王興

（武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430081）

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于圖像處理、模式識別和自動控制等領(lǐng)域。但是，傳統(tǒng)的基于軟件實現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，存在并行程度低、速度慢，計算速度無法滿足實時性的需求，造成了理論研究與實際應(yīng)用脫節(jié)。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的硬件實現(xiàn)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的基本問題之一。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的硬件實現(xiàn)的最大特點就是體現(xiàn)了系統(tǒng)的并行性，處理速度快，易于滿足實時性要求。另外，算法的復(fù)雜程度以及在實際工程中應(yīng)用的可行性仍需要通過硬件的實現(xiàn)效果來檢驗。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的硬件實現(xiàn)意義重大。

1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的簡介

徑向基函數(shù) （Radial Basis Function，RBF） 網(wǎng)絡(luò)是由Moody J和Darken C于20世紀(jì)80年代末提出的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，是一種有監(jiān)督的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它是借鑒生物機(jī)制中的局部調(diào)節(jié)及交叉接受區(qū)域知識的基礎(chǔ)上提出的一種采用局部接受域來執(zhí)行函數(shù)映射的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。RBF網(wǎng)絡(luò)最基本的構(gòu)成包括3層，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中每一層都有著完全不同的作用。

輸入層由一些源點（感知單元）組成，他們將網(wǎng)絡(luò)與外界環(huán)境連接起來；第二層是網(wǎng)絡(luò)中僅有的一個隱層，它的作用是進(jìn)行從輸入空間到隱層空間的非線性變換。隱層節(jié)點中的

圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of RBF neural network

作用函數(shù)（基函數(shù)）對輸入信號將在局部產(chǎn)生響應(yīng)，也就是說，當(dāng)輸入信號靠近基函數(shù)的中央范圍時，隱層節(jié)點將產(chǎn)生較大的輸出，由此看出這種網(wǎng)絡(luò)具有局部逼近能力。輸出層是線性的，它為作用于輸入層的激活模式（信號）提供響應(yīng)。

徑向基函數(shù)有多種形式，如：二次型、逆二次型或Gauss型等。若采用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，則神經(jīng)元的輸出為：

上式中，m是隱含層結(jié)點數(shù)；‖·‖是歐幾里德范數(shù)；Ci和σi分別為與每個隱含層節(jié)點相關(guān)的參數(shù)向量的中心和寬度；ωi是第i個基函數(shù)與輸出結(jié)點的連接權(quán)值。

2 RBF網(wǎng)絡(luò)的FPGA實現(xiàn)

2.1 RBF單元中心Ci和半徑σi的確定

對各RBF的中心及半徑的確定通常有以下兩種方式：

2）用聚類方法，把樣本聚成幾類，以類中心為各RBF函數(shù)的中心。

首先，中心Ci的確定。采用k-均值聚類分析技術(shù)確定Ci。找出有代表性的數(shù)據(jù)點 （不一定位于原始數(shù)據(jù)點）作為RBF單元中心，從而極大地減少隱RBF單元數(shù)目，降低網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜化程度。利用k-均值算法獲得各個聚類中心后，即可將之賦給各RBF單元作為RBF的中心。

然后，半徑σi的確定。半徑σi決定了RBF單元接受域的大小，對網(wǎng)絡(luò)的精度有極大的影響。半徑選擇的原則是使得所有RBF單元的接受域之和覆蓋整個訓(xùn)練樣本空間。

通常應(yīng)用k-均值聚類法后，對每個聚類中心Ci，可以令相應(yīng)的半徑σi等于與其屬于該類的訓(xùn)練樣本之間的平均距離，即

2.2 調(diào)節(jié)權(quán)矩陣W

這里權(quán)W是指輸出層和隱層之間的權(quán)值，可以采用線性最小二乘法和梯度法來調(diào)節(jié)權(quán)矩陣W。

1）線性最小二乘法。令網(wǎng)絡(luò)輸出為

2）梯度法。迭代公式如下：

由于輸出為線性單元，因而可以確保梯度算法收斂于全局最優(yōu)解。所以，在本設(shè)計中采用梯度法來修改權(quán)值W。

2.3 隱層非線性函數(shù)映射的實現(xiàn)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層中的映射函數(shù)為高斯函數(shù)，為非線性函數(shù)。而非線性函數(shù)在硬件上實現(xiàn)往往比較復(fù)雜，難度較大。通常實際工程中采用查表法或迭代法來近似模擬這些非線性函數(shù)，查表法較迭代法雖在結(jié)構(gòu)和運算復(fù)雜度上有明顯降低，但在精度上也會明顯降低。若要提高精度，只能增加表的大小，但增加表的大小，直接帶來的影響就是會加大存儲空間和降低查表效率，所以，在FPGA上采用何種方法實現(xiàn)高斯函數(shù)的存儲達(dá)到精度和效率之間的平衡就至關(guān)重要。

高斯函數(shù)表達(dá)式為

2.3.1 STAM算法

STAM算法的主體思想是先產(chǎn)生系數(shù)，然后利用系數(shù)的對稱性減小ROM表的大小。在該算法中先把輸入X分為m+1 個部分：x0，x1，…，xm。 則 f（x）可以近似為

