☉山東省棲霞市廟后中學(xué) 王忠剛

☉山東省棲霞市教體局教研室 王志進(jìn)

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域，筆者認(rèn)為這四部分內(nèi)容是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，是一個(gè)經(jīng)過精心設(shè)計(jì)和系統(tǒng)規(guī)劃的課程內(nèi)容體系，而且這樣的課程內(nèi)容劃分也是因?yàn)轭I(lǐng)域課程內(nèi)容的目標(biāo)及教學(xué)要求相同，方便學(xué)生整體、系統(tǒng)、模塊化的學(xué)習(xí).

但是，在新課標(biāo)的實(shí)施過程中，有的教師沒有理解課程內(nèi)容劃分的本意，人為地割裂了四大領(lǐng)域之間的內(nèi)在聯(lián)系，在四大領(lǐng)域之間挖掘出巨大的鴻溝，從而窄化了知識的應(yīng)用.

本文以統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)為例，說明平均數(shù)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.

首先，由于平均數(shù)的計(jì)算公式是用代數(shù)式來表示的，這就為實(shí)現(xiàn)平均數(shù)的跨領(lǐng)域應(yīng)用提供了基本的條件.

其次，平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，所有數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動，并且它們與平均數(shù)之間都存在著偏差；偏差有正有負(fù)、有大有小，偏差之和等于0.偏差的這些特點(diǎn)為我們提供了解題契機(jī)：通過引進(jìn)波動參數(shù)，利用偏差的正負(fù)，轉(zhuǎn)換解題思路，發(fā)現(xiàn)解題途徑.

巧借平均數(shù)設(shè)參妙解題的應(yīng)用可分為三個(gè)拾級拓展的層次：結(jié)構(gòu)明顯，套著用；直用受阻，變著用；結(jié)構(gòu)隱晦，挖著用.

下面，我們舉例說明其應(yīng)用.

第一層次：結(jié)構(gòu)明顯，套著用

如果已知條件中含有幾個(gè)數(shù)（或字母）的和的結(jié)構(gòu)特征，我們很容易聯(lián)想到平均數(shù)的知識，我們就可以直接套用平均數(shù)的知識解題.

例1已知b+c=8，bc=a2－12a+52，求證：b=c=4.

設(shè)b=4+t，c=4－t，代入bc=a2－12a+52，得：

a2－12a+t2+36=0.

因Δ=144－4（t2+36）=－4t2≥0，得t=0.

所以b=c=4.

評注：根據(jù)和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們巧妙地假設(shè)參數(shù)，為代數(shù)式等式的證明提供了新穎別致的解法.

例2已知實(shí)數(shù)a、b、c為實(shí)數(shù)，且a+b=8，c2+16=ab，求a+2b+3c的值.

故可設(shè)a=4+t，b=4－t，代入c2+16=ab，得：

c2+16=（4+t）（4－t），即c2+t2=0，解得c=0且t=0.

所以a=4，b=4.

故a+2b+3c=4+2×4+3×0=12.

例3 已知x+y+z=3a（a≠0），求代數(shù)式：

令x=a+t1，y=a+t2，z=a+t3且t1+t2+t3=0.

所以t1=a+x，t2=a+y，t3=a+z.

由t1+t2+t3=0，得t1+t2+t3+2（t1t2+t2t3+t1t3）=0.

評注：上述兩個(gè)例題含有幾個(gè)數(shù)（或字母）的和的結(jié)構(gòu)特征，我們很容易想到平均數(shù)公式，巧借平均數(shù)設(shè)參妙解.

評注：本題的證法比較多，但是借助平均數(shù)的方法巧設(shè)參數(shù)，解法特別簡單，其原因就是創(chuàng)造出正負(fù)項(xiàng)相互抵消.

第二層次：直用受阻變著用

如果題目中含有幾個(gè)數(shù)（或字母）的和的結(jié)構(gòu)特征，但是不能直接使用平均數(shù)的知識解決問題時(shí)，我們可根據(jù)解題的需要，把已知條件變形后再用.

例5若a+b+c=0，a3+b3+c3=0，求a2011+b2011+c2011的值.

若c=0，則a=－b，有a2011+b2011+c2011=0；

評注：上述例題雖然含有幾個(gè)數(shù)（或字母）的和的結(jié)構(gòu)特征，但是我們不能直接借用平均數(shù)公式解題，因此，我們需要把已知條件直接變形后巧借平均數(shù)設(shè)參，然后找到a、b、c之間的關(guān)系，順利求解.

例6設(shè)a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：由a+b+c+d+e=8，得a+b+c+d=8-e，

評注：由于我們不能直接使用平均數(shù)公式解題，但我們看到結(jié)論要求的最大值，因此，我們把已知條件直接變形后巧借平均數(shù)設(shè)參，然后構(gòu)造了關(guān)于e的不等式，解關(guān)于e的不等式求得最值.

第三層次：結(jié)構(gòu)隱晦挖著用

如果題目中不含有幾個(gè)數(shù)（或字母）的和的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)然我們不能直接使用平均數(shù)的知識解決問題，這時(shí)候我們要仔細(xì)審題、靈活變形，挖掘題中隱含的、可利用的解題信息，人為地構(gòu)造平均數(shù)的知識解題.

解得x=0或x=2.

評注：本題初看與平均數(shù)的關(guān)系不大，但是我們依然可以把“－”轉(zhuǎn)化為“＋”，創(chuàng)造機(jī)會使用平均數(shù)來求解.

例8分解因式：（6x+7）（23x+4）（x+1）-6.

即（6x+7）、（6x+7）、（6x+8）、（6x+6）的平均數(shù)為（6x+7）.

故可設(shè)y=6x+7，

評注：本題沒有明顯的和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，但是，我們?nèi)匀皇褂闷骄鶖?shù)的方法試一試，機(jī)會頓出，立即達(dá)到高次方程低次化、陌生問題熟悉化的化歸功能.

例9解方程（x+3）4+（x+1）4=82.

設(shè)y=x+2，故原方程變?yōu)椋▂+1）4+（y-1）4=82.

即y4+6y2-40=0.

解得y2=4或y2=-10（舍去）.

所以y=2或y=-2.

所以x+2=2或x+2=-2.

解得x=0或x=-4.

例10計(jì)算：992-103×97.

所以992-（100+3）×（100-3）

=992-1002+9

=（99-100）（99+100）+9

=-190.

評注：本題是有關(guān)具體的實(shí)數(shù)運(yùn)算的題目，它沒有代數(shù)式運(yùn)算的顯性特征，因此利用構(gòu)造平均數(shù)來簡化運(yùn)算就更具難度.但是，我們只要仔細(xì)觀察題中的三個(gè)重要數(shù)據(jù)：103，99，97，我們還是容易想到取這三個(gè)數(shù)的中間數(shù)，這個(gè)工作自然是由平均數(shù)來完成的，從而利用平均數(shù)構(gòu)造平方差公式來簡化運(yùn)算.

我們通過10個(gè)例題說明了平均數(shù)思想在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域即求代數(shù)式的值、證明代數(shù)式等式、因式分解、解方程、證明不等式、求最值等六個(gè)方面的廣泛應(yīng)用，其解題方法新穎別致，解題過程簡單明了，給人耳目一新的感覺，既溝通了知識之間的聯(lián)系，拓展了知識的應(yīng)用，深化了對知識的理解，又提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng).