鄢盛勇

(四川教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川成都 611130)

四元數(shù)分析中正則函數(shù)的非線性帶位移邊值問題

鄢盛勇

(四川教育學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川成都 611130)

研究了四元數(shù)分析中正則函數(shù)的一類非線性帶位移的邊值問題.首先研究Cauchy型積分的一個(gè)性質(zhì),進(jìn)而設(shè)計(jì)積分算子,將邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程問題,借助積分方程理論和Schauder不動(dòng)點(diǎn)理論證明了邊值問題解的存在性,并給出了解的積分表達(dá)式.

四元數(shù)分析；正則函數(shù)；非線性；帶位移邊值問題

1 引言

四元數(shù)分析是近代分析的重要分支,它有非常重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值,如在Maxwell方程,Yang-Mill場理論以及量子力學(xué)等方面都應(yīng)用它的一些結(jié)論[12].近年來國內(nèi)外許多學(xué)者研究了四元數(shù)分析中的一些奇異積分算子,并考慮了其中一些邊值問題[311],在這些工作的基礎(chǔ)上,本文借助參考文獻(xiàn)[12-18]處理實(shí)Clifford分析中正則函數(shù)、雙正則函數(shù)、廣義雙正則函數(shù)、超正則函數(shù)以及雙曲調(diào)和函數(shù)等函數(shù)類的非線性帶位移邊值問題的處理方法,討論了有界域上正則函數(shù)的一類非線性帶位移的邊值問題,從而改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]中正則函數(shù)Riemann邊值問題的結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

賦范的可除代數(shù)只有四種:實(shí)數(shù),復(fù)數(shù),四元數(shù),八元數(shù).高維函數(shù)論有另一個(gè)重要分支即Clifford分析[1219].雖然與Clifford分析有很多相似,但是四元數(shù)分析并不是Clifford分析的特例[6].用?2表示四元數(shù)空間,設(shè)D是?2中一有界區(qū)域,其邊界?D=S是一光滑曲面.記Cβ(S)為有界H¨older連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的函數(shù)集,其H¨older指數(shù)為β(0＜β＜1),定義范數(shù):

3 問題的提出與轉(zhuǎn)化

定義3.1設(shè)D是?2中一有界區(qū)域,其邊界?D=S是一光滑曲面.記

這樣求邊值問題A的解就轉(zhuǎn)化成了求積分方程(8)的解.

4 問題A的解的存在性

為了研究Cauchy型積分的性質(zhì),僅要求積分曲面光滑是不夠的.下面設(shè)S是光滑定向的Liapunov曲面,γ為其Liapunov曲面常數(shù).按其定義,對(duì)于S內(nèi)任意點(diǎn)t,以t為中心,γ(或小于γ的正數(shù))為半徑的超球把S分成兩部分,它們分別位于超球內(nèi)外,并且與過t的法線相平行的直線和S在超球內(nèi)部分的交點(diǎn)不超過一個(gè).以t為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系,ξ4軸放在沿S在t點(diǎn)處外法線上,設(shè)S包含在超球內(nèi)的部分為S1,則S1的方程可表示為ξ4=ξ4(ξ1,ξ2,ξ3).記S1在t點(diǎn)切平面內(nèi)的投影區(qū)域?yàn)棣?,又設(shè)S1上任意點(diǎn)ζ處外法線為n,并記r=|ζ-t|,以ρ表示r在過t的切平面上投影的長度.引進(jìn)局部球面球坐標(biāo)ρ,θ1,θ2,易知變換的Jacobi行列式:

故根據(jù)(19)和(20)式,不管哪種情況都可得:

所以F是映射HM到自身的連續(xù)映射.根據(jù)Arzela-Ascoli定理知,HM是連續(xù)空間C(S)中的緊集.因此連續(xù)映射F映射C(S)中的閉凸集HM到自身,并且F(HM)也是C(S)中的緊集.再利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知,至少存在一個(gè)φ0∈Cβ(S)適合奇異積分(8),將φ0代入(1)式得函數(shù)Ψ(z)則為問題A的解,所以問題A至少存在一解,并且(1)式為其解的積分表達(dá)式.

