焦靈俠，任海波，郭 敏

（1.西安工業(yè)大學(xué)北方信息工程學(xué)院 陜西 西安 710032；2.西北機電工程研究所 陜西 咸陽 712099；3.榆林學(xué)院 能源工程學(xué)院，陜西 榆林 719000）

倒立擺是一種典型的高階非線性、多變量、強耦合、絕對不穩(wěn)定的實驗裝置，它具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、易于調(diào)整等特點，作為這樣一個被控對象，只有有效的控制策略才能夠使其穩(wěn)定，同時它也是檢驗各種控制理論的實驗平臺。倒立擺系統(tǒng)涉及控制理論、計算機控制、機器人技術(shù)等多個領(lǐng)域，并且結(jié)合了多種技術(shù)，因此可以看作是典型的被控對象供科研人員研究。倒立擺系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于雙足機器人行走及火箭穩(wěn)定發(fā)射及飛行方面，對于多級倒立擺和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的倒立擺進(jìn)行控制更是近年來各科學(xué)領(lǐng)域不斷研究，創(chuàng)新的問題之一，所以對于倒立擺系統(tǒng)的研究具有深遠(yuǎn)的意義[1]。

1 二級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級倒立擺示意圖如圖1所示。

利用拉格朗日方程推導(dǎo)運動學(xué)方程：

拉格朗日方程為：L（q，q˙）=T（q，q˙）-V（q，q˙）

其中L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能，i=1，2，3…n，fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標(biāo)上的外力。系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有3個，分別為x，θ1，θ2。系統(tǒng)的動能：

圖1 二級倒立擺示意圖Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

表1 倒立擺參數(shù)定義Tab.1 Parameter defines of the inverted pendulum

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分別為小車的動能， 擺桿 1 的動能，擺桿2的動能和質(zhì)量塊的動能。

系統(tǒng)的動能為：

系統(tǒng)的勢能為：

系統(tǒng)在θ1，θ2廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有：

將其在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，有：

帶入?yún)?shù)值，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

2 二級倒立擺的模糊控制

二級倒立擺的模糊控制[2]采用的控制思想是將多輸入/單輸出的模糊控制器，分解成一個較簡單的多輸入/單輸出的模糊控制器。通過對模型的仿真，得到最合適的模糊控制參數(shù)，量化因子和比例因子ke、kec、ku。在仿真的基礎(chǔ)上，設(shè)計實時控制程序，在實際的倒立擺實驗平臺上進(jìn)行實時控制研究。

2.1 模糊控制器的設(shè)計

1）確定輸入變量和輸出變量

綜合誤差（小車的位移、上擺的擺角、下擺的擺角）E和綜合誤差變化率（小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度）EC作為輸入變量，電機的控制力u作為輸出變量[3]。

利用命令 K=lqr（A，B，Q，R），得到反饋矩陣 K：

綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。

2）E、EC、u 隸屬度函數(shù)的設(shè)計

圖2 E和EC隸屬度函數(shù)曲線Fig.2 Membership function curves of E and EC

圖3 u的隸屬度函數(shù)曲線Fig.3 Membership function curves of u

3）模糊推理

采用Mamdani最小運算規(guī)則。

4）模糊控制規(guī)則

根據(jù)輸入/輸出論域上的模糊語言變量劃分NB（負(fù)大），NM（負(fù)中），NS（負(fù)?。?，ZO（零），PS（正小），PM（正中），PB（正大），設(shè)計模糊推理規(guī)則如表2所示。

表2 模糊控制規(guī)則Tab.2 Rules of fuzzy control

5）解模糊

重心法。

2.2 二級倒立擺系統(tǒng)的實時控制

經(jīng)過多次仿真，選定了合適的模糊控制器的參數(shù)[4-6]，得到了比較理想的曲線，當(dāng)ke=1.5、kec=1.5、ku=6時控制效果較好，二級倒立擺系統(tǒng)能夠得到較好的穩(wěn)定，小車在0.1 cm位置附近來回振動，下擺擺桿在平衡位置附近擺動，上擺桿在平衡位置小幅度擺動。

根據(jù)仿真結(jié)果，在實際的倒立擺實驗裝置上進(jìn)行實時控制，設(shè)計的二級倒立擺實時控制程序如圖4所示。

實時控制曲線如圖7所示。

圖4 二級倒立擺的實時控制程序Fig.4 Real-time control program of two-stage pendulum

圖5 二級倒立擺內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.5 Internal structure of two-stage pendulum

圖6 實時控制內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.6 Internal structure of real-time control

圖7 二級倒立擺系統(tǒng)實時控制曲線Fig.7 Real-time control curve of two-stage pendulum

3 結(jié) 論

從二級倒立擺的實時控制曲線上可以看出，小車位移偏離平衡位置的最大距離小于5 cm，上擺角的振動幅值在0.04 rad范圍內(nèi)，下擺角振動幅值在0.08 rad以內(nèi)，控制的效果比較理想，系統(tǒng)穩(wěn)定的響應(yīng)時間在5 s之內(nèi)。實時控制結(jié)果證明模糊控制控制二級倒立擺系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性。

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