錢學(xué)毅， 吳 雙

（1. 武夷學(xué)院電子工程系，福建 武夷山 354300；2. 浙江經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用工程系，浙江 杭州 310018）

齒輪傳動系統(tǒng)的剛度激勵表現(xiàn)為因嚙合齒對數(shù)變化導(dǎo)致嚙合綜合剛度隨時間周期變化從而引起齒輪輪齒嚙合力周期變化。剛度激勵是一種參數(shù)激勵，其力學(xué)效應(yīng)使齒輪系統(tǒng)處于參數(shù)振動狀態(tài)。這樣，即使外載為零或為常量時，系統(tǒng)也會因剛度激勵而產(chǎn)生振動。剛度激勵主要與齒輪副的設(shè)計參數(shù)有關(guān)[1]。因此，從剛度激勵和系統(tǒng)行為的統(tǒng)一性方面研究系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化選擇與配置，有助于改進(jìn)齒輪傳動系統(tǒng)的設(shè)計。

在對齒面膠合強度的計算中，冷膠合是指因為載荷過大使油膜破裂，出現(xiàn)金屬直接接觸的破壞現(xiàn)象。主要發(fā)生在處于邊界或混合潤滑狀態(tài)下的重載齒輪傳動中，通常用控制齒間最小油膜厚度的方法避免齒面冷膠合。齒間最小油膜厚度越大，齒面膠合強度越高。根據(jù)彈性流體動力潤滑理論和現(xiàn)代磨擦學(xué)理論，齒間最小油膜厚度與齒輪的設(shè)計參數(shù)密切相關(guān)。因此，合理選擇齒輪的設(shè)計參數(shù)，有助于提高齒面膠合強度。

目前國內(nèi)外針對齒輪傳動系統(tǒng)剛度激勵及齒間最小油膜厚度的研究日益受到人們的關(guān)注，取得了一定的進(jìn)展。文獻(xiàn)[2,4]通過對行星輪系建立系統(tǒng)動力學(xué)方程，對系統(tǒng)中時變剛度引起的激勵及對系統(tǒng)振動的影響進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。文獻(xiàn)[5]建立的行星齒輪傳動的彎扭耦合非線性動力學(xué)模型考慮了諸多因素的影響，其中也包括時變剛度。文獻(xiàn)[6]在對風(fēng)力發(fā)電齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中也考慮了時變剛度對動載系數(shù)的影響。文獻(xiàn)[7]在用彈流潤滑理論計算齒間最小油膜厚度方法的基礎(chǔ)上，利用計算機仿真技術(shù)探討了齒面膠合失效的模糊性。文獻(xiàn)[8]依據(jù)彈性流體動力潤滑理論，以齒間最小油膜厚度最大和齒輪傳動總體積最小為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行了約束兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。迄今為止，同時以齒輪嚙合時變剛度激勵最小、齒間最小油膜厚度最大（倒數(shù)最?。┘褒X輪傳動總體積最小的3目標(biāo)最優(yōu)化研究尚未見有論文發(fā)表。

本文對目前用于2目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的粒子群優(yōu)化方法進(jìn)行了改進(jìn)，給出了約束3目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法。從現(xiàn)代齒輪系統(tǒng)動力學(xué)基本原理和彈性流體動力潤滑理論出發(fā)，建立同時追求齒輪嚙合時變剛度激勵最小、齒間最小油膜厚度最大及傳動總體積最小的約束3目標(biāo)最優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型。利用Matlab進(jìn)行優(yōu)化程序設(shè)計，舉例說明了分析計算的一般方法。為指導(dǎo)高質(zhì)量齒輪系統(tǒng)的設(shè)計與制造提供有價值的參考。

1 齒輪系統(tǒng)的動態(tài)激勵與輪齒嚙合綜合剛度

1.1 齒輪系統(tǒng)的動態(tài)激勵

齒輪傳動系統(tǒng)作為一種彈性的機械系統(tǒng)，在動態(tài)激勵作用下產(chǎn)生動態(tài)響應(yīng)。齒輪系統(tǒng)的動態(tài)激勵有內(nèi)部激勵和外部激勵兩類，其中與一般機械系統(tǒng)的主要不同之處在于它的內(nèi)部激勵。內(nèi)部激勵是指由齒輪副輪齒嚙合過程中所產(chǎn)生的動態(tài)激勵。一般說來，齒輪輪齒嚙合的重合度大多不是整數(shù)，嚙合過程中同時參與嚙合的齒對數(shù)隨時間而周期變化，導(dǎo)致輪齒嚙合剛度隨時間周期變化。由于同時嚙合齒對數(shù)的變化，引起了嚙合過程的輪齒動態(tài)嚙合力。剛度激勵則是因嚙合剛度的時變性產(chǎn)生動態(tài)嚙合力并對系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)激勵的現(xiàn)象，是內(nèi)部動態(tài)激勵的主要形式之一。

