張一安 實 徐照宇

(哈爾濱工業(yè)大學，黑龍江 哈爾濱 150001)

合理有效地測度資產(chǎn)風險具有重要的理論與實踐意義。在Artzner等人提出的一致性風險測度公理體系中，風險測度應滿足單調性、正齊次性、平移不變性以及次可加性等條件。一致性風險測度被提出后，得到了廣泛認可，許多學者也相繼從不同角度對一致性風險測度展開了各種拓展性研究。Follmer等人放寬了一致性風險測度中的次可加性要求，提出了凸風險測度。Piera用平移遞減性和規(guī)模遞減性代替了一致性風險測度中的平移不變性和正齊次性條件，進一步提出了弱一致性風險測度，相對于一致性風險測度，弱一致性風險測度在理論假設上相對寬松。Rockafellar等人提出了一般離差風險測度，并指出既定形式的一致性風險測度在一定條件下都有與之對應的一般離差風險測度形式。張昇平等人在Artzner和Rockafellar等人研究的基礎上，討論了更多的風險測度屬性，提出了類一致性風險測度。

上述研究從不同角度豐富和深化了風險測度的相關理論，但對于投資者來說，現(xiàn)有風險測度公理體系仍存在如下不足:(1)并未充分反映出投資者的風險態(tài)度。在現(xiàn)有的風險測度公理體系下，分散化的投資策略要優(yōu)于非分散化的投資策略。然而Statman等人的研究卻表明現(xiàn)實世界中的投資活動并不完全是分散化的，大量投資者采取的投資策略并沒有達到理論上應有的分散化程度。(2)只考慮單一的目標收益參考點。Shefrin等人指出投資者實際構建的資產(chǎn)組合是具有層次性的，分配在各層的資產(chǎn)都與不同的目標收益參考點和風險態(tài)度相聯(lián)系?，F(xiàn)有風險測度公理體系只考慮存在單一目標收益參考點的情形，難以完整地反映投資者的多層次風險態(tài)度。

為了彌補上述不足，本文提出一種新的風險測度——非對稱一致性風險測度，這一風險測度在多參考點的情形下考慮了投資者對收益雙向波動的不同風險態(tài)度，實現(xiàn)了對現(xiàn)有風險測度公理體系的補充與完善。本文進一步給出了一類非對稱一致性風險測度的函數(shù)形式，構建了相應的投資組合優(yōu)化模型，最后通過實證研究說明新的風險測度在實踐中的可行性與合理性。

一、非對稱一致性風險測度的提出

記τi為投資者的第i個目標收益參考點，其中i=1，2，…，M，而所有參考點組成的參考點向量則記為 T=(τ1，τ2，…，τM)。對于單獨的 τi來說，資產(chǎn) X 的風險為 ρ(X，τi)，記(X，τi)=ρ(min(X，τi)，τi)，表示小于 τi的 X 分布所帶來的風險，ρ+(X，τi)= ρ(max(X，τi)，τi)則表示大于τi的X分布所帶來的風險。對于所有的參考點來說，資產(chǎn)X的總體風險是ρ(X，τi)的函數(shù)，記為 ρ(X，T)=G(ρ(X，τi)，…，ρ(X，τM))。此外，記ρ-(X，T)=G(ρ-(X，τ1)，…，ρ-(X，τM))，ρ+(X，T)=G(ρ+(X，τ1)，…，ρ+(X，τM))，分別對應于只考慮 ρ-(X，τi)和ρ+(X，τi)時的總體風險。

定義1 若風險測度ρ滿足如下的條件(M)、(ZR)、(TR)、(LCV)、(LCC)和(IC)，則稱ρ為非對稱一致性風險測度。

(M)單調性(Monotonicity):ρ(X，T)≤ρ(Y，T)，?X≥Y;ρ(X，τi)≤ρ(X，τi+ δ)，?δ≥0;ρ(X，T)≤ρ(X，T+ Δ)，Δ =(δ1，δ2，…，δM)，δi≥0，i=1，2，…，M

(ZR)零風險性(Zero Risk):ρ(δ，δ)=0，δ∈R

(TR)平移遞減性(Translation Reduction):ρ(X+ δ，T)≤ρ(X，T)+ ρ(δ，0)，?δ≥0

(LCV)局部凸性(Local Convexity):ρ-(λX+(1- λ)Y，T)≤λρ-(X，T)+(1- λ)ρ-(Y，T)，0≤λ≤1

(LCC)局部凹性(Local Concavity):ρ+(λX+(1- λ)Y，T)≥λρ+(X，T)+(1- λ)ρ+(Y，T)，0≤λ≤1

(IC)不滅性(Incorruptibility):ρ(X+ δ，τi+δ)= ρ(X，τi)，δ∈R

上述條件的經(jīng)濟意義如下:

(M)單調性:一方面，在投資目標收益相同的情況下，若一項資產(chǎn)X優(yōu)于另一項資產(chǎn)Y，即前者隨機回報的各分量大于或等于后者隨機回報對應的分量，則前者的風險不大于后者。另一方面，同一資產(chǎn)對于不同的目標收益來說，其風險大小也有所不同，較高目標收益實現(xiàn)難度較大，因此其對應的風險也較大。

(ZR)零風險性:如果資產(chǎn)具有與目標收益參考點相等的確定性收益，那么其風險為0。

(TR)平移遞減性:結合單調性和零風險性，對于?δ≥0，有 ρ(δ，0)≤ρ(δ，δ)=0，于是 ρ(X+δ，T)≤ρ(X，T)+ ρ(δ，0)≤ρ(X，T)+ ρ(δ，δ)=ρ(X，T)，這樣平移遞減性就意味著在現(xiàn)有的資產(chǎn)中加入具有確定性非負收益的資產(chǎn)δ后，所形成的新資產(chǎn)(組合)的風險將不會增加。

