黃小寧

(hxn268@126.com 廣東 廣州 510631)

丁肇中:“99%的人反對(duì)你，不代表他們是對(duì)的。專家的評(píng)論是依靠現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)，而科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是推翻現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)。”（2011.10.17《新華每日電訊》2版）。錢學(xué)森希望大學(xué)能培養(yǎng)出有科學(xué)發(fā)現(xiàn)才能的杰出人才。應(yīng)試教育摧殘人的智力與學(xué)力，“高分低能”就遠(yuǎn)談不上能有科學(xué)發(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)的方法是“漁”?！翱茖W(xué)”共識(shí):初等數(shù)學(xué)絕不會(huì)有重大根本錯(cuò)誤?！胺纯茖W(xué)”的太“反動(dòng)”發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯邏輯學(xué)常識(shí):①若R+各元x（相比下）全都是≈0的極小正數(shù)則R+絕不可含全部正數(shù)而必有正數(shù)>>R+所有數(shù)x；②…；…。故可如小學(xué)生看圖識(shí)字那樣看圖識(shí)本文的發(fā)現(xiàn)。本文突出特點(diǎn):是否真的推翻了5千年都沒人能推翻的科學(xué)“常識(shí)”當(dāng)然事關(guān)極其重大，但凡懂“一一對(duì)應(yīng)”概念的中學(xué)教師等都有能力評(píng)判本文的正確與否性而非只有極少數(shù)人才能評(píng)判。

1 “一對(duì)一”常識(shí)讓{n}的末項(xiàng)一下子暴露出來——對(duì)無窮數(shù)列的認(rèn)識(shí)一直存在極重大缺陷與錯(cuò)誤

設(shè)有圓形房門的旅館空房間○序列○○...，給各○都掛上非0門牌號(hào)數(shù)得“夫妻”序列P:①②③...就用光已知非0自然數(shù)全體N的一切數(shù)n了，即N各數(shù)（或各號(hào)牌）與各○已一一配對(duì)?，F(xiàn)又建一○，給其配掛數(shù)1就須摘下原①中的1，...——對(duì)各○重新編號(hào)（即數(shù)與○重新配對(duì)）的整個(gè)過程中始終都總有一○不能配有N的數(shù)表明全部○多于N的全部數(shù)（全部號(hào)牌）。注！為保證重新編號(hào)的號(hào)數(shù)都∈N(不可有N外數(shù)與○配對(duì))不可涂改門牌號(hào)的數(shù)字且號(hào)牌背面不可有數(shù)。例要將房2改稱是房1只能改變門牌號(hào)的位置:將原①中的1摘下改掛到原房2——須老老實(shí)實(shí)地按此 “沒一摘就沒一掛”的“死板”原則重新配對(duì)而不能沒改配偶而只是改配偶的“名字”（例將n號(hào)房的號(hào)牌上的數(shù)n涂改為2n得②④⑥...——百年假象:部分號(hào)牌就可掛滿P全部房間）。毛澤東:“要過細(xì)，粗枝大葉不行，粗枝大葉往往搞錯(cuò)?！崩涎刍杌ǖ哪橙讼优畠旱膶?duì)象張三窮而強(qiáng)令她改與李四處對(duì)象，她堅(jiān)決不從但又不能硬頂，于是就換名不換人地讓張三改名為李四；女父先入為主地堅(jiān)信“我女絕不敢騙我”，故未戴眼鏡粗枝大葉地看了幾眼就將此新李四誤為前李四了。同樣…。

規(guī)定一數(shù)只能掛在一空房○內(nèi)或外。P中1退出房間得P′:○②③...中的○沒P′的數(shù)與之配對(duì)，除非拆散某對(duì) “夫妻”?？磮D可知一n前移到空房○內(nèi)的同時(shí)n號(hào)房就變空成○且在n的后面，這是一對(duì)一的:“拆東補(bǔ)西”地讓一數(shù)前移到空房?jī)?nèi)的同時(shí)又生一新空房在前移數(shù)的后面。故 “各非1數(shù)n≥2都改與n-1號(hào)房配對(duì)”的重新配對(duì)法則令各n都前移一格到空房○內(nèi)得②③④...中必有一○在各數(shù)的后面，因“拆東補(bǔ)西”前后的空房是一樣多的，顯然此○是P′的末項(xiàng)。故N有最大元t（若N是非0自然數(shù)全體則t是…）——推翻集論立論的論據(jù):N各元n都有對(duì)應(yīng)n+1、2n∈N。下節(jié)還要嚴(yán)格證明t的存在性?？茖W(xué)慧眼能洞察P′所有成員的配對(duì)情況而不被目光太短淺的肉眼所騙，不被“拆東補(bǔ)西”術(shù)迷惑。詳論見[1]。故有革命結(jié)論:一給定無窮數(shù)列增（減）1個(gè)項(xiàng)后必比原來多 （少）1個(gè)項(xiàng)，{n≥1}不一定是N而有可能是其真子（擴(kuò)）集?！巴品贝私Y(jié)論的癥結(jié):沒有“過細(xì)地做工作”。