[1]Gross F,Tze H C.Complex and quaternionic analyticity in chiral and gauge theories[J].Ann.of Phys., 1980,128:29-130.

[2]Gürlebeck K,Spr¨ossig W.Quaternionic Analysis and Elliptic Boundary Value Problem[M].Boston:Birkhuser, 1990.

[3]Sudbery A.Quaternionic analysis[J].Math.Proc.Comb.Phil.Soc.,1979,85:199-225.

[4]楊丕文.四元數(shù)分析中超球與雙圓柱區(qū)域上的正則函數(shù)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1999,19(3):257-263.

[5]楊丕文.四元數(shù)分析中T算子的H¨older連續(xù)性和Riemann-Hilbert邊值問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,46(5):993-998.

[6]楊丕文.四元數(shù)分析與偏微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[7]鄢盛勇.四元數(shù)分析中密度函數(shù)含參量的Cauchy型積分[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,36(4):78-82.

[8]鄢盛勇.四元數(shù)分析中TGf屬于Lpv(G)的性質(zhì)和Pompeiu公式[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005,28(1):5-9.

[9]李覺友,楊丕文.四元數(shù)分析中K-左正則函數(shù)的性質(zhì)及其Riemann邊值問題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2009,39(22):154-160.

[10]Wen Guochun.Clifford Analysis and Elliptic System,Hyperbolic Systems of First Order[C]//Proceeding of International Conference on Intergral Equation and Boundary Problems.Singapore:World Scientific, 1991,230-237.

[11]喬玉英.四元數(shù)廣義正則函數(shù)的斜微商邊值問題[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1997,17(4):447-451.

[12]黃沙.Clifford分析中一個(gè)帶Haseman位移的邊值問題[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1996,16(1):60-64.

[13]喬玉英.雙正則函數(shù)的非線性帶位移邊值問題[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1999,19(4):484-489.

[14]許娜,喬玉英.Clifford分析中無界域上正則函數(shù)帶Haseman位移的邊值問題[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):A輯, 2008,28(5):846-855.

[15]謝永紅,黃沙,喬玉英.廣義雙正則函數(shù)帶共軛值帶位移的邊值問題[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2001,21(4):567-572.

[16]喬玉英.廣義雙正則函數(shù)的非線性帶位移邊值問題[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2002,22(1):43-49.

[17]楊賀菊,謝永紅,劉秋菊,等.Clifford分析中雙曲調(diào)和函數(shù)的一個(gè)帶位移的非線性邊值問題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,37(6):126-131.

[18]楊柳.Clifford分析中超正則函數(shù)向量帶共軛值的非線性邊值問題[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2008,46(3):418-422.

[19]Brack F,Delanghe R,Sommen F.Clifford Analysis(Research Notes in Mathematics 76)[M].London:Pitman Books Ltd.,1982.

A nonlinear boundary value problem with a shift for regular function in quaternion analysis

Yan Shengyong

(Department of Mathematics,Sichuan College of Education,Chengdu611130,China)

A Class of nonlinear boundary value problem with a haseman shift for regular function is considered in quaternion Analysis.First,we get a property of Cauchy-type integrals.Second,we give some integral operators and transform the problem into an integral equation problem.Applying Schauder fixed-point theorem, we prove the existence of solution for the problem,and give the representation of solution.

quaternion analysis,regular function,nonlinear,boundary value problem with a haseman shift 2000 MSC:30G20

O175.27

A

1008-5513(2012)04-0475-08

2011-07-10.

四川省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(09ZA091)；四川省教育廳科研基金(10ZC127)；

四川教育學(xué)院院級(jí)科研重點(diǎn)項(xiàng)目(CJYKT10-011).

鄢盛勇(1975-),碩士,講師,研究方向：函數(shù)論的邊值問題.