員陳鑫,蔣威

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230601)

具外部擾動的變時滯不確定奇異系統(tǒng)的滑動模態(tài)控制

員陳鑫,蔣威

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230601)

研究了含有多個變時滯的不確定奇異系統(tǒng)的滑動模態(tài)問題.該系統(tǒng)相比文獻(xiàn)中已研究的系統(tǒng)更為復(fù)雜,具有多個變時滯,且分別含有匹配和不匹配的外部擾動項.通過對系統(tǒng)進(jìn)行等價分解化為兩個子系統(tǒng),對分解后的系統(tǒng)進(jìn)行切換函數(shù)的設(shè)計,再通過定義Lyapunov函數(shù)得到使得系統(tǒng)的滑模運動漸近穩(wěn)定的充分條件.由此證明了所設(shè)計的滑模控制率能夠保證狀態(tài)軌跡在優(yōu)先時間內(nèi)被驅(qū)動到指定的切換面上且保持運動.設(shè)計過程簡單,且結(jié)果以線性矩陣不等式呈現(xiàn),相比文獻(xiàn)中已有的結(jié)論更易于實現(xiàn).最后通過例子驗證結(jié)論的正確性.

滑動模態(tài)；變時滯；奇異；lyapunov方程

1 引言

滑?？刂?sliding mode control,SMC)也叫變結(jié)構(gòu)控制,本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制,且非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性.這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定,而是可以在動態(tài)過程中,根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)(如偏差及其各階導(dǎo)數(shù)等)有目的地不斷變化,迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動.

1977年,文獻(xiàn)[1]開啟了控制系統(tǒng)學(xué)界對變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(VSS)和滑模控制(SMC)的研究熱潮,國內(nèi)的學(xué)者也針對不同特殊系統(tǒng)的滑動模態(tài)的控制問題進(jìn)行了廣泛的研究[27].其中文獻(xiàn)[2]中利用Riccati方程對奇異系統(tǒng)研究了其滑動模態(tài)控制問題,文獻(xiàn)[3]中對帶有常數(shù)時滯和不確定項的系統(tǒng)研究了其滑?？刂茊栴}.但是對于含有多個變時滯以及同時含有匹配和非匹配不確定項的奇異系統(tǒng)的滑?？刂频难芯可胁欢嘁?

本文考慮系統(tǒng)

2 預(yù)備知識

定義2.1[8]設(shè)在初始時刻t0時,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0,時刻t時的狀態(tài)為xt.另外,設(shè)超平面s包含原點x=0.則此時對于任意在s之上的狀態(tài)x0,在t＞t0之后,都有xt存在于s之中.此時,xt就是系統(tǒng)的滑動模態(tài)或稱為滑模運動.

定義2.2[9]對于非線性控制系統(tǒng)

(1)滿足到達(dá)條件:切換面si(x)=0以外的相軌線將于有限時間內(nèi)到達(dá)切換面；

(2)切換面是滑動模態(tài)區(qū),且滑動運動漸近穩(wěn)定,動態(tài)品質(zhì)良好.

稱這樣的控制為變結(jié)構(gòu)滑動模態(tài)控制.

3 主要引理

對于系統(tǒng)(1),做如下的假設(shè):

因此系統(tǒng)(1)可以簡記為以下的形式:

引理3.1對于由狀態(tài)方程描述的連續(xù)線性定常系統(tǒng)˙x=Ax,其中A是n×n常量矩陣,則原點平衡狀態(tài)xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定的充分必要條件為:

對給定任一正定實對稱矩陣Y,李雅普諾夫方程XA+ATX=-Y有惟一正定實對稱矩陣解X0.

引理3.2若系統(tǒng)(3)滿足假設(shè)(1)-(3),則必然存在非退化矩陣P,Q,使得系統(tǒng)(3)等價于下面兩個子系統(tǒng)(4)(5):

4 綜合設(shè)計

通過上面的分析推理,可知系統(tǒng)(1)的滑動模態(tài)控制問題可以等價為系統(tǒng)(4),(5)的綜合設(shè)計問題.為了達(dá)到系統(tǒng)的滑?？刂频哪康?這里將系統(tǒng)的設(shè)計過程分成三步進(jìn)行:一、首先設(shè)計系統(tǒng)的切換函數(shù)；二、設(shè)計變結(jié)構(gòu)控制率,使得系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)到達(dá)切換平面進(jìn)行運動；三、保證系統(tǒng)在滑模面上的運動是漸近穩(wěn)定的.

第一步定義系統(tǒng)的切換函數(shù)為:

其中p是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù),且有p＞0.下面給出系統(tǒng)在有限時間達(dá)到滑模面并在其上運動的充分條件:

定理4.1若(13)式中的函數(shù)p滿足條件p≥‖M‖‖C2‖h(x(t),t)+η,其中η＞0,為常數(shù),則系統(tǒng)(1)在有限時間達(dá)到滑模面并在其上實現(xiàn)滑模運動.

證明由(13)式可得:

非退化.取L=1,可由(13)得到可使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制輸入為:

[1]Utkin V I.Variable structure systems with sliding modes[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1977,22:212-222.

[2]溫香彩,劉永靖.奇異不確定系統(tǒng)的滑動模態(tài)控制[J].控制理論與應(yīng)用,1995,12(1):114-118.

[3]卜春霞,侯小麗,程桂芳.奇異不確定時滯系統(tǒng)的滑動模態(tài)控制[J].河南科學(xué),2004,22(2):159-162.

[4]肖劍,梁家榮,樊仲光.線性滯后廣義系統(tǒng)的二階滑?？刂品椒╗J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(3):478-483.

[5]Gouaisbaut F,Dambrine M,Prichard J P.Robust control of delay systems:a sliding mode control design via LMI[J].Systems and Control Letters,2002,46:219-230.

[6]Yan X G,Spurgeon S K,Edwards C.On discontinuous static output feedback control for linear systems with nonlinear disturances[J].Systems and Control Letters,2009,58:314-319.

[7]Magdy M,Abdelhameed.Enhancement of sliding mode controller by fuzzy logic with application to robotic manipulators[J].Mechatronics,2005,15(4):439-458.

[8]田宏奇.滑?？刂评碚摷捌鋺?yīng)用[M].武漢:武漢出版社,1995.

[9]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制理論基礎(chǔ)[M].北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

[10]鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

Sliding mode control for uncertain time-delays singular system with external disturbances

Yuan Chenxin,Jiang Wei

(Department of Mathematics,Anhui University,Hefei230601,China)

This paper discusses the sliding mode control for uncertain time-delays singular system with external disturbances.The discussed system is more complicated than papers listed in the reference,for it has several delays,and both matching and mismatching external disturbances.Based on the transformation from the uncertain singular multi-delay-system to two subsystems,firstly we design the switching function such that system could be drift onto the sliding surface in limit time and maintains motion on it.After that we get the sufficient condition of asymptotic stabilization of sliding mode motion by defined the Lyapunov-function.The design process is simple and the result is given by form of LMI so that the realization is more easy than papers listed in the reference.At last we take a numerical example to demonstrate the correctness of the results.

sliding mode control,singular,time-delay,lyapunov function

O231.2

A

1008-5513(2012)04-0531-09

2012-04-09.

國家自然科學(xué)基金(11071001)；高校博士點專項科研基金(20093401110001)；

安徽省高校重大項目(KJ2010ZD02)；安徽省高校自籌經(jīng)費項目(KJ2012Z338).

員陳鑫(1984-),碩士生,研究方向：泛函微分方程及控制論.

2010 MSC:93C23