有傻瓜相機(jī)也有傻瓜數(shù)學(xué):說y=2n>n中的n可取3、2、1就是說y可>這3個(gè)數(shù)，說n可遍取N一切數(shù)就是說y必可>N一切數(shù)而取N外數(shù)（后文指出N只是非0自然數(shù)全體的滄海一粟）。問題是不少人為了分?jǐn)?shù)而扼殺自己的正常思維能力。故N各元n都有對(duì)應(yīng)n+1、2n、…，但這所有對(duì)應(yīng)數(shù)并非都∈N。故定義域?yàn)镹的y=n＋1（或2n）的值域并非N的一部分！故中學(xué)“{n}必?zé)o末項(xiàng)”等等是重大錯(cuò)誤。詳論見[1]。兩數(shù)之間有無窮多個(gè)數(shù)是常見的，例1與2之間的實(shí)數(shù)就多得寫不完。有窮集Y的任何兩元之間都絕不能有無窮多個(gè)Y的元——此性質(zhì)不能硬套在無窮集W上，在W內(nèi)必有一元與另一元相隔無窮多個(gè)W的元——此獨(dú)特性質(zhì)決定了無窮數(shù)列{n}中必有與首項(xiàng)相隔無窮多個(gè)項(xiàng)的項(xiàng)。

P中奇數(shù)都退出房間得○②○④○..中各數(shù)2n都左移到n號(hào)房?jī)?nèi)得②④⑥…；○○..——前列是“夫妻”列，后列是空房列，只不過各○都在一切夫妻的后面而肉眼不可見罷了。原因是有多少個(gè)奇數(shù)移出房就空出多少間房，而“拆東補(bǔ)西”前后的空房是一樣多的?？梢妼?duì)無窮序列的認(rèn)識(shí)一直存在…。引進(jìn)思維“望遠(yuǎn)鏡”使后列一下子暴露出來猶如醫(yī)學(xué)有了電子顯微鏡使…。

2 再證{n}有末項(xiàng)推翻百年集論與百年“R完備”論

P={①②③..}中各“單人板凳”○與各數(shù) n 已一一配對(duì)即n?n號(hào)凳，將n看成是n號(hào)球員即“n=n號(hào)人”，①就是表示球員1坐在1號(hào)凳上的示意圖，…，所有球員組成N。各n都改穿2n號(hào)球衣而改稱是2n號(hào)人得②④⑥..——假象:部分球員可坐滿P的○。文[1]有定理:

h定理1（重新配對(duì)定理）:有無窮多對(duì)“夫妻”的任一無窮有序數(shù)偶集中的“男、女人”之間任意重新配對(duì)（有的人“奪”別人配偶而“娶新歡”使有的人變成“單身”，一單身“再婚”就或使一與其異性的單身不再單身，或產(chǎn)生一與其同性的新單身，沒別的可能。）后，一方出多少個(gè)單身，對(duì)方也必出多少個(gè)單身。

證:看圖識(shí)理:P中任一n被n′奪去凳來坐的同時(shí)n′的原坐凳也變空了，這是一對(duì)一的，故每產(chǎn)一對(duì)新“夫妻”必同時(shí)產(chǎn)一對(duì)可配對(duì)的單身，這就使無論怎樣的重新配對(duì) （使P中人:有的變成“單身”后又“再婚”，繼而又“單身”，繼而又…，如此交替地進(jìn)行；有的變單身后就一直單身而不再坐了；等等。）后有多少個(gè)人在凳外就同時(shí)出多少張空凳。關(guān)鍵是不可“混”入P外成員進(jìn)行新配對(duì)。這說明定理成立。證畢。

