☉上海市浦東教育發(fā)展研究院 黃家禮（特級教師）

中考數(shù)學壓軸題一般是指選擇題、填空題和解答題的最后一題.近幾年上海市中考數(shù)學命題一直堅持易、中、難試題分值所占比例按8∶1∶1設計，中檔題和較難題各占10%，這兩類試題分散在不同題型中，不把所有難點放在同一題型中的做法，有利于不同層次學生的區(qū)分，也有利于合理診斷學生解決問題過程的認知情況.對上海卷而言，壓軸題就是第6題、第18題和第25題，它們相對于整個試卷更多地承擔著選拔的功能，要想獲得高分，會解這三道題是關鍵.

一、壓軸題的特點

壓軸題的特點一般有：（1）綜合性強，涉及的考點多.（2）解題過程復雜，思維容量大，一般需要較多步驟的推理和計算，需要分析、綜合或分析綜合協(xié)同作戰(zhàn).（3）結構層次高，根據(jù)彼格斯提出的SOLO分類的五個層次水平：前結構水平（PS水平）、單點結構水平（US水平）、多點結構水平（MS水平）、關聯(lián)結構水平（RS水平）和抽象拓展結構水平（EA水平）.壓軸題一般屬于后三種水平結構，即多點結構、關聯(lián)結構和抽象拓展結構水平.以2011年上海市中考壓軸題為例：第6題（RS水平）、第18題（ES水平）、第25題第（1）小題（MS水平）、第（2）小題（RS水平）、第（3）小題（EA水平）.其中抽象拓展結構（EA水平）的試題，需要對問題進行抽象、概括，需要把知識用于新情況，解題過程需要對所給素材進行分析、歸納、重組，進行合乎邏輯的演繹，體現(xiàn)較高的思維水平.

二、解壓軸題的基本策略

解壓軸題是一個復雜的過程.沒有也不可能有“無題不解”的萬能鑰匙.否則數(shù)學就失去了它的魅力.怎樣解壓軸題，筆者認為可考慮如下基本策略.

1.雙向分析

壓軸題往往不可能找到“一眼看穿”的方法.雙向分析就是從條件延伸和由結論倒溯相結合，如果兩者能實現(xiàn)對接，從而找到中間環(huán)節(jié)，最后接通整個解題通道.

雙向分析示意圖

這種“兩頭湊”的方法，將分析與綜合相結合，往往是解壓軸題的有效方法.

2.問題轉換

波利亞在《怎樣解題》中指出：“當我們要解決的問題比較困難時，我們可能感到很有必要……把問題再分解成幾個問題.”“司馬光砸缸”的故事傳誦千古，要從水缸中救人，就要使人離開水.如果一時無法讓人離開缸和水，也可以讓水離開缸和人，同樣可以實現(xiàn)救人的目的.司馬光的機智在于在較短的時間內，解決了下面幾個基本命題：（1）石頭可以把缸砸破；（2）缸砸破后水會流出；（3）水流出缸里的小孩可得救.

3.模式識別

模式有多種，不同的模式有不同的解題套路.確定了模式，就可以調動對應的信息，進而尋找解題方法.模式識別是將一個復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，陌生的問題熟悉化，實際的問題數(shù)學化，未知的問題已知化.

4.通法優(yōu)先

通法是解決問題的一般的、通用的方法.掌握解決某類問題的通法，我們就可以把握這類問題.思考時通法優(yōu)先，體現(xiàn)的是一種數(shù)學素養(yǎng).通性通法是中考考試的目標之一，所以通法優(yōu)先是解壓軸題的基本策略之一.

三、2011年上海市中考壓軸題解析

下面通過對2011年上海市中考數(shù)學壓軸題的解析，談談上述解題策略的應用.

選擇題壓軸題（原卷第6題）：矩形ABCD中，AB=8，BC=3，點P在邊AB上，且BP=3AP，如果圓P是以點P為圓心、PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）.

A.點B、C均在圓P外 B.點B在圓P外、點C在圓P內

C.點B在圓P內、點C在圓P外 D.點B、C均在圓P內

這道題將直角三角形、矩形、圓等知識融于一體，涉及的考點有勾股定理、矩形性質、點與圓的位置關系，還涉及到計算、推理、作圖，文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉譯等（此題沒有提供圖形）.

圖1

從結論入手，我們要判斷點B與圓P的位置關系，點C與圓P的位置關系.