1.2 輪齒嚙合綜合剛度

輪齒嚙合綜合剛度是指在整個嚙合區(qū)（圖1中的A―D段）中，參與嚙合的各對輪齒的綜合效應(yīng)，主要與單齒的彈性變形、單對輪齒的綜合彈性變形以及齒輪重合度有關(guān)。

單齒的彈性變形是單個輪齒的嚙合面在載荷作用下的彈性變形，其中包括了彎曲變形、剪切變形和接觸變形等。圖1(b)中的δp和δg分別為嚙合區(qū)中單個的主、被動輪齒的變形曲線。

單對輪齒綜合彈性變形是指一對輪齒在嚙合過程中彈性變形的總和，用δs表示

由于主、被動輪齒分別是在齒頂與齒根和齒根與齒頂相互嚙合，因此，疊加后的彈性變形曲線如圖1(b)中的 δs。

主、被動齒輪的相互嚙合，相當(dāng)于兩根彈簧的串聯(lián)。因此，單對輪齒綜合嚙合剛度ks為

式中 kp和 kg分別為主、被動輪齒的單齒剛度，即

對于輪齒嚙合綜合剛度，如圖1(d)所示，在雙嚙合區(qū)，有兩對輪齒同時參與嚙合，相當(dāng)于彈簧的并聯(lián)，雙齒嚙合綜合剛度等于單齒嚙合綜合剛度之和，剛度曲線是兩對輪齒綜合剛度的疊加，可以看出，輪齒嚙合綜合剛度具有明顯的階躍型突變性質(zhì)。

圖1 輪齒嚙合綜合剛度

1.3 剛度激勵的優(yōu)化

由于輪齒嚙合綜合剛度類似于方波周期函數(shù)，可以將其展開成傅里葉級數(shù)，相應(yīng)的譜圖具有多次諧波成分。在頻域中，若頻率成份簡單，相應(yīng)的幅值大，則嚙合的剛度激勵較弱。又因為基頻諧波的幅值對剛度激勵的影響最大。因此，可以通過齒廓參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計，以頻域中輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波的幅值最大化作為目標(biāo)，來達(dá)到弱化剛度激勵的目的。

將輪齒嚙合綜合剛度按嚙合頻率簡化成矩形波周期函數(shù)，再將其展開成傅里葉級數(shù)并略去高階項后整理得[9]

式中，km——平均嚙合剛度；

kai——變剛度幅值系數(shù)；

ω——嚙合頻率，ω =πnz/30；

n,z,Φ——轉(zhuǎn)速、齒數(shù)及相位角。

按式(6)計算基頻諧波的幅值時，首先按GB/T3480―1997計算單齒嚙合剛度 C，然后根據(jù)重合度ε分單齒嚙合和雙齒嚙合兩個階段進(jìn)行積分。單齒嚙合時， f(x)=c，雙齒嚙合時，f(x) =2c。輪齒優(yōu)化時，以基頻諧波幅值ka1最大作為追求的目標(biāo)函數(shù)之一。

2 齒間最小油膜厚度的計算

1987年，我國著名磨擦學(xué)家楊沛然和溫詩鑄在深入研究 Dowson-Higginson膜厚公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)Roelands粘壓關(guān)系和采用復(fù)合直接迭代解法，對于較廣泛的速度和載荷變化范圍內(nèi)的線接觸彈流潤滑問題求得收斂解，進(jìn)而回歸出比Dowson-Higginson膜厚公式更為準(zhǔn)確、合理的最小油膜厚度公式[10]

式中：

hmin——最小油膜厚度，mm；

α ——潤滑油的粘壓系數(shù)，1/MPa；

η0——潤滑油在某溫度下的動力粘度，

MPa.S；

u——齒面平均速度，mm/s；

E'——齒輪材料綜合彈性模量，MPa；

R——節(jié)點處的當(dāng)量曲率半徑，mm；

w ——單位接觸寬度載荷，N/mm。

3 非對稱直齒輪約束多目標(biāo)粒子群優(yōu)化設(shè)計

非對稱齒輪是在工作齒面設(shè)計一個較大的壓力角，非工作齒面設(shè)計一個較小的壓力角。這樣，即可以提高齒輪的承載能力又可以有效地避免齒頂過分變尖的現(xiàn)象[11]。

