任學(xué)敏，光華

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092）

有償債基金機(jī)制的公司債是指發(fā)行公司專門提取償債基金以保證本息償還的公司債券.這種債券規(guī)定發(fā)行公司在債券到期之前，要按照契約規(guī)定，定期提取一定比例的贏利作為償債基金，交由接受委托的信托公司或金融機(jī)構(gòu)保管，逐步積累以保證債券到期一次償還.此種債券具有提前償還的性質(zhì).

償債基金（Sinking fund）亦稱“減債基金”，它是發(fā)行人為確保在到期日有足夠的資金以償還債權(quán)人的本金和利息，在債券未到期前預(yù)先按期提存的基金.償債基金通常選定的一家銀行作為信托管理人，由信托管理人利用這筆基金進(jìn)行各種投資，投資收益則增加償債基金，相當(dāng)于一筆專用基金存款.至于基金的計(jì)提方式有：定期計(jì)提一定的金額；以債務(wù)余額的一定比例計(jì)提；依盈利多少計(jì)提（但有最低額度限制）；計(jì)提金額逐年增加以及依普通股份分紅情形計(jì)提，以上各種方式可依實(shí)際需要酌情采用.

設(shè)立償債基金的理論依據(jù)是復(fù)利累積計(jì)算法，由英國學(xué)者R.普萊斯創(chuàng)立.他認(rèn)為如果以現(xiàn)存?zhèn)鶆?wù)的1%為基金，那么基金將按復(fù)利增殖.按這種方法，政府用于買銷公債（政府以剩余資金按照時(shí)價(jià)從證券市場(chǎng)中收買公債，從而使該債務(wù)歸于消失）的財(cái)源有兩個(gè)：政府每年所提供的定額資金；已買銷公債利息的增積.這種償債基金方法曾在18世紀(jì)末流行過，不過現(xiàn)代償債基金的形式與過去有所不同.常用的方法是以財(cái)政撥款作為償債基金，直接用于買銷或者償還公債.償債基金制度的采用在西方國家比較普遍.有些國家只存在一些特殊的少量的減債基金；有的國家則設(shè)有用于償債的特殊基金或金庫，即把超收的財(cái)政收入部分用于減少信用資金籌集或用于償還債務(wù).償債基金制度比較完善的是日本，除了轉(zhuǎn)換公司債采用減償債基金外，國債償債基金特別會(huì)計(jì)法等也都規(guī)定了要設(shè)置償債基金.我國外匯管理體制改革后，為了確保企業(yè)對(duì)外信譽(yù)，國家規(guī)定：對(duì)外債較多的企業(yè)和有關(guān)部門可以建立相應(yīng)償債基金，并在外匯指定銀行開立現(xiàn)匯賬戶存儲(chǔ)，以保證按期歸還.

1 基本假設(shè)

（1）假設(shè)公司的資產(chǎn)值在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下滿足隨機(jī)微分方程

式中：r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；σ為波動(dòng)率，均為常數(shù)；Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，即E（dW）＝0，Var（dW）＝dt，t＝0時(shí)刻的公司資產(chǎn)記為V0.T1時(shí)刻，計(jì)提基金之前公司資產(chǎn)記為VT1－，計(jì)提基金后記為VT1＋.如果公司在［0，T1］內(nèi)沒有違約，在T1時(shí)刻公司計(jì)提償債基金，公司資產(chǎn)發(fā)生跳躍，之后繼續(xù)滿足式（1）描述的幾何布朗運(yùn)動(dòng).

（2）假設(shè)某一有償債基金機(jī)制的公司發(fā)行了到期日為T2，面值為1元的零息票債券，到期日應(yīng)償還債務(wù)為K，價(jià)格記為P.根據(jù)契約規(guī)定，如果公司在T1時(shí)刻有盈利，則按照比例ω計(jì)提盈利作為償債基金，并且按照債務(wù)額限定計(jì)提基金的最高額度分別為hK；否則不計(jì)提償債基金.記計(jì)提償債基金金額為F，則有

那么計(jì)提基金后公司資產(chǎn)VT1＋可表示為

（3）假定時(shí)間段［0，T1］內(nèi)公司的違約邊界為K（t），［T1，T2］內(nèi)的違約邊界為（t）.其中

（4）假定公司發(fā)生違約后的回收率為常數(shù)α，采用面值回收.如果公司在［0，T1］上違約，則債券持有人可在T2時(shí)得到α元；如果公司在［T1，T2］內(nèi)違約，由于計(jì)提的基金到期時(shí)一定能得到，所以債券持有人T2時(shí)可得到元.

