☉江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初中 李萬海

整式的運(yùn)算中，隱含著許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，現(xiàn)歸納起來主要有以下幾種，供大家參考：

一、整體思想

例1（2012年廈門市）已知a+b=2，ab=-1，則3a+ab+3b=______；a2+b2=______.

分析：觀察所要求值的整式特點(diǎn)，用因式分解手段，分別把它們進(jìn)行變形，使它們中出現(xiàn)a+b及ab這樣的組合，再將a+b=2，ab=-1整體代入即可求得答案.

解：因?yàn)閍+b=2，ab=-1，

所以3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（-1）=5；

a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-1）=6.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想，把所給的條件進(jìn)行變形，為求值創(chuàng)造條件，這樣顯得很簡便.

二、轉(zhuǎn)化思想

例2（2012年宜賓市）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，當(dāng)x≠0時(shí)，3P-2Q=7恒成立，則y的值為______.

分析：先根據(jù)題意把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2分別代入3P-2Q=7中，把這個(gè)等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程，再合并同類項(xiàng)，然后提取公因式，即可求出y的值.

解：把P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2代入3P-2Q=7，得

3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立.

去括號(hào)，得9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，

合并同類項(xiàng)，得13xy-26x=0，

即13x（y-2）=0.

而x≠0，則y-2=0，所以y=2.

點(diǎn)評(píng)：把字母條件代入原式，使已知等式轉(zhuǎn)化為方程，再把相關(guān)式子進(jìn)行整理，然后提取公因式，是一道基礎(chǔ)題.因此，在化簡過程中，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3（2012年佛山市）如圖1，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個(gè)邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為______.

分析：由于邊長為（m+4）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無縫隙），那么根據(jù)正方形的面積公式，可以求出剩余部分的面積，而矩形一邊長為4，利用矩形的面積公式即可求出另一邊長.

解：依題意得剩余部分的面積為

（m+4）2-m2=m2+8m+16-m2=8m+16，而拼成的矩形一邊長為4，

所以另一邊長是（8m+16）÷4=2m+4.

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵之處在于，抓住在剪拼前后，兩個(gè)圖形的面積相等.從而用作驗(yàn)證乘法公式的正確性，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合.

四、代數(shù)思想

例4（2012年溫州市）某校藝術(shù)班同學(xué)，每人都會(huì)彈鋼琴或古箏，其中會(huì)彈鋼琴的人數(shù)會(huì)比會(huì)彈古箏的人數(shù)多10，兩種都會(huì)的有7人.設(shè)會(huì)彈古箏的有m人，則該班同學(xué)共有______人（用含有m的代數(shù)式表示）.

分析：根據(jù)會(huì)彈鋼琴的人數(shù)與會(huì)彈古箏的人數(shù)之間的關(guān)系，用含m的整式表示出會(huì)彈鋼琴的人數(shù)，再由兩種都會(huì)的有7人這一條件，則可得出該班同學(xué)的總?cè)藬?shù).

解：由于會(huì)彈古箏的有m人，而會(huì)彈鋼琴的人數(shù)會(huì)比會(huì)彈古箏的人數(shù)多10，則會(huì)彈鋼琴的人數(shù)為：（m+10）.從而，會(huì)彈兩種樂器中的一種或兩種的人數(shù)為：m+（m+10）.考慮到兩種都會(huì)的有7人，所以，需從中減去7人，故該班同學(xué)總?cè)藬?shù)為：m+（m+10）-7=2m+3.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，用字母分別表示問題中的各個(gè)量，體現(xiàn)了代數(shù)思想的運(yùn)用，也為后面問題的解決打下基礎(chǔ).

五、由“特殊”到“一般”的思想

例5（2012年萬寧市）觀察下列各式，探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

22-1=1×3；

42-11=53×5；

62-1=35=5×7；

82-1=63=7×9；

102-1=99=99；

…

用含正整數(shù)n的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為______.

分析：觀察每個(gè)等式左邊的兩個(gè)因數(shù)與右邊數(shù)的關(guān)系，逐個(gè)分析，從數(shù)字的變化情況中可以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的變化規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示出來即可.

解：通過觀察發(fā)現(xiàn)，等式左邊的被減數(shù)是從2開始的連續(xù)偶數(shù)的平方，減數(shù)是1；等式右邊則是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積，且較小因數(shù)是從1開始的.于是，有（2n）2-1=（2n-1）（2n+1）.

點(diǎn)評(píng)：通過觀察，比較等式中的各部分?jǐn)?shù)字之間的關(guān)系，再從中找出變化規(guī)律，則可發(fā)現(xiàn)一般化的等式，其中蘊(yùn)含著由“特殊”到“一般”的思想.

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí).領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，就抓住了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).也就升華了數(shù)學(xué)思維，真正學(xué)到了數(shù)學(xué)方法.在進(jìn)行整式運(yùn)算的過程中，如果能抓住思想方法，就抓住了問題的本質(zhì)，就能提高分析和解決問題的能力.