林大鈞

（華東理工大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，上海 200237）

設(shè)計從三維開始是現(xiàn)代工程設(shè)計的一個重要標志。傳統(tǒng)多面視圖成圖形式缺乏立體感和直觀性，對人的空間思維有一定的抑制性。隨著計算機圖形技術(shù)的發(fā)展，在工程設(shè)計中三維建模將起到越來越重要的作用。然而在設(shè)計初始階段，一種有立體感的二維圖形非常適合于描述人腦對形體的原始構(gòu)思，這種圖形就是軸測投影圖。人處于三維空間，看到的以及觸摸到的都是三維的物體，頭腦中存儲的也是立體圖像，為了使人在初始設(shè)計和交流產(chǎn)品形狀時無障礙，最好的方法是將頭腦中進行的三維思考用有立體感的正軸測投影圖加以表達。但是，由于正軸測投影圖繪制不便，并且受一個正投影圖不能唯一地確定物體的空間形狀和大小這一基本概念的約束，正軸測投影圖一直以來都被當作參考圖形而處于從屬地位。通過對正軸測投影理論的深入研究，并結(jié)合計算機圖形技術(shù)，認為可以通過一個正軸測投影圖反求物體的形狀和大小[1]。這一發(fā)現(xiàn)，使我們認識到一個改變傳統(tǒng)設(shè)計表達方法的契機已經(jīng)來臨。

1 應(yīng)用投影變換方法獲得正軸測投影圖

任何一種投影體系都必須具有投影光線、投影面和物體3個基本要素。軸測投影體系也不例外，當投影光線與投影面垂直時，所建立起來的投影體系稱為正軸測投影體系。根據(jù)這一定義，可利用投影變換的方法獲得正軸測投影圖。由圖1(a)可知物體在 V、H投影面上的投影沒有直觀性，當改變投影方向，如圖 1(b)所示，觀察者沿投影方向S看物體時，在P投影面上（S⊥P）的投影就有直觀性，可以幫助我們理解該物體的立體形狀。為了在投影面上畫出這個有立體感的圖形，只須將投射線S變換成投影面的垂直線，物體也跟著一起變換，在新投影面上就可得到有立體感的圖形了，如圖2所示。圖3是轉(zhuǎn)正后的圖形，在此圖形中可量取軸間角，根據(jù)軸間角可以計算軸向伸縮系數(shù)和投影方向。

圖1 物體的投影圖

圖2 由投影變換獲得物體的正軸測投影

圖3 轉(zhuǎn)正后的正軸測投影

2 軸向伸縮系數(shù)與軸間角的數(shù)學(xué)關(guān)系[2]

根據(jù)投影變換的方法可以分析軸向伸縮系數(shù)與軸間角之間的關(guān)系，把物體上的坐標系OIJK的原點置于x軸并取為單位長），使投影方向過原點O，設(shè)S在空間坐標系中的位置由φ，β角確定，如圖4所示。

第 1次投影變換將 S變?yōu)檎骄€（應(yīng)有x1//S ）。為簡單起見使 x1軸與 S的水平投影 s重合，并過原點O，物體上坐標系OIJK也隨之變換為 O1I1J1K1。第2次變換將投影方向變換為鉛垂線，此時新投影軸x2必垂直于 O1' S1'，其與x1軸交于O2，設(shè)x1軸與x2軸的夾角為θ，由圖4可知θ、φ、β之間有關(guān)系

圖4 投射方向、軸間角、軸向伸縮系數(shù)的關(guān)系

物體上坐標系 O1I1J1K1也隨之變換為O2I2J2K2。注意，x2軸的方向與 O1'S1'垂直，但x2軸的位置不是唯一的，圖中位置是為圖形清晰起見而設(shè)，而為使尋求投影方向，伸縮系數(shù)，軸間角之間的關(guān)系容易起見，可將 x2軸平移，使O1與O2重合。這時由圖4可得I、J、K 3點在X2O2Y2坐標面中的坐標。

由于 x2O2y2即為正軸測投影面，而O2i2、O2j2、O2k2即為軸測軸，因此可得伸縮系數(shù)為

由式（4）即可得

式（5）表明正軸測投影 3個軸向伸縮系數(shù)平方和恒等于2。而由圖4可知，軸間角為

由于θ為β，φ的函數(shù)，故伸縮系數(shù)，軸間角與投影方向之間的關(guān)系即為式（4），式（5），式（6）。根據(jù)這組公式就能根據(jù)軸間角計算出投射線的方向和各軸向伸縮系數(shù)，這是反求的重要步驟，因為在已知的正軸測圖上，軸間角可從圖上量取，是已知信息，根據(jù)軸間角反求軸向伸縮系數(shù)和投射線方向，再結(jié)合將一般位置直線變換為投影面垂直線的步驟，建立正軸測投影的數(shù)學(xué)模型。

3 正軸測投影數(shù)學(xué)模型的建立

如上所述，要由計算機獲得有立體感的投影圖，關(guān)鍵要建立將一般位置直線變換為投影面垂直線的數(shù)學(xué)模型[3]。設(shè)α0、β0為確定直線空間方位的已知參數(shù)，如圖5所示。