（5）假設(shè)市場(chǎng)是完全的，無摩擦的.

2 模型建立及求解

2.1 ［0，T1］內(nèi)公司沒有違約的概率和T1時(shí)刻公司資產(chǎn)的條件分布

在時(shí)間段［0，T1］上公司的首次違約時(shí)間記為τ，τ＝inf｛t｜Vt≤K（t）；t∈［0，T1］｝，那么公司在［0，T1］上沒有違約的概率可以表示為P（τ＞T1）.記公司資產(chǎn)V在T1－時(shí)刻的條件分布為p（VT1－＝y(tǒng)｜τ＞T1），即在公司在時(shí)間段［0，T1］內(nèi)沒有違約的前提下公司資產(chǎn)為y的密度.記公司資產(chǎn)V在T1＋時(shí)刻的條件密度為p（VT1＋＝z｜τ＞T1），其中z＝y(tǒng)－F.由式（1）根據(jù)公式可得可知事件x｝.對(duì)事件做如下等價(jià)變換

引理［1］：設(shè)｛W（t），t≥0｝為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，f（s），0≤t1＜s≤t2為任一線性函數(shù)，則

引理的證明參見文獻(xiàn)［2］.利用引理的結(jié)論并結(jié)合式（7）可得

由｛－W（t），t≥0｝仍為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)有

由式（9）和式（10）進(jìn)一步可以計(jì)算［0，T1］內(nèi)公司沒有違約的概率

其中N（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù).由式（9）～（11）可得

由式（6）知隨機(jī)變量VT1－是隨機(jī)變量WT1～N（0，T1）的函數(shù)［3］，可得

由于VT1＋＝VT1－－F，由式（13）可得公司資產(chǎn)V，在T1＋時(shí)刻的條件分布為

2.2 時(shí)間段［T1，T2］上長期債券的價(jià)格

如果公司在［0，T1］內(nèi)沒有違約，公司資產(chǎn)在［T1，T2］上滿足式（1），T1時(shí)刻的初值為隨機(jī)變量它的密度函數(shù)由式（14）給出.記， 那么債券價(jià)格在［T1T2］上滿足偏微分方程［4－5］

滿足方程（15）的解為［6－7］

2.3 債券的定價(jià)公式

定理：有償債基金的公司債券定價(jià)公式為

式中：P｜t＝0表示債券的初始發(fā)行價(jià)格，P（VT1＋，T1）為式（17）在T1時(shí)刻的值.

這是因?yàn)?，如果公司在時(shí)間段［0，T1］內(nèi)違約，債券持有人將在到期日T2得到α元；如果公司在時(shí)間段［0，T1］內(nèi)沒有違約，債券在T1時(shí)刻的價(jià)格（對(duì)應(yīng)某個(gè)確定的公司資產(chǎn)值，例如VT1－＝y(tǒng)）可由式（17）給出.

3 數(shù)值結(jié)果及分析

償債基金債券有提前償付的性質(zhì)，因?yàn)樵诘狡谌胀顿Y者一定可以得到計(jì)提的償債基金，從式（17）中可以看到實(shí)際上這相當(dāng)于提高了公司違約后的回收率 （β≥α）.式（18）中積分的計(jì)算采用蒙特卡羅方法模擬計(jì)算［8－9］.取如下參數(shù)r＝0.05，σ＝0.2，α＝0.4，ω＝0.5，h＝0.5，V0＝1，T1＝1，T2＝2，除考慮單個(gè)因素變化的影響外參數(shù)保持不變.圖1中橫坐標(biāo)軸表示初始時(shí)刻發(fā)行的債券總量占公司資產(chǎn)的比例，可以反映公司的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)；縱坐標(biāo)軸表示償債基金債券的發(fā)行價(jià)，即可以反映公司的融資成本.

