熊 浩，孫有望

（1.同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海201804；2.長沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙410076）

對于生產(chǎn)商－銷售商聯(lián)合生產(chǎn)庫存問題，Goyal早在1977就開始研究了，并提出了聯(lián)合批量（JELS）模型.1986年，Banerjee又提出了批對批（lot－for－lot）的聯(lián)合經(jīng)濟(jì)批量JELS供貨模型，Goyal對該模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出供貨周期“n次等量訂貨”的策略［1］.但是，這些策略都假設(shè)生產(chǎn)商先生產(chǎn)，生產(chǎn)期間不發(fā)貨，完成生產(chǎn)之后才開始供貨.后來，Lu將問題的假設(shè)由“先生產(chǎn)后供貨”變成了更接近現(xiàn)實的“邊生產(chǎn)邊供貨”［2］.但是，其提出的策略仍然假設(shè)“銷售商等量訂貨”，而該假設(shè)也會使最優(yōu)策略丟失.因此，Goyal對“等量訂貨”進(jìn)行了改進(jìn)，提出“按比例P／D多次遞增”的訂貨策略［3］.接著，Hill在Goyal的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了改進(jìn)，認(rèn)為“等比例策略”的合理比例應(yīng)該在1到P／D之間［4－5］.然后，Goyal在Hill的基礎(chǔ)上，又提出“第一次小批量，后面的等批量”策略［6］，最后還提出“等比例修正”策略［7］.

后來，學(xué)者王圣東［8］和周永務(wù)［9］都對上述一系列的聯(lián)合批量模型的“改進(jìn)策略”也提出了質(zhì)疑，并指出已有策略有明顯局限性，只適合少數(shù)極端條件.但是，學(xué)者王圣東給出的數(shù)學(xué)模型仍然有一些需要放寬的假設(shè)條件，比如：“生產(chǎn)商的庫存費(fèi)率低于銷售商”；“在一個生產(chǎn)周期內(nèi)銷售商銷售最后一次供貨量所需的時間不大于下一個生產(chǎn)周期中生產(chǎn)商生產(chǎn)第一次供貨量所需要的時間”；“生產(chǎn)商第一次供貨后庫存變?yōu)榱恪?另外，文獻(xiàn)［10］雖然推導(dǎo)出了更具一般性的“三階段”訂貨策略，但是也沒有給出一般數(shù)學(xué)模型.

本文進(jìn)一步放松了學(xué)者王圣東在研究單生產(chǎn)商多銷售商問題時提出的隨機(jī)訂貨策略數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件，通過分析生產(chǎn)商－銷售商聯(lián)合生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的庫存幾何特征，利用最優(yōu)訂貨策略的幾何特征建立數(shù)學(xué)模型.從而使該數(shù)學(xué)模型具有更加寬泛的應(yīng)用條件，該模型的智能啟發(fā)式算法能夠進(jìn)行全域搜索，通過實例驗證，也具有較好的實用性.

1 銷售商與生產(chǎn)商的庫存狀態(tài)分析

1.1 問題的描述

已知生產(chǎn)商的生產(chǎn)率為P；預(yù)測到銷售商的需求率為D；A1、A2分別表示生產(chǎn)商的生產(chǎn)調(diào)整費(fèi)用、銷售商的訂貨費(fèi)；h1、h2分別表示生產(chǎn)商的庫存費(fèi)率、銷售商的庫存費(fèi)率；假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行在無限時間水平上且不允許缺貨；系統(tǒng)采用周期性的生產(chǎn)—訂貨策略；且生產(chǎn)—訂貨周期中只生產(chǎn)一次.要求合理的策略：系統(tǒng)最佳的生產(chǎn)供貨周期、周期內(nèi)銷售商訂貨策略、生產(chǎn)商生產(chǎn)開始時銷售商的初始庫存量，使其即能滿足顧客需求以及一些約束條件，又能使整體庫存費(fèi)用最低.

