☉江蘇省盱眙縣第二中學 趙可望
一元一次不等式(組)有關知識是中考必考知識點,在近幾年考試中,除一些常規(guī)題外,還出現(xiàn)了不少創(chuàng)新型題,下面就讓我們一起來體驗一下吧!
例1 在實數(shù)的原有運算法則中,我們補充新運算法則“*”如下:當a≥b時,a*b=b2;當a<b時,a*b=a.則當x=2時,(1*x)·x-(3*x)=_______.(“·”和“-”仍為有理數(shù)運算中的乘號和減號).
分析:這是一道雙法則新定義的混合運算問題,先根據(jù)x值的大小決定用哪個運算法則,然后將新定義運算轉化為我們熟悉的常規(guī)運算,進而解決問題.
解:因為x=2,在1*x中,1<x,即a<b,所以應選用第二個法則,則1*x=1.在3*x中,3>x,即a>b,所以應選用第一個法則,則3*x=x2.所以(1*x)·x-(3*x)=x-x2=2-22=-2.
分析:這是一道結論開放型問題,先求出不等式的解集,再寫出其整數(shù)解.
例3已知關于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).
(1)當a=-2時,求此不等式的解,并在數(shù)軸上表示此不等式的解集;
(2)小明準備了10張形狀、大小完全相同的不透明卡片,上面分別寫有整數(shù)-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上.從中任意抽取一張,以卡片上的數(shù)作為不等式中的系數(shù)a,求使該不等式沒有正整數(shù)解的概率.
分析:本題考查了不等式的解法和計算概率的能力,體現(xiàn)數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系,有利于學生感受數(shù)學的整體性.
圖1
在數(shù)軸上正確表示此不等式的解集如圖1所示.
圖2
例4如圖2,要使輸出值y大于100,則輸入的最小正整數(shù)x是______.
分析:本題是一道數(shù)值轉換機問題,如果按一般方法由結果“逆推”條件也可,但略顯繁瑣.因為輸出值y大于100,我們不妨構造不等式模型,利用不等式知識解決.
例5 閱讀下列內容后,解答下列各題:幾個不等于0的數(shù)相乘,積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.例如:考查代數(shù)式(x-1)(x-2)的值與0的大小.當x<1時,x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0;當1<x<2時,x-1>0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)<0;當x>2時,x-1>0,x-2>0,所以(x-1)(x-2)>0;綜上:當1<x<2時,(x-1)(x-2)<0;當x<1或x>2時,(x-1)(x-2)>0.
(1)填寫下表:(用“+”或“-”填入空格處)
(2)由上表可知,當x滿足________時,(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0;
(3)運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,直接寫出當x滿足________時,(x-7)(x+8)(x-9)<0.
分析:(1)根據(jù)有理數(shù)乘法運算的符號法則,結合不等式知識,用分類討論的思想,可完成表格.(2)參照閱讀材料,觀察表格的最后一行的符號,即可解決問題.(3)從上面的表格可以看出,積的符號總是“+”“-”相間的,若令每一個因式等于0,可求出對應的x值,然后從小到大排列出來,當積中因式是偶數(shù)個時,排在第一列的符號一定為“+”,然后正好是“+”“-”相間;當積中因式是奇數(shù)個時,排在第一列的符號一定為“-”,然后正好是“-”“+”相間.由此規(guī)律可解決問題.當然此題也可分x<-8,-8<x<7,7<x<9,x>9列出類似的表格進行分析,得出最后結果.
解:(1)當-1<x<3時,x+2>0,x+1>0,x-3<0,x-4<0,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0,故填“+”;當3<x<4時,x+2>0,x+1>0,x-3>0,x-4<0,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0,故填“-”;當x>4時,x+2>0,x+1>0,x-3>0,x-4>0,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0,故填“+”.(2)從表格的最后一行的符號知道,當-2<x<-1或3<x<4時,(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0.(3)因為(x-7)(x+8)(x-9)是奇數(shù)個因式,因此當x<-8時,(x-7)(x+8)(x-9)<0;然后隔一個是小于0,即當7<x<9時,(x-7)(x+8)(x-9)<0.所以當x<-8或7<x<9時,(x-7)(x+8)(x-9)<0.