復(fù)變量函數(shù)時(shí)可提到它與實(shí)二元函數(shù)的關(guān)系。由于我校學(xué)生復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)部分在同一學(xué)期學(xué)習(xí)，學(xué)生容易把兩部分混淆，結(jié)合兩部分講可加深印象。在講解函數(shù)可導(dǎo)充要條件時(shí)，我會(huì)提到復(fù)變量復(fù)值函數(shù)是由一對有序的二元函數(shù)對構(gòu)成，它連續(xù)的充要條件是相應(yīng)的二元函數(shù)連續(xù)，它可導(dǎo)的充要條件是否相應(yīng)的二元函數(shù)可導(dǎo)？然后舉出反例，引起學(xué)生注意并開始思考復(fù)函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，接著再開始轉(zhuǎn)入正題。在講解拉普拉斯變換時(shí)也同樣可以讓學(xué)生自己通過互相討論歸納總結(jié)它與傅立葉變換的異同。

在講述多值函數(shù)部分，學(xué)生常常覺得抽象難懂。這時(shí)可啟發(fā)學(xué)生的聯(lián)想思維，把復(fù)雜問題簡單化，把抽象問題形象化。如二值函數(shù)可比作兩層樓房，而分支點(diǎn)便是連接樓房的旋轉(zhuǎn)樓梯。繞分支點(diǎn)走一周，便可由樓房的一層走到另一層，拆掉樓梯，樓房就變成獨(dú)立的兩層。

除此之外，在教學(xué)中還可以幫助學(xué)生建構(gòu)起其它類型的創(chuàng)造思維，以便學(xué)生運(yùn)用到其專業(yè)領(lǐng)域，這里不再一一敘述。

3.3 課后實(shí)施分層作業(yè)調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性

由于高等學(xué)校一般實(shí)行大班上課，即授課班級學(xué)生人數(shù)從一百到兩百甚至更多，就個(gè)體水平來說有明顯差異，而復(fù)變函數(shù)與積分變換由不是學(xué)校統(tǒng)一時(shí)間上課，不可能實(shí)現(xiàn)分層教學(xué)。所以，如何針對學(xué)生的個(gè)體情況，進(jìn)行按需求教學(xué)仍是探討的關(guān)鍵問題，作者認(rèn)為實(shí)施分層作業(yè)是解決問題的可行方法。

作業(yè)是教學(xué)的基本環(huán)節(jié)，有助于所學(xué)知識(shí)的鞏固、深化，有益于技能、智力和創(chuàng)造等才能的發(fā)展，是提高學(xué)生素質(zhì)的重要載體。但傳統(tǒng)的作業(yè)布置，教師往往要求學(xué)生在一定的時(shí)間內(nèi)完成同一的內(nèi)容，期望達(dá)到同一的效果，忽視了學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)的差異性。分層作業(yè)是以學(xué)生為本，針對各層次學(xué)生的目標(biāo)要求和具體情況，適當(dāng)設(shè)計(jì)一些難易有別、梯度不一的習(xí)題，以滿足不同層次學(xué)生的不同需求。分層作業(yè)就像是把過去同樣內(nèi)容、同樣標(biāo)準(zhǔn)、同樣模式、同樣分量的“大鍋飯”改為幾種量身定制的“套餐”，學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際水平選擇不同層次的作業(yè)。分層作業(yè)是一種有必要嘗試。