因為假設(shè)系統(tǒng)采用的是周期性策略，且周期內(nèi)只生產(chǎn)一次.所以一般可以以生產(chǎn)開始的時間到下次生產(chǎn)開始的時間作為一個周期.令生產(chǎn)開始時銷售商的初始庫存為q0，系統(tǒng)策略的周期為T，則周期內(nèi)的需求量Q＝DT；生產(chǎn)商的策略周期中有兩種狀態(tài)：生產(chǎn)狀態(tài)和停產(chǎn)狀態(tài)，則銷售商在生產(chǎn)時間內(nèi)的訂貨次數(shù)為k，在停產(chǎn)時間內(nèi)的訂貨次數(shù)為m，則策略周期內(nèi)總的訂貨次數(shù)為n，n＝m＋k，則周期內(nèi)的訂貨策略為（ti，qi）i＝1，…，n；H、HB、HV分別表示系統(tǒng)總平均庫存、銷售商平均庫存、生產(chǎn)商平均庫存.

1.2 銷售商的庫存分析

圖1 銷售商在一個策略周期的庫存情況Fig.1 Inventory of the buyer during a strategy cycle

圖中，t1，…，tk＋m表示訂貨時間點(diǎn)；T1，…，Tk＋m表示訂貨時間間隔；T0表示從開始生產(chǎn)到第一次訂貨的間隔期；q0表示初始庫存；T表示訂貨周期.訂貨量qi產(chǎn)生的庫存量為：qi2／2D.由圖可知，銷售商在策略周期結(jié)束時的剩余庫存就是下個周期開始時的初始庫存，因為策略是周期性的，所以每個策略周期開始時銷售商的初始庫存都相等.由此，可以推導(dǎo)出銷售商在策略周期的初始庫存等于其在策略結(jié)束時的剩余庫存.所以，若假設(shè)銷售商在第一個周期內(nèi)的平均庫存為HB，則其表達(dá)式為

1.3 生產(chǎn)商的庫存分析

生產(chǎn)商在策略周期中可能存在兩個階段：生產(chǎn)階段和停產(chǎn)階段.所以，銷售商的訂貨可能發(fā)生在生產(chǎn)商的這兩個階段.

一般情況下，如果在策略周期中，銷售商的訂貨有一些在生產(chǎn)商的生產(chǎn)階段，有一些發(fā)生在停產(chǎn)階段.此時相鄰兩次訂貨的間隔期間生產(chǎn)商可能有三種狀態(tài)：生產(chǎn)狀態(tài)、停產(chǎn)狀態(tài)、生產(chǎn)一段時間再停產(chǎn)，如圖2所示.圖中，T’表示生產(chǎn)時間；T表示策略周期；t0表示開始生產(chǎn)的時間（t0所對應(yīng)的豎直虛線段表示銷售商有初始庫存），也是周期開始的時間；ti表示訂貨時間點(diǎn)；qi表示訂貨量；容易理解，圖中陰影部分面積表示生產(chǎn)商在策略周期中的庫存量.

圖2 生產(chǎn)商在一個策略周期的庫存情況Fig.2 Inventory of producer during a strategy cycle

實際上，生產(chǎn)商在一個策略周期的庫存狀態(tài)還有存在一些特殊的情況，即銷售商的訂貨只發(fā)生在生產(chǎn)商的生產(chǎn)期間或只發(fā)生在停產(chǎn)期間.這兩種情況都是圖3的特殊形態(tài).

1.4 系統(tǒng)在策略周期內(nèi)的庫存分析

在圖2中，連接初始庫存虛線段頂點(diǎn)、銷售商訂貨時刻（發(fā)貨前）生產(chǎn)商剩余庫存頂點(diǎn)，則構(gòu)成一幅可以反映系統(tǒng)整體庫存的圖形，如圖3所示.圖中，AE為策略周期開始時銷售商的初始庫存量；BF、CG等豎線段表示銷售商各次的訂貨量；EB、FC等斜線段表示生產(chǎn)商庫存隨生產(chǎn)而增加的量，其斜率為生產(chǎn)率P；三角形左邊JN表示銷售商的庫存隨時間消耗情況，斜率為需求率－D.JR表示生產(chǎn)停止的時間點(diǎn)；F’為第二次訂貨時間點(diǎn)；G’為CG的延長線，使FG’與橫坐標(biāo)平行.

圖3 系統(tǒng)在一個策略周期的庫存情況Fig.3 Inventory of the system during a strategy cycle

1.4.1 系統(tǒng)整體在策略周期中的庫存—時間圖的幾何特征

圖3中的系統(tǒng)在策略周期的庫存—時間圖存在這樣的特征：陰影區(qū)域的面積和銷售商的庫存量相等；五邊形AEONJ表示了系統(tǒng)整體在策略周期的庫存量；AJ的斜率為（P－D），JN的斜率為－D.

