陳 麗

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331)

風(fēng)險過程的破產(chǎn)理論是非壽險精算理論研究的一個經(jīng)典專題，破產(chǎn)概率是度量風(fēng)險的重要指標，因此對破產(chǎn)概率的研究是保險學(xué)中的重要研究課題。破產(chǎn)論的研究源于瑞典精算師Lundberg的博士論文，不過他的工作不符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的嚴格標準。最早的經(jīng)典風(fēng)險模型是由Cramer于1930年提出的。后來，許多學(xué)者通過在經(jīng)典模型中引入一些對模型有影響的因素，對經(jīng)典風(fēng)險模型進行推廣。比如利率因素［1-4］、再保險因素［4-7］等。文獻［1-7］僅僅考慮了利率或再保險因素對保險公司的單一影響，但實際情況是，保險公司需要考慮利率等許多因素造成的綜合影響。因此，本文同時考慮利率和再保險的雙重影響，利用遞推的方法，結(jié)合微分方程得到連續(xù)時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率表達式及其Lundberg上界，并且給出了在特殊情形下其破產(chǎn)概率的具體表達式。

1 再保險風(fēng)險模型

首先給出Cramer-Lundberg經(jīng)典風(fēng)險模型。定義:索賠時間間隔序列為第n次索賠時刻，并約定T0=0;{Yn，n≥1}為第n次索賠額，N(t)=sup{n:Tn≤t}為到時刻t的總索賠次數(shù)。假設(shè):{Xn，n≥1}和{Yn，n≥1}均為獨立同分布的非負隨機序列，其分布函數(shù)分別為G(x)=Pr{X≤x}和F(y)=Pr{Y≤y}，且G(0)=F(0)=0，{N(t)，t≥0}是一個強度為λ的齊次Poisson過程。

經(jīng)典風(fēng)險模型的盈余過程為U(t)=u+ct-S(t)，t≥0，其中:為保險公司的初始盈余;c為單位時間保費率。

在經(jīng)典風(fēng)險模型基礎(chǔ)上，很多學(xué)者引入了再保險，即原保險人將部分風(fēng)險轉(zhuǎn)移給再保險人，同時需支付給再保險人相應(yīng)的保費，于是原保險人的盈余過程相應(yīng)地變?yōu)?/p>

一般情況下采用期望值保費原理，即 c=(1+θ)λE(Y)，cR=(1+ξ)λE［Y-Z(Y)］，θ和ξ分別為原保險和再保險的安全負載(假定ξ≥θ＞0，否則會存在套利的機會)，于是式(1)相應(yīng)變?yōu)?/p>

為簡化記號，令m=λ{(1+θ)E(Y)-(1+ξ)E［Y-Z(Y)］}，盈余過程 (2)變?yōu)?U(t)=u+mt-SR(t)。為了保證保險公司存在一定的利潤，需假定:E［Z(Y)］＜mE(X)。

在上述再保險風(fēng)險模型的基礎(chǔ)上，本文考慮利率風(fēng)險。設(shè)常數(shù)利息力δ≥0，破產(chǎn)時刻與破產(chǎn)概率分別為，其中 Uδ(t)表示 t時刻的盈余。該模型的盈余過程為

2 主要結(jié)果

定理1 存在唯一正常數(shù)R，使得成立。

證明令，易知的凸性，可知，存在唯一的正常數(shù)R，使得h(R)=1，R稱為Lundberg調(diào)節(jié)系數(shù)。

定理2 對于盈余過程 (3)，設(shè)R為定理1中的常數(shù)，則 ψδ(u)≤e-Ru，即得到破產(chǎn)概率的Lundberg上界。

證明設(shè) ψδ(u;n)為第 n次索賠前破產(chǎn)的概率，則有令 β-1=則，且

下面采用歸納法證明 ψδ(u;n)≤e-Ru。

令X1和Y1分別為第1次索賠的時間間隔和索賠額，有

假設(shè) ψδ(u;n)≤e-Ru，下證 ψδ(u;n+1)≤e-Ru。事實上

由歸納法可知，任意n≥1，ψδ(u;n)≤e-Ru，于是有

定理3 對于盈余過程(3)，其破產(chǎn)概率滿足如下積分方程

其中H(z)為Z(Y)的分布函數(shù)。

證明考慮一個很小時間區(qū)間［0，t］，假定在該區(qū)間內(nèi)，最多只可能發(fā)生1次索賠，對生存概率進行分解，有

兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，有

對上式，令t→0，整理得到

對上式用 t代替 u，并在區(qū)間［0，u］積分有

對上式，左右兩邊分別進行化簡，因為

所以，式(4)變?yōu)?/p>

根據(jù)破產(chǎn)概率 ψδ(u)=1-φδ(u)，上式進一步變?yōu)?/p>

由定理2 可知，ψδ(u)≤e-Ru，故當 u→∞ 時，(δu+m)ψδ(u)→0。

對式(5)兩邊取極限(u→∞)，有將式(6)代入式(5)，得到破產(chǎn)概率的積分表達式

注:

3 實例

下面給出在經(jīng)典風(fēng)險模型中，在索賠額服從指數(shù)分布，再保險類型為成數(shù)再保險情形下，原保險人破產(chǎn)概率的表達式。

考慮經(jīng)典風(fēng)險模型，假定:①被保險人的損失服從參數(shù)為β的指數(shù)分布，即Y～exp(β);②再保險形式為參數(shù)為α的成數(shù)(比例)再保險，Z(Y)=αY，0≤α≤1。由假定①和②知，原保險人的損失分布函數(shù)為

對式(7)進行變形，有

將式(8)代入式(9)，可得

上式兩邊關(guān)于u求導(dǎo)，整理得

對上式關(guān)于u求導(dǎo)，得

注:若不考慮利率及再保險，即 δ=0，α=1，m=c=λ(1+θ)E(Y)，則 式(12)變?yōu)?/p>

由式(6)可知 ψ(0)=1/(1+θ)，且由定理 2有，于是方程 (13)的解為 ψ(u)=，這就是經(jīng)典風(fēng)險模型中索賠額服從指數(shù)分布的破產(chǎn)概率表達式［8］。

4 結(jié)束語

本文圍繞經(jīng)典風(fēng)險模型盈余過程U(t)=u+ct-S(t)進行研究，將該模型進行推廣，引入了再保險和利率的影響，將原來模型中的保費收入以及索賠均進行了相應(yīng)的改進，使得改進后的模型更加符合實際，且更具一般性。如將本文的模型條件特殊化，即回到了經(jīng)典風(fēng)險模型。

［1］Cai J.Discrete time risk models under rates of interest［J］.Probability in the Engineering and Information Sciences，2002，16:309-324.

［2］Cai J，Dickson D.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Andersen model with interest［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2003，32:61-71.

［3］Cai J，Dickson D.Ruin Probabilities with a Markov chain interest model［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2004，35:513-525.

［4］劉東海，劉再明.利率相依的離散時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2008，25(2):126-131.

［5］Dickson D，Waters H.Reinsurance and ruin［J］.Insurance:Mathematics and Economics，1996，19:61-80.

［6］Liang Z，Guo J.Optimal proportional reinsurance and ruin probability［J］.Stochastic Models，2007，23(2):333-350.

［7］Liang Z，Guo J.Upper bound for ruin probabilities under optimal investment and proportional reinsurance［J］.Applied Stochastic Models in Business and Industry，2008，24(2):109-128.

［8］吳嵐，王燕.風(fēng)險理論［M］.北京:中國財政經(jīng)濟出版社，2006.