齒輪的嚙合綜合剛度越大，動態(tài)激勵越小，齒輪的動態(tài)性能越好；齒間最小油膜厚度越大，膠合強度越高；齒輪傳動總體積越小，經(jīng)濟成本越低。這是一個約束3目標(biāo)優(yōu)化問題。3個目標(biāo)沒有公度性，不宜用傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行處理。這是因為傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法是將 3個子目標(biāo)（輪齒嚙合綜合剛度最大、齒間最小油膜厚度最大及齒輪傳動總體積最?。┩ㄟ^權(quán)重的設(shè)置聚合成一個帶正數(shù)的單個目標(biāo)函數(shù)，系數(shù)由決策者決定，或者由優(yōu)化方法自適應(yīng)調(diào)整。傳統(tǒng)方法在處理這類問題時存在著如下缺陷：

1）嚙合綜合剛度的單位是N/(mm.μm)，齒間最小油膜厚度的單位是mm，齒輪傳動總體積的單位是mm3，3個目標(biāo)的單位不一致，無可比性。

2）通過權(quán)重的設(shè)置將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，帶有較濃重的主觀色彩，難以反映客觀真貌。權(quán)重的設(shè)置要求設(shè)計者有長期的研究經(jīng)驗和厚重的領(lǐng)域知識，稍有偏差就會大大影響多目標(biāo)最優(yōu)解的產(chǎn)生，因此合適地選取權(quán)重是一個難度較大的過程。

3）一次運行通常只能得到一個Pareto最優(yōu)解，而多次運行得到的優(yōu)化結(jié)果可能不一致，很難進(jìn)行有效的決策，導(dǎo)致不能得到Pareto最優(yōu)解集。

4）各子目標(biāo)函數(shù)之間通過決策變量相互制約，存在相互矛盾，致使加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的拓樸結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)[12-13]在解決約束多目標(biāo)優(yōu)化問題中得到有效應(yīng)用。在文獻(xiàn)[14-15]中提出的尋優(yōu)原則和搜索方法基礎(chǔ)上，給出本文范例約束3目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。算法并非將3個子目標(biāo)函數(shù)通過權(quán)重的設(shè)置聚合成為一個單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，而是首先在設(shè)計變量可行域初始化一個粒子群體，然后通過各個子目標(biāo)函數(shù)共同指導(dǎo)每個粒子在設(shè)計變量可行域中向3個目標(biāo)函數(shù)不同時增大的方向一步步搜尋，最終使粒子落入非劣最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)空間。具體實現(xiàn)要點如下：① 以頻域中輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波幅值的倒數(shù)f1(X)、最小油膜厚度的倒數(shù) f2(X)及齒輪傳動總體積 f3(X)中的每個目標(biāo)函數(shù)，找到粒子群體中相對應(yīng)的全局極值G[j]（其中j = 1,2,3是目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)）和每個粒子的個體極值P[i,j]（其中i = 1,2,…,N是粒子群體中的粒子個數(shù)）。② 在更新每個粒子的速度（相當(dāng)于有向步長）時，用各個G[j]的均值g作為全局極值。③ 每個粒子的個體極值P[i,j]是通過判斷矢量P[i,j]相對于矢量G[j]的離散程度來決定，是取P[i,j]的均值，還是在P[i,j]中隨機選取。

算法流程如下：① 給定算例粒子群規(guī)模N ，在約束條件允許的可行域內(nèi)隨機產(chǎn)生各粒子的位置Xi和速度Vi(i = 1,2,…,N )。② 用目標(biāo)函數(shù) f1(X)、f2(X)和 f3(X)分別計算每個粒子的適應(yīng)度值。③ 在f1(X)、f2(X)和f3(X)下分別對每個粒子求得個體極值。④ 對f1(X)、f2(X)和f3(X)分別求3個全局極值。⑤ 計算3個全局矢量的均值g和每兩個全局矢量之間的距離d。⑥ 計算每個粒子個體極值之間的距離 dp[i]。⑦ 對每個粒子計算更新速度Vi和位置Xi時所用的個體極值P[i]，如果dp[i]