圖5 一般位置直線的投影變換

根據(jù)投影變換的作圖順序，在相應(yīng)的投影體系中建立一個坐標系與之對應(yīng)。如圖 5中與oxyz對應(yīng)；對應(yīng)；與 o2x2y2z2對應(yīng)。且使oxyz與 o1x1y1z1共原點，即o、o1兩點重合在x軸上，而坐標系 o2x2y2z2的原點建立在x1軸上，o2、o1相距為L。由投影變換的方法可知L的長度可以任意選取而對解題結(jié)果并無影響。將直線AB進行第2次變換時，投影體系與新投影體系的相對位置取決于 H2面和V1面的交線x2軸的位置，也即由β角確定。由此知直線AB經(jīng)2次投影變換后的投影取決于β0和β角。在將一般位置直線變換為投影面的垂直線的系統(tǒng)中，如有一點 I ( xi,yi,zi)隨直線AB一起變換，則I點經(jīng)一次投影變換后其在 o1x1y1z1坐標系中的坐標為

經(jīng)第 2次投影變換后其在 o2x2y2z2坐標系中的坐標為

式（7）、式（8）即為一般位置直線變換為投影面垂直線的數(shù)學(xué)表達式，也是正軸測投影的數(shù)學(xué)模型。

4 正軸測投影反求建模的研究

4.1 反求數(shù)學(xué)模型的基本框架

由圖2可知，在選定觀察方向下經(jīng)過投影變換得到有立體感的投影實際上就是物體的正軸測投影圖，所建立的數(shù)學(xué)式（7）、式（8）也就是畫物體正軸測投影的數(shù)學(xué)模型[4]。

由式（7）、式（8）并參考圖 5可得物體上任意一點 I ( xi,yi,zi)的反求數(shù)學(xué)模型用式（9）、式（10）、式（11）反求I點的原始坐標時還需要確定zi2或φi。

4.2 一般伸縮系數(shù)

由圖4可知，在立方體正軸測投影上，各邊的投影長為已知，當反求出軸向伸縮系數(shù)后即可得各邊實長，對于軸上的線，或者與軸平行的線都可以反求實長，但對于與軸傾斜的線，比如圖4中的其實長就不能直接反求得到。假設(shè)與其實長之比為s稱為一般伸縮系數(shù)，圖4中，按定義一般伸縮系數(shù)s為

結(jié)合式（9）、式（10）、式（11）、式（12）、式（13）即可反求建模。

4.3 實 例

為根據(jù)任意觀察方向下的正軸測投影圖反求物體大小，以圖1所示物體為例，先畫出所設(shè)方向下的正軸測投影，如圖3所示，再根據(jù)正軸測投影圖形反求物體的三維實形[5]。利用式(7)、式(8)編制繪圖程序，并運行得到物體正軸測投影圖形的各點坐標及軸測投影圖，如圖 6(a)、(b)所示。利用式(1) ～式(6)編程，計算觀察方向為時的軸向伸縮系數(shù)和軸間角，結(jié)果如圖6(c)所示。

圖6 正軸測投影圖二維坐標與由觀察方向得出的伸縮系數(shù)、軸間角

根據(jù)正軸測投影反求物體真實形狀的數(shù)學(xué)式(9) ～式(11)，編程計算并打印出投影角與軸向伸縮系數(shù)，如圖7所示。應(yīng)用圖6(a)中的二維坐標，根據(jù)式(9)～式(13)編程反求三維點坐標，并繪制物體的三維圖形如圖8所示。

圖7 反求得出的投影角與軸向伸縮系數(shù)

圖8 物體的三維圖形

由圖6(c)可知，反求所得的軸間角、軸向伸縮系數(shù)、投影方向與原始條件是一致的。由圖8(a)中的各點坐標可計算圖1(a)所示尺寸[6]。

如忽略不計計算誤差，可見反求結(jié)果與原尺寸相同。圖8(b)所示是物體的三維線框圖，可以通過旋轉(zhuǎn)、移動獲得各個方向的圖形。本例是為了說明反求的正確性，給出了物體的主俯視圖和尺寸。如果一開始就用軸測投影圖進行設(shè)計，就須先根據(jù)軸間角反求出β、θ，再反求出φ角，然后才能按照上面的反求步驟求得實際尺寸，造型后生成二維工程圖。

5 結(jié) 論

到目前為止，尚未見有將正軸測投影反求建模的過程進行系統(tǒng)的研究，論文通過投影變換與一般伸縮系數(shù)的研究建立了根據(jù)正軸測投影反求實際尺寸的方法，為初始設(shè)計著力于產(chǎn)品形狀的構(gòu)思，而不是拘泥于軟件的應(yīng)用提供了途徑。

[1] [蘇]包太茲,米列斯庫. 軸測投影理論與應(yīng)用[M].周積義譯. 北京: 機械工業(yè)出版社,1988: 1-6.

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