馬超,狄艷媚,宋軍全

(浙江工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,浙江杭州 310023)

Heisenberg群中一類(lèi)非凸區(qū)域上的Hardy不等式

馬超,狄艷媚,宋軍全

(浙江工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,浙江杭州 310023)

通過(guò)構(gòu)造向量函數(shù),得到了Heisenberg群中一類(lèi)非凸區(qū)域上的Hardy不等式,從而推廣了以前的相關(guān)結(jié)論.

Heisenberg群；Hardy不等式；非凸區(qū)域

1 簡(jiǎn)介

眾所周知,各種不同類(lèi)型的Hardy不等式在數(shù)學(xué)多個(gè)領(lǐng)域起著重要的作用.經(jīng)典的Hardy不等式為:文獻(xiàn)[3]將它的結(jié)果推廣到了Lp上,得到了Heisenberg群上的Lp-Hardy不等式.

以上的這些Hardy不等式都是在凸區(qū)域上進(jìn)行研究的.目前,國(guó)內(nèi)外對(duì)在非凸區(qū)域上的Hardy不等式的研究相對(duì)很少,但是正越來(lái)越受到大家的關(guān)注.文獻(xiàn)[4]詳細(xì)地討論了歐氏空間中一類(lèi)非凸區(qū)域上的Hardy不等式,得到了關(guān)于Hardy不等式的一系列結(jié)果,并給出了詳細(xì)的證明.

本文將利用Farit的研究方法,將其結(jié)果推廣到Heisenberg群上,得到相應(yīng)的Hardy不等式以及一系列推論.

2 非凸區(qū)域上的Hardy不等式

首先,介紹一些Heisenberg群的記號(hào).Heisenberg群上的距離函數(shù):

下面就是這篇文章的重要結(jié)論,非凸區(qū)域上的Hardy不等式.

定理2.1在Heisenberg群上給定一個(gè)凸區(qū)域Ω,在Ω中取一個(gè)Heisenberg球

結(jié)合(1)式和(2)式,應(yīng)用引理2.1的結(jié)果,就有

[1]Brezis H,Marcus M.Hardy's inequalities revisited[J].Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa Cl.Sci.,1997,25(4):217-237.

[2]Garofalo N,Lanconelli E.Frequency functions on the Heisenberg group,the uncertainty principle and unique continuation[J].Ann.Inst.Fourier,Grenoble,1990,40:313-356.

[3]Niu P,Zhang H,Wang Y.Hardy type and Rellich type inequalities on the Heisenberg group[J].Proc.Amer. Math.Soc.,2001,129(12):3623-3630.

[4]Farit Avkhadiev,Ari Laptev.Hardy inequalities for nonconvex domains[J].International Mathematical Series,2010,11:1-12.

[5]Davies E B.A review of hardy inequalities[J].The Maz′ya Anniversary Collection 2.Oper.Theory Adv. Appl.,1999,110:55-67.

[6]Davies E B.Spectral theory and differential operators[J].Cambridge:Cambridge Univ.Press,1995.

The Hardy inequality for nonconvex domain on the Heisenberg group

Ma Chao,Di Yanmei,Song Junquan

(Faculty of Applied Mathematics,Zhejiang University of Technology,Hangzhou310023,China)

In this paper,we obtain the Hardy inequality for nonconvex domain on the Heisenberg group based on structuring the vector function.Then we extend the related conclusions.

Heisenberg group,Hardy inequality,nonconvex domain

O178

A

1008-5513(2012)04-0564-05

2012-06-02.

馬超(1987-),碩士生,研究方向：調(diào)和分析與不等式.

2010 MSC:42B25