在生態(tài)城市建設(shè)中，首要目標(biāo)是為人們提供良好的生活和旅游環(huán)境。相關(guān)部門要建設(shè)公共環(huán)境，有目的地策劃各區(qū)的旅游景點(diǎn)，讓大家能夠在休閑時光里充分放松，緩解平時工作和生活帶來的工作壓力，使大家保持愉悅的心情[1]。

以上特征的證明過程如下：

（1）陰影區(qū)域（一系列帶陰影的小三角形和一個不規(guī)則五邊形）表示銷售商在策略周期的庫存量.

圖中，對于銷售商的訂貨BF與CG之間的庫存量可以用三角形BFG’來表示，又因為ΔBFG’與BFC的底為BF，高為FG’，所以這兩個三角形面積相等.同理可證，大三角形AJN中的帶陰影的小三角形能表示同一時間段銷售商的庫存量.

另外，在生產(chǎn)與停產(chǎn)的交界處：SΔJKW’＝SΔJKW，所以SHIKJ＋SΔJKW’＝SΔHIW，又SΔHIW＝SΔHIM，SHIKJ＋SΔJKW’＝SΔHIM，所以不規(guī)則五邊形HIKA’J的面積能表示銷售商在生產(chǎn)期間最后一次訂貨消耗期間的庫存量.而對于生產(chǎn)商停產(chǎn)期間的訂貨剩余庫存頂點(diǎn)連線比較容易理解其剛好表示銷售商的在期間的庫存量.因此，圖中陰影區(qū)域剛好能夠表示銷售商在策略周期的庫存量.又因為陰影區(qū)里面所包的空白區(qū)域是生產(chǎn)商在策略周期的庫存量，所以圖中陰影加空白區(qū)域是系統(tǒng)整體在策略周期中的庫存.

（2）線段AB、BC等生產(chǎn)期間生產(chǎn)商發(fā)貨前剩余庫存頂點(diǎn)的聯(lián)線在同一條直線上，且斜率為P－D.

假設(shè)γAB表示AB的斜率，γBC表示BC的斜率.BF′表示在供貨周期開始至第一次訂貨期間的產(chǎn)量，其等于生產(chǎn)率P乘以生產(chǎn)時間EF′.因為根據(jù)庫存最小的原則下，銷售商一般在庫存消耗完時才發(fā)出訂貨（假設(shè)前置期為零）.所以，該階段的生產(chǎn)時間

式中：QAE和QBF′分別代表不同時間的系統(tǒng)總庫存量.

同理可以證明：BC的斜率γBC＝P－D，所以AB，BC在一條直線上.同理，A′B′和B′C′的斜率都等于D，所以也在一條直線上.所以，生產(chǎn)商的各個訂貨時點(diǎn)的庫存點(diǎn)的連線正好在三角形AJN的兩條邊上，且三角形的左邊AJ的斜率為P－D，右邊JN的斜率為－D.

從實際上理解，如果將生廠商與銷售商看作成一個虛擬的整體，則其整體庫存就是初始庫存的基礎(chǔ)上，一邊生產(chǎn)、一邊消耗的持續(xù)庫存模型.

1.4.2 生產(chǎn)商在策略周期中的庫存量

根據(jù)上述分析，整個策略周期內(nèi)的系統(tǒng)庫存量為一個大的矩形AEON和一個三角形ANJ構(gòu)成的五邊形里（AEONJ）的面積，矩形的面積為SXAEON＝q0T；假設(shè)生產(chǎn)時間為T′，由于策略周期內(nèi)生產(chǎn)商的生產(chǎn)量等于需求量之和，即PT′＝DT，所以T′＝的高為所則若假設(shè)系統(tǒng)的平均庫存為H，其可以表示為從而生產(chǎn)商的庫存Hv由系統(tǒng)平均庫存減去銷售商的平均庫存HB，為

2 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建及求解

2.1 模型構(gòu)建

不同的訂貨策略會使這些庫存時間量在生產(chǎn)商和銷售商之間進(jìn)行重新分配（圖4中，陰影部分的面積為銷售商的庫存；剩下的面積是生產(chǎn)商的庫存），并且分配還會產(chǎn)生訂貨費(fèi).所以最優(yōu)訂貨策略的幾何求解可以描述為：在一個大的矩形和一個三角形構(gòu)成的五邊形里（如圖中的五邊形AEDNJ）中，在JL左邊，每畫一條豎線段就會生成另一條斜率為P的邊與三角形的邊AJ構(gòu)成一個小三角形（如圖中的AEB和BFC）或在五邊形的中線部分構(gòu)成一個四邊形（如圖中的HIKJ）；在JL的右邊，就是在重新分配之后能帶來的庫存費(fèi)用的節(jié)約值與產(chǎn)生的訂貨費(fèi)之間進(jìn)行比較.

