陳曉艷,吉飛宇,魚(yú)翔

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

陳曉艷,吉飛宇,魚(yú)翔

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

利用推廣的()展開(kāi)法,研究了Zhiber-Shabat方程的行波解,獲得了其各種孤子解和周期波解,并且給出了由它得來(lái)的著名方程Liouville方程的精確解,豐富了解的范圍.

推廣的()展開(kāi)法；Zhiber-Shabat方程；Liouville方程；周期波解

1 引言

非線性演化方程Zhiber-Shabat方程在許多科學(xué)領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用.由它演化得來(lái)的一些著名方程包括:當(dāng)q=r=0時(shí),方程(1)化為著名的Liouville方程；當(dāng)q/=0,r=0時(shí),方程(1)成為著名的Sinh-Gordon方程；當(dāng)q=0,r/=0時(shí),方程(1)變?yōu)橹腄odd-Bullough-Mikhailov方程.這些方程在固體物理學(xué),流體力學(xué),生物數(shù)學(xué)和等離子物理學(xué)等學(xué)科中出現(xiàn)[12],例如Liouville方程是描述由系統(tǒng)的定態(tài)所構(gòu)成的混合態(tài)隨時(shí)間演化的規(guī)律,包括光線量子和相對(duì)論費(fèi)密子等[34].Sinh-Gordon方程是在正常曲率曲面的研究中引出的,若知道它的一個(gè)非平凡解,就可以得出R2,1中類時(shí)的正常曲率曲面[5].因此這些方程得到了充分研究及應(yīng)用.

到目前為止,已有很多種方法用來(lái)求解Zhiber-Shabat方程.1992年,文獻(xiàn)[6]通過(guò)使方程(1)滿足投影Riccati方程組求出方程(1)的兩種精確解,后來(lái),文獻(xiàn)[7]用tanh函數(shù)法與推廣的tanh函數(shù)法得到了方程(1)的多種行波解,文獻(xiàn)[8-10]又分別用指數(shù)函數(shù)法,sinh-cosh函數(shù)法,F展開(kāi)法對(duì)方程(1)的解的情況進(jìn)行了研究.最近由文獻(xiàn)[11]首次提出的()展開(kāi)法,在研究非線性演化方程的孤子解方面,是一種方便快捷的方法,已用于求解了很多方程.

2 推廣的()展開(kāi)法

步驟一:對(duì)于含有兩個(gè)獨(dú)立變量x,t的非線性演化方程:

其中αi是待定系數(shù),N是由平衡(3)式中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)得來(lái)的,G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程:

步驟四:將得到的αi的值代入(4)式,利用(5)式的通解,經(jīng)過(guò)分析即可以得到(2)式的精確解.

3 Zhiber-Shabat方程的行波解

令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ωt,ω為波速,將其代入(1)式,對(duì)(1)式進(jìn)行行波約化得:

類似地,利用以上步驟還可得到著名方程Dodd-Bullough-Mikhailov方程和Sinh-Gordon方程的精確解[15].)

參考文獻(xiàn)

[1]Fu Z,Liu S,Liu Shida.Exact solutions to double and triple sinh-Gordon equations[J].Z Naturforsch, 2004,59:933-937.

[2]Perring J k,Skyrme T H.A model unified field equation[J].Nucl.Phys.,1962,31:550-555.

[3]薛國(guó)良.光線的量子Liouville方程[J].自然雜志,1991,15(6):472-473.

[4]王仁川,朱棟培,黃卓然,等.相對(duì)論帶電費(fèi)密子Liouville方程[J].物理學(xué)報(bào),1991,40(1):14-23.

[5]谷超豪,胡和生,周子翔.孤粒子理論中的達(dá)布變換及其幾何應(yīng)用[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1999.

[6]Conte R,Musette M.Link between solitary waves and projective Riccati equations[J].Phys.A,1992,25:5609-5623.

[7]Wazwaz A M.The tanh method for travelling wave solutions to the Zhiber-Shabat equation and other related equations[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2008,13:584-592.

[8]張金華,丁玉敏.F展開(kāi)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)法求解Zhiber-Shabat方程的精確解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2011,27(2):163-169.

[9]潘洪偉.Zhiber-Shabat方程的新的顯示精確解[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,23(3):25-27.

[10]趙云梅,芮偉國(guó).Zhiber-Shabat方程的孤立波解與周期波解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,24(2):283-288.

[14]Borhanifar*A,Ali Zamiri Moghnlu.Application of the)-epansion method for the Zhiber-Shabat equation and other related equations[J].Mathematical and Computer Modelling,2011,54:2109-2116.

[15]Chen A Y,Huang W T,Li J B.Qualitative behavior and exact travelling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,230:559-569.A(bs)tract:The exact traveling wave solutions of the Zhiber-Shabat equation are studied by using the extended-expansion method.Solitons and periodic solutions for it are formally derived,and then the exact traveling wave solutions of the related equations,such as Liouville equation also derived,which has enriched solutions of them.

Chen Xiaoyan,Ji Feiyu,Yu Xiang
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

extended()-expansion method,Zhiber-Shabat equation,Liouville equation, periodic wave solutions

O175

A

1008-5513(2012)04-0546-07

2011-12-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671156).

陳曉艷(1987-),碩士生,研究方向：非線性偏微分方程.

2010 MSC:35Q58,37K50