將問題轉化，可以得到以下基本問題：

問題1如圖2，點P為線段AB上一點，AB=8，BP=3AP，則PA______，PB=______.（答案：2，6）

圖2

圖3

圖4

問題2如圖3，在Rt△APD中，∠A=90°，AD=3，AP=2，則PD=______（.答案：7）

問題3如圖4，在Rt△PBC中，∠B=90°，PB=6，BC=3，則PC=______（.答案：9）

問題4圓P的半徑為7，PB=6，PC=9，則點B在圓P______，點C在圓P______（.添“內”“、上”或“外”）（.答案：內，外）

依次解決問題1～問題4，即可得出原題的正確結論：C.

問題1～問題4，都是基本（模式）問題，解決這幾個基本問題有通用方法.問題1～問題4構成原題題設與結論之間的一個通道！可見，通過分析，將問題轉化為基本問題是解決這道壓軸題的關鍵.

填空題壓軸題（原卷第18題）：Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，點D在邊BC上，BD=2CD（如圖5）.把△ABC繞著點D逆時針旋轉m（0＜m＜180）度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m=______.

圖5

排除旋轉中的無關因素，抓住關鍵因素：即點B繞點D旋轉，或者線段DB繞點D旋轉.可把問題轉化為下面的兩個基本問題：

問題1如圖6，在△ABC中，∠B=50°，以CB上的點D為圓心，DB為半徑畫弧，交AB于點E，則∠1=____度.（答案：80）

圖6

圖7

問題2 如圖7，D為△ABC的邊CB上一點，BD=2CD，以D為圓心，DB為半徑畫弧，交AC于點F，則∠2=______度.（答案：120）

故答案為80和120.

解決問題1、2并不難，難在將原問題轉化為這兩個基本問題.

（1）如圖8，當點E與點C重合時，求CM的長.

圖8

圖9

（2）如圖9，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域.

（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長.

問題1如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP⊥AB，P為垂足，若BC=30，AB=50.求AC和CP（.教材類題（教材為人教版，下同）：九（上）練習部分P18第2題.答案：40，24）

圖10

圖11

圖12

第（2）小題是求變量y（NB）關于x（AP）的函數(shù)關系式，而y=50-x-PN.只要把其中的PN用x表示就可以了.由此又可得基本問題3～問題5.

圖13

圖14

圖15

問題6如圖15，M、N為線段AB上兩點，EM=EN，△AME∽△ENB，△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應，求證：EM2=AM·NB.（教材類題：九（上）P39練習24.5（2）第2題）

問題8解方程：x2-22x=0（.教材類題：八（上）P30例題4.答案：0，22）

問題9如圖16，已知∠2=∠3，求證：∠4=∠5（.教材類題：七（下）P84例題5）

圖16

圖17

問題10如圖17，已知∠C=∠EPM=90°，∠4=∠5，求證：△ACE∽△EPM（.教材類題：九（上）P22問題1）

圖18

由于點E有可能在AC上，也可能在BC上，所以要分兩種情況討論.上面通過分析、轉換，把這道壓軸題轉化為13個基本問題.這樣就搭建起題設與結論之間的一個“通道”（圖20）.

由此看來，應用基本策略，將壓軸題轉化為基本問題，解出基礎題，是解壓軸題的關鍵.具體地要抓好如下環(huán)節(jié)：（1）認真審題.審題是基礎，只有正確地審題，才能準確、全面地理解題目所給的信息，并且有效挖掘題目所蘊含的信息.進而建立起已知、未知與已掌握知識間的聯(lián)系，對已有信息進行合理地分解組合，找到有邏輯關聯(lián)的基本“問題鏈”，為搭建“通道”提供保證.（2）問題轉化.問題轉化是將一個復雜的問題按照某種關聯(lián)不斷地對題設、結論進行分離、重組，將原問題轉化為多個新問題，直到每個新問題都為基本問題為止.常用方法有：由因導果、執(zhí)果索因，分析與綜合協(xié)同作戰(zhàn)；數(shù)形結合、分類討論等思想方法靈活應用.同時對題目的各部分特征要深入分析，要盡可能找到它們之間的聯(lián)系，充分發(fā)揮各自的作用，這種“充分”有時要達到“見縫插針”“無孔不入”的程度.（3）要夯實基礎.對于“主干知識”和“核心內容”，若只是“懂”和“會”還不行，要達到“熟”和“巧”這一層次.只有熟能生巧，才能融會貫通.從2011年上海市中考數(shù)學壓軸題的分析我們看到，所用到的基礎知識都源于教材.因此，那種丟綱脫本的做法是不可取的.