式中，w為慣性因子，c1和c2是學(xué)習(xí)因子，rand( )和Rand( )是介于(0,1)之間的隨機數(shù)。更新后檢驗每個新粒子是否在可行域內(nèi)，若不在可行域內(nèi)，則重更新，直到在可行域內(nèi)為止。⑨設(shè)置循環(huán)迭代次數(shù)。若達(dá)到該次數(shù)，結(jié)束；否則回②。

4 范 例

4.1 已知數(shù)據(jù)

主動齒輪的轉(zhuǎn)速n1=960r/min；被動齒輪的轉(zhuǎn)速n2=320r/min；傳遞的功率P=500kW；選用齒輪油HL-30潤滑，其運動粘度v100=30mm2/s；油池溫度θoil=50℃；兩輪齒面粗糙度分別為Ra1= Ra2= 1.6 μm。

4.2 選取設(shè)計變量

選取7個設(shè)計變量

式中，m——模數(shù)；Z1——主動輪齒數(shù)；b——齒輪寬度；α ——工作齒面壓力角；x1,x2——分別為主動輪和被動輪的變位系數(shù)；ha*——齒頂高系數(shù)。

4.3 建立目標(biāo)函數(shù)

建立 3個目標(biāo)函數(shù)：① 將基頻諧波的幅值ka1最大（即f1(X)=1/ka1最?。┳鳛樽非蟮囊粋€目標(biāo)；② 將最小油膜厚度 hmin(X)最大（即f2(X)=1/hmin(X)最?。┳鳛橥瑫r追求的第2個目標(biāo)；③將齒輪傳動總體積最小作為追求的第3個目標(biāo)（其中：d1，d2分別為兩齒輪的分度圓直徑）。

4.4 確定約束條件

文獻(xiàn)[11,16]和工程經(jīng)驗確定下列約束條件：齒面接觸疲勞強度條件、齒根彎曲疲勞強度條件、保證必要的齒頂厚、膜厚比（齒間最小油膜厚度與兩齒面綜合表面粗糙度之比）、限定設(shè)計變量的上下界。

4.5 程序設(shè)計及結(jié)果遴選

按照前述的算法流程，用Matlab編制優(yōu)化程序，選定粒子群數(shù)目N=100，運行次數(shù)為200，得非劣最優(yōu)目標(biāo)域如圖2所示。根據(jù)程序運行結(jié)果，從中選取3個目標(biāo)函數(shù)都接近最小值，綜合性能最佳的一組結(jié)果（決策者也可根據(jù)自己的意愿選擇其他的結(jié)果）作為最終方案

輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波幅值ka1=18.182N/(mm·μm)， 齒間最小油膜厚度hmin=8.900×10-3mm，膜厚比λ=5.2018，總體積V=1.1604m3。

圖2 非劣最優(yōu)目標(biāo)域

優(yōu)化過程及結(jié)果表明，采用較多的齒數(shù)，在小于1的范圍內(nèi)采用較大的正變位系數(shù)，適度采用較大的壓力角可以增大輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波的幅值，能有效地提高齒輪系統(tǒng)抵抗內(nèi)部激勵振動的能力及性價比。同時較大的壓力角可以減小齒廓的曲率，變位系數(shù)的增大將增加齒廓當(dāng)量曲率半徑和齒面平均速度，二者都會使Hertz壓力減小，齒間最小油膜厚度增加。齒頂高系數(shù)對嚙合時變剛度不產(chǎn)生影響，當(dāng)壓力角較小時，它對齒間最小油膜厚度的影響不大，當(dāng)壓力角較大時卻有明顯的影響。

5 結(jié) 論

本文將粒子群約束多目標(biāo)優(yōu)化方法應(yīng)用于齒輪傳動系統(tǒng)3目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計，進(jìn)行了成功地嘗試，優(yōu)化設(shè)計出的齒輪傳動即具有較強的抵抗內(nèi)部激勵振動的能力及承載能力，又具有較低的產(chǎn)品成本。該方法進(jìn)一步拓展了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的應(yīng)用領(lǐng)域，能夠提升齒輪傳動系統(tǒng)的綜合經(jīng)濟技術(shù)指標(biāo)，比傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法及通過每一單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化的現(xiàn)代方法具有明顯的科學(xué)合理性。該方法對于其他復(fù)雜機械傳動系統(tǒng)的約束多目標(biāo)優(yōu)化研究也具有一定的參考價值。

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