曹玉茹,鄭戟明

(上海對外貿(mào)易學(xué)院商務(wù)信息學(xué)院,上海 201620)

拓?fù)湎蛄靠臻g中的一類平衡問題研究

曹玉茹,鄭戟明

(上海對外貿(mào)易學(xué)院商務(wù)信息學(xué)院,上海 201620)

通過對偶的方法研究了拓?fù)湎蛄靠臻g上的一類平衡問題,并詳細(xì)的證明了平衡問題解的存在性結(jié)果,又利用集值映射的擬凸性討論了一類集值映射的平衡問題,并給出了詳細(xì)的證明過程,得到其平衡問題的解的存在性結(jié)果.

擬凸；對偶；緊凸基；擬平衡；拓?fù)渚€性空間

1 引言

平衡理論是非線性分析理論及其應(yīng)用研究的重要組成部分.平衡理論在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、力學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用.幾十年來,平衡問題的研究有了重要的發(fā)展.文獻(xiàn)[1]指出優(yōu)化問題,非合作對策中的Nash平衡問題,相補(bǔ)問題以及不動(dòng)點(diǎn)問題,變分不等式問題都是平衡問題的特例,并且討論了將其他問題的某些特征推廣到平衡問題中,近年來,關(guān)于擬平衡問題被提出并研究討論.雖然關(guān)于這方面的研究還不是很多,但卻推廣了早先的一些重要結(jié)果.

本文主要通過對偶的方法討論一類向量平衡和集值平衡問題.

2 預(yù)備工作

為了后文的需要,引進(jìn)一些重要的定義和定理.

定義2.2[2](有限交性質(zhì))設(shè){Fi}i∈I是Housdorff拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集簇,I是指標(biāo)集,若對任意有限集I0?I有

則稱{Fi}i∈I具有有限交性質(zhì).

定理2.2[2]拓?fù)淇臻gX是緊集的充要條件是X中具有有限交性質(zhì)的閉集簇{Fi}i∈I有非空的交.

3 拓?fù)淇臻g中的一類向量平衡

在向量平衡問題的研究中,通常要先在拓?fù)淇臻g中定義序關(guān)系.

設(shè)Z是一個(gè)實(shí)拓?fù)湎蛄靠臻g,P?Z是一個(gè)閉凸錐,用P來定義Z中的序關(guān)系:

定義3.1[4]設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,T:X?Y是一個(gè)集值映射,T稱為在x∈X點(diǎn)上是上半連續(xù)的(u.s.c),若對任意包含T(x)的開子集V,都存在包含x點(diǎn)的開集U使得對每個(gè)t∈T,T(t)?V.若T在X的每一點(diǎn)都u.s.c,則稱T在X上是u.s.c；T稱為在x∈X點(diǎn)是下半連續(xù)的(l.s.c),若對任意y∈T(x)和包含y的開集V,都存在包含x點(diǎn)的開集U使得對每個(gè)t∈U,T(t)∩V/=Φ；若T在X的每一點(diǎn)都l.s.c,則稱T在X上是l.s.c；若T在X上既u.s.c又l.s.c,則稱T在X上是連續(xù)的.T稱為閉的,若

引理3.2[5]設(shè)X,Y是兩個(gè)Housdorff拓?fù)淇臻g,T:X?Y是一個(gè)集值映射,則

(1)T是閉的充分必要條件是?網(wǎng){xα},xα→x及網(wǎng){yα},yα∈T(xα),yα→y都有y∈T(x).

(3)若T是u.s.c的且對每個(gè)x∈X,T(X)是閉集,則T是閉的.

下面給出本節(jié)的重要結(jié)果.

定理3.1設(shè)X,Z是實(shí)的局部凸Housdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,K?X是緊凸子集,P?Z是閉的凸點(diǎn)錐,令P*有ω*緊凸基B；映射S:K?K是一個(gè)連續(xù)的集值映射,且對每個(gè)x∈K, S(x)是非空閉凸集.若映射g:K×K→Z是連續(xù)的且?x∈K,f(x,x)≥0,而f(x,x)關(guān)于第一變元凹,關(guān)于第二變元擬凸,則存在ˉx∈K,使?y∈K有f(ˉx,y)≥0.

證明首先用對偶的方法得到上式在K的緊子集S(x)上成立,再由引理3.4得到在整個(gè)K上成立.定義g:K×K→R如下:

4 拓?fù)湎蛄靠臻g中的一類集值平衡

本節(jié)主要是用集值映射的擬凸性來討論一類拓?fù)湎蛄靠臻g上的集值平衡問題.首先看下面的定義和引理.

再由K緊性及對任意i,G(xi)是閉的知G(xi)是緊集.從而由KKM-定理,得

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Study of equilibrium problem in topological space

Cao Yuru,Zheng Jiming

(Department of Tread Information,Shanghai Institute of Foreign Trade,Shanghai201620,China)

In this paper,both a class of vector value equilibrium by duality method,and a class of scale value equilibrium by method of quasi-convex are discussed,and proof are obtained in detail.

quasi-convex,duality,compact convex base,quasi-equilibrium,topological linear space

O177

A

1008-5513(2012)04-0440-06

2012-01-18.

085工程(知識(shí)創(chuàng)新)項(xiàng)目(08509008-02).

曹玉茹(1978-),博士,副教授,研究方向：凸分析與調(diào)和分析.

2010 MSC:47A62