圖4 生產(chǎn)商在一個策略周期中的庫存情況Fig.4 Inventory of the producer during a strategy cycle

因為系統(tǒng)在一個策略周期的平均費(fèi)用為周期內(nèi)平均訂貨費(fèi)用和平均庫存費(fèi)用之和，所以其表達(dá)式為

若系統(tǒng)銷售商訂貨發(fā)生在生產(chǎn)商生產(chǎn)期間T′內(nèi)的訂貨次數(shù)為k，則變形得且在生產(chǎn)商的生產(chǎn)階段內(nèi)，銷售商的當(dāng)期訂貨量不可能超過生產(chǎn)商從開始生產(chǎn)到該次訂貨的訂貨時間點(diǎn)時所生產(chǎn)的總產(chǎn)量，即：qi≤q0＋（P－D）ti.由此，可以推導(dǎo)出：qi≤q0＋；因為系統(tǒng)策略周期內(nèi)銷售商是按照其面臨的需求進(jìn)行訂貨，所以訂貨量之和等于需求量之和，則有綜上所述，生產(chǎn)商－銷售商聯(lián)合生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型為

一般數(shù)學(xué)表達(dá)式中，式（6）是由訂貨費(fèi)用、生產(chǎn)調(diào)整費(fèi)用和庫存費(fèi)用構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式；式（7）表示發(fā)生在生產(chǎn)期間的訂貨量不超過總需求量；式（8）表示發(fā)生在生產(chǎn)商生產(chǎn)階段的訂貨量不能超過其剩余庫存量；式（9）總訂貨量等于總需求量；式（10）表示所需求解的變量的取值范圍.

2.2 模型求解

利用粒子群算法進(jìn)行求解，一般步驟為：

（1）初始化種群的個體.首先，可以初步判斷策略參數(shù)的取值范圍.比如：根據(jù)企業(yè)生成實際預(yù)測時間跨度大小來確定最大允許的策略周期、利用最小訂貨間隔期推導(dǎo)最大訂貨次數(shù)等.然后，隨機(jī)生成正實數(shù)T、自然數(shù)k和m，然后隨機(jī)生成正實數(shù)qi；i＝1，…，m＋k.由T、k、m和qi（i＝1，…，m＋k）構(gòu)成粒子的一個位置，用Xj＝（xj1，xj2，…，xj（k＋m＋3））表示.

（2）檢驗約束條件.根據(jù)上述已生成的初始解代入式（7）～（9），檢驗初始解是否滿足數(shù)學(xué)模型的約束條件.

（3）計算各個粒子不同位置的適應(yīng)度.將符合約束條件的解代入目標(biāo)函數(shù)式（6）.

（4）進(jìn)入主要循環(huán).對于每個微粒，將其適應(yīng)值與所經(jīng)歷過的最好位置Pj（Pj＝ （pj1，pj2，…，pj（k＋m＋3）））的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置；對每個微粒，將其適應(yīng)值與全局所經(jīng)歷的最好位置的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的全局最好位置；根據(jù)式（11）和式（12）對微粒的速度和位置進(jìn)行進(jìn)化，如

式中：下標(biāo)j表示微粒的第j維；i表示微粒i；t表示第t代；c1、c2為加速常數(shù)，通常在0～2間取值；r1～U（0，1），r2～U（0，1）為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)，Vi＝（vi1，vi2，…，vi（k＋m＋3））是設(shè)置的微粒i的飛行速度.

（5）計算結(jié)束.如未達(dá)到結(jié)束條件通常為足夠好的適應(yīng)值或達(dá)到一個預(yù)設(shè)最大代數(shù)（Gmax），則返回.

3 實例計算

例1：考慮 Goyal的例子：A1＝400，A2＝25，h1＝4，h2＝5，P＝3200，D＝1 000.