(LCV)局部凸性:對于收益低于參考點的分布所對應的風險來說，其在資產(chǎn)組合中的總體水平不大于其在各項資產(chǎn)中的分量之和，也就是說這一部分風險可以通過分散化投資得以降低。

(LCC)局部凹性:對于收益高于參考點的分布所對應的風險來說，其在資產(chǎn)組合中的總體水平不小于其在各項資產(chǎn)中的分量之和，也就是說這一部分風險可以通過集中化投資得以降低。

(IC)不滅性:如果目標收益和資產(chǎn)收益發(fā)生同向等量變化，那么資產(chǎn)的風險將不發(fā)生變化。另一種解釋是資產(chǎn)的風險不能通過投資其他無相關性資產(chǎn)得以消滅。

二、一類非對稱一致性風險測度的函數(shù)形式

首先，用如下的式(1)測度資產(chǎn)X相對于單參考點τi的風險:

其中ci(x)定義如下:

其中pi可以理解為R(X，τi)在總風險中所占的比重，由投資者的主觀風險態(tài)度所決定。容易證明，式(3)所對應的風險測度是非對稱一致性風險測度。

三、非對稱一致性風險測度在投資組合優(yōu)化中的應用

1.投資組合優(yōu)化模型的建立

采用式(3)測度風險時，以投資總體風險最小化為目標的投資組合優(yōu)化問題如下:

其中 CVaR*α和 μ*均為給定的數(shù)值。約束(5)中的條件在風險價值CVaRα(X，0)是常見的一致性風險測度，其含義為:在置信水平α下，若資產(chǎn)X的最大損失為 VaRα(X，0)，則 CVaRa(X，0)表示損失超過VaRα(X，0)時的平均值。問題P1采用CVaRα(X，0)對極端損失進行控制，主要是為了滿足監(jiān)管當局和清算機構等行為主體的相關要求。約束(6)則對應于投資者的最低期望收益要求。

在實際問題中，對于X的S個離散樣本x1，x2，…，xS，可以通過來近似計算 R(X，τi)，此時pici(xk)(xk-τi)。當X由N種資產(chǎn)構成時，記其中第n種資產(chǎn)所占比重為用來控制該種資產(chǎn)持有量。若第n種資產(chǎn)收益的第k個樣本為，問題P1的優(yōu)化目標變?yōu)?，而約束(6)則變?yōu)榇送猓鶕?jù)Rockafellar等人的研究，CVaRα(X，0)可以通過如下的問題P2求出:

這樣，問題P1就變?yōu)槿缦滦问?

2.實證分析

本文選擇不同地區(qū)、不同種類(股票、債券和貴金屬)的10種資產(chǎn)構建投資組合，采用1992年3月31日至2009年9月30日的香港恒生指數(shù)、深證綜合指數(shù)、上證綜合指數(shù)、費城金銀指數(shù)、美國30年期國債指數(shù)、道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)、納斯達克綜合指數(shù)、德國DAX指數(shù)、巴黎CAC指數(shù)以及新加坡海峽時報指數(shù)的月收益率作為10種資產(chǎn)投資收益的歷史數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于銳思金融研究數(shù)據(jù)庫(www.resset.cn)。根據(jù)上述數(shù)據(jù)的基本情況，有N=10，S=211，同時設定兩個參考點，即M=2。利用Matlab7.8.0軟件在不同的參數(shù)設定下對問題P3進行求解，以考察各參數(shù)變化對最優(yōu)投資組合的影響，計算結果見圖1。

圖1 不同參數(shù)設定下的最優(yōu)投資組合

對計算結果的進一步分析如下:

1)p1減小時，最優(yōu)投資組合的分散化程度隨之降低，反之，當p2減小(p1增大)時，投資組合的分散化程度應該隨之增加，上述計算結果恰好反映了這一情形，是符合實際情況的。

2)根據(jù)計算結果，當投資者更加偏好獲取超額收益，即c+/c-增大時，最優(yōu)投資組合的分散化程度也隨之降低，這與實際情況是相符的。

3)相對集中化的投資有利于較高目標收益的實現(xiàn)，因此當τ1和τ2增大時，最優(yōu)投資組合的集中化程度增加，即分散化程度降低，這一情形也在計算結果中得到了反映。

綜上，在多參考點的情形下，計算結果如實地體現(xiàn)了以下因素對最優(yōu)投資組合的影響:投資者對不同參考點對應風險所持的風險態(tài)度、對參考點以上收益波動的偏好程度、參考點的設定。

四、結論

在已有的風險測度公理體系下，投資者對目標參考點以上收益波動的風險態(tài)度不能得到合理反映，并且單一參考點的設置也不能與投資者的多層次風險態(tài)度相對應。為了彌補這些不足，本文提出非對稱一致性風險測度，這一風險測度在多參考點的情形下通過局部凹性和局部凸性分別描述了投資者對收益雙向波動的不同風險態(tài)度，與此同時已有風險測度公理體系中的平移不變性、零風險性等條件也被弱化，使其更符合實際情況。雖然本文從投資者的角度定義了新的風險測度，但進一步的分析表明其應用并不局限于投資者，在一定條件下也適用于監(jiān)管當局等其他行為主體。

此外，本文還給出一類非對稱一致性風險測度的函數(shù)形式，并以其為基礎構建了投資組合優(yōu)化模型，同時結合具體數(shù)據(jù)進行實證研究。投資者的多層次風險態(tài)度、對參考點以上收益波動的偏好程度、參考點的設定等因素對最優(yōu)投資組合的影響在計算結果中都得到如實反映，這表明本文提出風險測度和構建的投資組合優(yōu)化模型在實踐中是合理可行的。

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