該種方法雖然在某種程度上使得查找表的數(shù)量增加了，但每個表的大小卻大大減小了，整體上查找表還是減少了，效率上也相應(yīng)提高了。

為了減小表的誤差和在表系數(shù)中構(gòu)造對稱，定義δi以恰好位于xi的最大值和最小值的中間，即：f（x）在 x0+x1+x2：m 點的二階泰勒級數(shù)展開為：用δ1代替上式第2部分中的x1：

然后再把第2部分分開：

和式（1）比較，就可以確定系數(shù)為：

式（13）構(gòu)造的查找表 a0（x0，x1），其輸入值的位數(shù)為 n0+n1。式（14）所構(gòu)造的其余 m-1 個查找表 ai-1（x0，xi），由于 δi被定義為xi的取值區(qū)間的中間點，故查找表中的系數(shù)值具有對稱性，即 ai-1（x0，xi）與 ai-1（x0，2δi-xi）互為補(bǔ)碼，其輸入值的位數(shù)可以減為n0+n1-1，從而使這m-1個查找表的存儲空間節(jié)省了一半。

2.3.2 CORDIC迭代法

坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)計算機(jī) （CORDIC：Coordinate Rotation Digital Computer）由 Volder.J于 1959 年提出[1]，1971 年 J.S.Walther提出統(tǒng)一CORDIC算法[2]。

該算法是用于計算一些常用的非線性函數(shù)的循環(huán)迭代算法。其基本思想是用一系列與運算基數(shù)相關(guān)的角度的不斷偏擺從而逼近所需旋轉(zhuǎn)的角度，從而達(dá)到非線性函數(shù)的逼近。

由 CORDIC算法可知，計算指數(shù)函數(shù) exp（x）的迭代公式為：

迭代n次后的結(jié)果為

在實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)exp時，采用MATLAB仿真與CORDIC迭代結(jié)合的方式。因為迭代過程中有限字長的截斷將造成截斷誤差，所以如果 CORDIC輸入數(shù)據(jù)為 N bit，則x，y迭代過程需log2（N）的保護(hù)位。具體迭代過程為：首先，把CORDIC輸入數(shù)據(jù)映射到CORDIC迭代收斂區(qū)間，并根據(jù)相應(yīng)數(shù)值的某位數(shù)字尋址查表；然后，以為z路徑的初始值按公式（15）進(jìn)行CODIC 迭代，直到滿足迭代次數(shù)，此時得到 xi為 Kh·exp（zin）。

2.4 系統(tǒng)整體設(shè)計框圖

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練部分的系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)整體設(shè)計框圖Fig.2 Structure diagram of the whole system

3 系統(tǒng)仿真

本實驗以Altera公司開發(fā)的 EDA工具QuartusⅡ作為編譯、仿真平臺 ，選用Cyclone系列中的 EP1C6Q240C8器件。且以經(jīng)典非線性問題XOR問題為算例。仿真結(jié)果如表1所示。

表1 XOR實驗仿真結(jié)果Tab.1 Test result of experimet on XOR problem

4 結(jié)束語

FPGA作為一種可編程資源，在提高設(shè)計靈活性及加快算法效率上，比較適合硬件實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) ，可以加快。而文中采用STAM算法，可以有效地節(jié)省存儲空間 ，且CORDIC迭代算法實現(xiàn)了RBF網(wǎng)絡(luò)中的非線性高斯映射函數(shù)，所耗資源較少，適合于作為硬件實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的算法。從經(jīng)典非線性XOR算例在基于文中所設(shè)計的RBF網(wǎng)絡(luò)中有較好結(jié)果，不僅精度上得到較滿意的結(jié)果，且網(wǎng)絡(luò)的總體誤差也較小。

[1]Volder J E.The CORDIC trigonometric computing technique[J].IRE Trans.on Electron Computing，1959（8）：330-334.

[2]Walther J S.A unified algorithm for elementary functions[J].Proc.AFIPS Conference，1971（38）：389-385.

[3]Hu X，Harber R G，Bass S C.Expanding the range of convergence of the CORDIC algorithm[J].IEEE Transactions on Computer s，1991，40（1）：13-21.

[4]Y.H.The quantization effects of the CO RDIC algorithm[J].IEEE Transaction on Signal Processing，1992，40（4） ：57-63.[5]Andraka R.A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers[C]//Proc.of the 1998 ACM/SIGDA sixth international symposium on FPGA，1998.

[6]Takagi N，Asada T，Yajima S.Redundant CORDIC methods with a constant scale factor for sine and cosine computation[J].IEEE Trans.Computers，1991（40）：989-995.

[7]Wang S，Piuri V，Swartzlande E E.Hybrid CORDIC algorithms[J].IEEE Trans.Computing，1997（46）：1202-1207.

[8]Dou Y，Vassiliadis S，Kuzmanov G K，et al.64-bit floatingpoint FPGA matrix multiplication[C]//Proceedings of the 2005ACM/SIGDA 13th international symposium on Fieldprogrammable gate arrays，2005：86-95.