利用粒子群啟發(fā)式算法對生產(chǎn)商供貨商一般數(shù)學(xué)模型求解，得到最優(yōu)解為T＝0.557 7，q0＝7.39，k＝3、m＝1、q1＝23.6、q2＝75.6、q3＝229.2、q4＝229.3，總成本為1 792.7.該策略前3次訂貨發(fā)生在生產(chǎn)商的生產(chǎn)期間，后1次訂貨發(fā)生在停產(chǎn)期間.與其他策略的比較下表1所示.

例2：考慮 Goyal的例子：A1＝400，A2＝25，h1＝4，h2＝7，P＝3200，D＝1 000.

利用一般數(shù)學(xué)模型的啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，得到的最優(yōu)解為：T＝0.54152、q0＝9.72、k＝3、m＝2、q1＝31.1、q2＝99.5、q3＝136.96、q4＝136.96、q5＝136.96，總成本為1 938.96.該策略前3次訂貨發(fā)生在生產(chǎn)商的生產(chǎn)期間，后2次訂貨發(fā)生在停產(chǎn)期間.與其他策略的比較見表1和表2.

表1 例1中不同策略的結(jié)果比較Tab.1 The results of different strategies

表2 例2中不同策略的結(jié)果比較Tab.2 The results of different strategies

以上兩個實例中，傳統(tǒng)的訂貨策略（包括Goyal、Lu、Hill等提出的策略）得到的解與最優(yōu)解有較大的差距，而一般數(shù)學(xué)模型通過啟發(fā)式算法求解能夠找到比傳統(tǒng)策略更好的策略.

4 結(jié)語

放寬了訂貨策略的一些假設(shè)，直接針對生產(chǎn)商－銷售商聯(lián)合生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的庫存－時間圖進(jìn)行了比較詳細(xì)的分析.根據(jù)庫存－時間圖得出一個策略周期的銷售商的庫存量、系統(tǒng)整體庫存量以及生產(chǎn)商庫存量的表達(dá)式；然后，利用這些表達(dá)式得到了目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；接著，利用系統(tǒng)整體的庫存－時間圖分析出訂貨策略的一些約束條件：發(fā)生在生產(chǎn)商生產(chǎn)階段的訂貨量不能超過其剩余庫存量；總訂貨量等于總需求量；發(fā)生在生產(chǎn)期間的訂貨量不超過總需求量；從而得到了一般化的生產(chǎn)商－銷售商聯(lián)合生產(chǎn)－庫存管理的數(shù)學(xué)模型.最后，通過兩個實例對該模型進(jìn)行了驗證，與其他策略相比，該模型得到的訂貨策略確實要更加優(yōu)化.

［1］Goyal S K.A joint economic－lot－size model for purchaser and vendor：a comment［J］.Decision Sciences，1988，19：236.

［2］Lu L.A one－vendor multi－buyer integrated inventory model［J］.European Journal of Operational Research，1995，81：312.

［3］Goyal SK.A one－vendor multi－buyer integrated inventory model：A comment［J］.European Journal of Operational Research，1995，82：209.

［4］Hill R M.The single－vendor single－buyer integrated production－inventory model with a generalized policy［J］.European Journal of Operational Research，1997，97：493.

［5］Hill RM.Another look at the single－vendor single－buyer integrated production－inventory problem ［J］.International Journal of Production Research，2006，44：791.

［6］Goyal S K，Nebebe F.Determination of economic productionshipment policy for a single－vendor－single－buyer system［J］.European Journal of Operational Research，2000，121：175.

［7］Goyal S K.On improving the single－vendor single－buyer integrated production inventory model with a generalized policy［J］.European Journal of Operational Research，2000，125：429.

［8］王圣東，單供貨商多銷售商聯(lián)合生產(chǎn)庫存模型［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2006，21：92.WANG Shengdong.Production inventory models for a onevendor multi－buyer integrated system［J］.Journal of Systems Engineering，2006，21：92.

［9］ZHOU Yongwu.Optimal production and shipment models for a single－vendor－single－buyer integrated system［J］.European Journal of Operational Research，2007，180：309.

［10］XIONG Hao.A three－phase policy for single－vendor singlebuyer production－inventory systems［C］／／ICLEM，［S.l.］：Logistics for Sustained Economic Development，2010：3755－3762.