從圖1可以看到隨著債券發(fā)行量的增加，債券的發(fā)行價(jià)會(huì)降低.從式（18）分析一方面當(dāng)債務(wù)增加，公司在［0，T1］內(nèi)違約的概率會(huì)增大，而［0，T1］上公司的回收率小于或等于［T1，T2］上的回收率；另一方面當(dāng)債務(wù)增加公司在［T1，T2］內(nèi)違約的概率也會(huì)增大，這兩方面因素都會(huì)使債券價(jià)格降低.這說明公司資產(chǎn)中債務(wù)比例越高，公司的融資成本就會(huì)增加.

從圖1中還可以看到，當(dāng)債務(wù)量相同時(shí)，波動(dòng)率越大，債券的價(jià)格越低，即公司的融資成本越高，所以經(jīng)營越穩(wěn)定的公司，發(fā)行債券融資付出的成本應(yīng)該比較小.這是因?yàn)椴▌?dòng)率越大，公司的違約概率越大，從上述的兩個(gè)方面影響使債券發(fā)行價(jià)降低.

圖1 波動(dòng)率對(duì)發(fā)行價(jià)的影響的影響Fig.1 The impact of the asset volatility on the price of bond

從圖2可以看到雖然隨著債務(wù)的增加，公司發(fā)行債券的融資成本增高，但是公司的融資量（籌集到的資本）呈現(xiàn)先增后減，在K／V0＝0.8左右達(dá)到最大值.因此公司在發(fā)行債券時(shí)應(yīng)該同時(shí)綜合考慮所需的資金量和融資成本，制定適當(dāng)?shù)娜谫Y計(jì)劃.

圖2 波動(dòng)率對(duì)融資比率的影響的影響Fig.2 The impact of the asset volatility on the ratio of finance

從圖3可以看到公司債券的價(jià)格隨回收率的增大而增大，在違約概率相同的情況下回收率越大，債權(quán)人的損失越小，發(fā)行是公司給予債權(quán)人的補(bǔ)償就相對(duì)的少一些，債券價(jià)格就會(huì)比較高，公司的融資成本比較低.

從圖4可以看到，計(jì)提基金的比例對(duì)債券價(jià)格影響并不明顯.公司在T1時(shí)刻有盈利的情況下計(jì)提償債基金占盈利的比例越高，實(shí)際上相當(dāng)于［T1，T2］上的回收率β越大，而且它對(duì)公司違約概率的影響并不顯著.所以在公司違約概率比較小的情況下，計(jì)提比例對(duì)債券價(jià)格的影響并不明顯.不過理論上計(jì)提的比例越高對(duì)債權(quán)人顯然越安全，所以債券價(jià)格應(yīng)該越高.

4 結(jié)論

給出有償債基金機(jī)制公司發(fā)行的一張零息票債券的定價(jià)模型.假設(shè)債券在存續(xù)期間計(jì)提一次償債基金，這種債券具有提前償還的性質(zhì)，更有利于保護(hù)債券持有人的權(quán)益.文中主要給出了公司在計(jì)提償債基金前沒有違約的概率以及在此條件下公司資產(chǎn)的條件分布，并運(yùn)用到債券定價(jià)中.在債券的定價(jià)模型中本文利用了首次通過模型.最后通過數(shù)值計(jì)算作圖分析債券價(jià)格隨參數(shù)變化的金融意義.本文的結(jié)論是公司發(fā)行債券的融資成本隨公司資產(chǎn)結(jié)構(gòu)中債務(wù)比例的增大而增大，但是公司發(fā)行債券可以籌集到的資金隨債務(wù)比例的增大呈現(xiàn)先增后減，在某一特定的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)下可以獲得最大的融資量，所以公司在發(fā)行債券時(shí)應(yīng)該綜合考慮所需的資金量和融資成本，制定適當(dāng)?shù)娜谫Y計(jì)劃.

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