分層作業(yè)需要面向全體學(xué)生，它要求教師知曉不同學(xué)生所處的學(xué)習(xí)層次，在布置作業(yè)時(shí)莫打擊學(xué)生的積極性，在授課班中嘗試實(shí)施作業(yè)的分層布置，對作業(yè)量、作業(yè)難度和作業(yè)方式作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，力爭讓每個(gè)學(xué)生在適合自己的作業(yè)中都收獲成功，得到輕松、愉快、滿足的心理體驗(yàn)。發(fā)展性教學(xué)理論認(rèn)為“差異是一種資源”，故對作業(yè)的認(rèn)識(shí)，應(yīng)該突破以往的框架，根據(jù)學(xué)生的發(fā)展?fàn)顩r，構(gòu)建不同的作業(yè)形式。作業(yè)布置，既要注意選擇那些有助于學(xué)生理解基本概念和基本思想方法的習(xí)題，也要注意選擇那些具有應(yīng)用性和趣味性的習(xí)題。這樣有助于啟發(fā)學(xué)生思維，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，使他們更好掌握所學(xué)知識(shí)。在實(shí)際教學(xué)中，要先熟悉學(xué)生知識(shí)水平的層次、專業(yè)知識(shí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，布置不同層次的作業(yè)。作業(yè)的布置，不在乎“量”，而在于“質(zhì)”。傳統(tǒng)的作業(yè)布置告訴我們，作業(yè)“一刀切”，過難或過易，缺少層次，不利于不同類型的學(xué)生，尤其是差生與優(yōu)等生的發(fā)展。因此，教師在布置作業(yè)時(shí)要注意照顧到好（準(zhǔn)備考研）、中（對數(shù)學(xué)感興趣）、差（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好）三方面的學(xué)生，既讓差生跳一跳能摘到“桃子”，又能保證優(yōu)等生免受“饑餓”之苦。這樣，可以使優(yōu)等生激發(fā)挑戰(zhàn)自我的好勝心，發(fā)揮創(chuàng)造性；令中等生獲得從探索中成功的喜悅，對學(xué)習(xí)不敢松懈；讓差生經(jīng)過勤奮努力嘗到成功的滋味，對接下來的學(xué)習(xí)充滿信心，避免抄襲現(xiàn)象。分層作業(yè)有利于因材施教，充分考慮到不同個(gè)體的需要，全面照顧不同個(gè)體的發(fā)展，提高作業(yè)完成效率。實(shí)施復(fù)變函數(shù)與積分變換分層作業(yè)是有必要的。

作業(yè)可以分為三個(gè)層次：A.對反映教學(xué)大綱基本要求的基礎(chǔ)型習(xí)題，要求全體學(xué)生必須自主完成；B.對反映教學(xué)大綱較高要求（與學(xué)生專業(yè)知識(shí)相關(guān)）的典型習(xí)題，要求中、高層次特別是中層次的學(xué)生，通過互相討論或分組合作完成；C.對反映教學(xué)大綱難點(diǎn)的靈活型習(xí)題，要求學(xué)習(xí)成績較好的學(xué)生嘗試完成，當(dāng)然也鼓勵(lì)其他層次的學(xué)生量力而行去試一試。上面三個(gè)作業(yè)層次內(nèi)容的比例大概控制在7：2：1，這樣既可以保證讓學(xué)生達(dá)到教學(xué)大綱要求，又可以拓寬學(xué)生的知識(shí)面,培養(yǎng)學(xué)生合作能力和創(chuàng)新能力，更為一部分同學(xué)的繼續(xù)深造打下一定基礎(chǔ)。分層作業(yè)要緊緊把握?。骸胺謱硬环职啵舷驴筛?dòng)”的原則。作業(yè)層次并不是固定不變的，讓學(xué)生在完成基本的A類作業(yè)的基礎(chǔ)上，自主選擇適合自己的作業(yè)，差生也可選擇完成B，C類作業(yè)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使各層次學(xué)生力爭向上。作業(yè)的分層給學(xué)生提供了自主選擇的機(jī)會(huì)，讓他們自評自己處于哪個(gè)水平，并選擇與該水平相對應(yīng)的作業(yè)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，然后教師再做適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)。教師要給學(xué)生充分的選擇，因?yàn)槿酥挥懈伤芨傻摹⒃敢飧傻?、想干的事時(shí)，才會(huì)表現(xiàn)出主動(dòng)性和積極性，這也是教育呼喚的民主。

創(chuàng)新教育的探索與實(shí)踐使我們意識(shí)到21世紀(jì)創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)關(guān)系到學(xué)生個(gè)人的可持續(xù)發(fā)展，是世界教育發(fā)展的主流，是國家和民族進(jìn)步的需要。所以我們要樹立正確的教育觀念，努力提高自身的創(chuàng)新能力，在教學(xué)中以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才為目標(biāo)和教學(xué)原則，堅(jiān)定方向，不斷努力，一定可以培養(yǎng)出一批優(yōu)秀的、具有創(chuàng)新能力的棟梁之才。

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Study on the implement of the innovation education in the teaching of complex analysis and integral transformation

Yingying Huo，F(xiàn)eng Tian，Chanyan Zhong
Faculty of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou,510520

In this paper, the meaning of the innovation education will be introduced. And lots of examples will be given for its implement in the teaching of complex analysis and integral transformation.

10.3969/j.issn.1001-8972.2012.07.163

廣東工業(yè)大學(xué)高教研究基金（2010F19）