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        探析不等式的創(chuàng)新型試題

        2012-07-25 07:31:26江蘇省盱眙縣第二中學(xué)趙可望
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年20期
        關(guān)鍵詞:因式相間數(shù)軸

        ☉江蘇省盱眙縣第二中學(xué) 趙可望

        一元一次不等式(組)有關(guān)知識(shí)是中考必考知識(shí)點(diǎn),在近幾年考試中,除一些常規(guī)題外,還出現(xiàn)了不少創(chuàng)新型題,下面就讓我們一起來體驗(yàn)一下吧!

        一、新定義型

        例1 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充新運(yùn)算法則“*”如下:當(dāng)a≥b時(shí),a*b=b2;當(dāng)a<b時(shí),a*b=a.則當(dāng)x=2時(shí),(1*x)·x-(3*x)=_______.(“·”和“-”仍為有理數(shù)運(yùn)算中的乘號(hào)和減號(hào)).

        分析:這是一道雙法則新定義的混合運(yùn)算問題,先根據(jù)x值的大小決定用哪個(gè)運(yùn)算法則,然后將新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常規(guī)運(yùn)算,進(jìn)而解決問題.

        解:因?yàn)閤=2,在1*x中,1<x,即a<b,所以應(yīng)選用第二個(gè)法則,則1*x=1.在3*x中,3>x,即a>b,所以應(yīng)選用第一個(gè)法則,則3*x=x2.所以(1*x)·x-(3*x)=x-x2=2-22=-2.

        二、開放型

        分析:這是一道結(jié)論開放型問題,先求出不等式的解集,再寫出其整數(shù)解.

        三、不等式與概率問題相結(jié)合

        例3已知關(guān)于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).

        (1)當(dāng)a=-2時(shí),求此不等式的解,并在數(shù)軸上表示此不等式的解集;

        (2)小明準(zhǔn)備了10張形狀、大小完全相同的不透明卡片,上面分別寫有整數(shù)-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上.從中任意抽取一張,以卡片上的數(shù)作為不等式中的系數(shù)a,求使該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.

        分析:本題考查了不等式的解法和計(jì)算概率的能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系,有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.

        圖1

        在數(shù)軸上正確表示此不等式的解集如圖1所示.

        四、數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)問題

        圖2

        例4如圖2,要使輸出值y大于100,則輸入的最小正整數(shù)x是______.

        分析:本題是一道數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)問題,如果按一般方法由結(jié)果“逆推”條件也可,但略顯繁瑣.因?yàn)檩敵鲋祔大于100,我們不妨構(gòu)造不等式模型,利用不等式知識(shí)解決.

        五、閱讀理解問題

        例5 閱讀下列內(nèi)容后,解答下列各題:幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘,積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.例如:考查代數(shù)式(x-1)(x-2)的值與0的大小.當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0;當(dāng)1<x<2時(shí),x-1>0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)<0;當(dāng)x>2時(shí),x-1>0,x-2>0,所以(x-1)(x-2)>0;綜上:當(dāng)1<x<2時(shí),(x-1)(x-2)<0;當(dāng)x<1或x>2時(shí),(x-1)(x-2)>0.

        (1)填寫下表:(用“+”或“-”填入空格處)

        (2)由上表可知,當(dāng)x滿足________時(shí),(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0;

        (3)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,直接寫出當(dāng)x滿足________時(shí),(x-7)(x+8)(x-9)<0.

        分析:(1)根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算的符號(hào)法則,結(jié)合不等式知識(shí),用分類討論的思想,可完成表格.(2)參照閱讀材料,觀察表格的最后一行的符號(hào),即可解決問題.(3)從上面的表格可以看出,積的符號(hào)總是“+”“-”相間的,若令每一個(gè)因式等于0,可求出對(duì)應(yīng)的x值,然后從小到大排列出來,當(dāng)積中因式是偶數(shù)個(gè)時(shí),排在第一列的符號(hào)一定為“+”,然后正好是“+”“-”相間;當(dāng)積中因式是奇數(shù)個(gè)時(shí),排在第一列的符號(hào)一定為“-”,然后正好是“-”“+”相間.由此規(guī)律可解決問題.當(dāng)然此題也可分x<-8,-8<x<7,7<x<9,x>9列出類似的表格進(jìn)行分析,得出最后結(jié)果.

        解:(1)當(dāng)-1<x<3時(shí),x+2>0,x+1>0,x-3<0,x-4<0,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0,故填“+”;當(dāng)3<x<4時(shí),x+2>0,x+1>0,x-3>0,x-4<0,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0,故填“-”;當(dāng)x>4時(shí),x+2>0,x+1>0,x-3>0,x-4>0,所以(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)>0,故填“+”.(2)從表格的最后一行的符號(hào)知道,當(dāng)-2<x<-1或3<x<4時(shí),(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)<0.(3)因?yàn)椋▁-7)(x+8)(x-9)是奇數(shù)個(gè)因式,因此當(dāng)x<-8時(shí),(x-7)(x+8)(x-9)<0;然后隔一個(gè)是小于0,即當(dāng)7<x<9時(shí),(x-7)(x+8)(x-9)<0.所以當(dāng)x<-8或7<x<9時(shí),(x-7)(x+8)(x-9)<0.

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