設(shè)D～（對(duì)等于）D表示兩D的元已一一配對(duì):x?x。兩不交且非空的集 d、f的并記為 d＋f=H，d=H-f。G=N～N 中的 G 的非1元x=n＋1都被令改有新配偶n∈N（所有n=1，2，…組成U）后，G的 1（原有配偶 1∈N）就成單身，據(jù) h定理1N也必出一單身t?U顯然是N的最大元！故“G各元x都可改有新配偶x＋1∈N”等等是不可實(shí)現(xiàn)的，否定此事實(shí)的癥結(jié):將N外數(shù)誤為∈N，正如歷史上人們?cè)D將納入有理數(shù)集抵制推翻“有理數(shù)完備”論一樣。

圖1內(nèi)有兩N且兩N的元x與（x）一一配對(duì)成一數(shù)偶集在框框內(nèi)，下N各元x的頭上都有一（x）=x與其配成一對(duì)“夫妻”。下N的2改與其左斜上方的⑴∈上N配對(duì)，1與⑵就成一對(duì)單身；接著3改與斜上方的單身⑵配對(duì)就又產(chǎn)生一對(duì)含1 的新單身 1 與⑶；接著 4 改與單身⑶配對(duì)就..；…；x=n＋1 改與（x）=（n）配對(duì)就…——每產(chǎn)一對(duì)新夫妻必同時(shí)產(chǎn)一對(duì)（可配對(duì)）含1的新單身，故看圖知下N的非1元x=n＋1都改有新配偶（n）∈上N的整個(gè)過程中1始終都總可有一單身∈上N與之配對(duì)。

圖1

h定理2:任何無窮集W的任何真子集w都不可～W。

證 2（證 1 見[1]）:用反證法，假設(shè) w′=w～W=w＋f成立則據(jù)h定理1在雙方的元一一配對(duì)后再令w′=w各元x′=x都改有新配偶 x∈w=w′～w 后，w′（=w～w）方有 0 個(gè)單身的同時(shí) W=w＋f方也只有0個(gè)單身，然而事實(shí)上f?W各元都是單身。故假設(shè)不成立。證畢。

定義:集 A與B的元 x與y:若可一一對(duì)應(yīng)就稱 A～B,若可一一對(duì)應(yīng)相等就稱A＝B。顯然在未證明x與y可一一對(duì)應(yīng)相等之前是不能斷定A＝B的。

有大小的兩圓形質(zhì)點(diǎn)（圓心是點(diǎn)的中心）處在同一位置時(shí)它們的距離ρ是0，但它們相切時(shí)ρ=？規(guī)定兩橡皮點(diǎn)之間的距離是它們的中心的連線的長(zhǎng)。一截橡皮筋（橡皮點(diǎn)集）拉長(zhǎng)后各點(diǎn)都變長(zhǎng)了使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離也變大了（例兩端點(diǎn)的距離變大了），但各點(diǎn)的前后順序關(guān)系沒變。這是一種有序集的元的保序增距變換，其逆變換是保序減距變換。

點(diǎn)集:...是由……的各點(diǎn)（都在 x 軸上）之間彼此都保序拉大一段距離而得，示意圖顯示這增距變換使各在新位置的點(diǎn)到x軸任一定點(diǎn)例如原點(diǎn)的距離都比原來變大或變小了。任何非空數(shù)集A（或B）各元x（或y）到0的距離是|x|（或|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|是同一函數(shù)；故有h定理3:A=B的必要條件是|x|=|y|。

書上x數(shù)軸的正半軸R＋各點(diǎn)x全都離開原位置地沿軸正向保序前移至新位置 x′=kx=x＋△x＞x＞0 處形成元是點(diǎn) x′的Z＋，R＋顯然就至少空出一沒有點(diǎn)的正數(shù)位置x=a落在一切點(diǎn)（都在位置x′處）的后面——此x軸的固定位置與活動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系非常形象直觀地表明R＋至少有一數(shù)a＜Z＋的一切元x′；故 Z＋的元 x′=kx 都變小為 x=x′/k＞0 組成 R＋≠Z＋，同理 R＋的元x都變小為y=x/k＞0組成 T≠R＋， 因 T至少有一y＜R＋一切x——發(fā)現(xiàn)有無窮小正數(shù)＜R＋一切x。其實(shí)應(yīng)有h常識(shí):“對(duì)于R＋從大到小、一個(gè)不漏的每一元x都有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)y=x/2＜x”就是說至少有一標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)y＜R＋每一元x。將R＋換為“任何元為正數(shù)的A（各元 x都有比x大（小）的對(duì)應(yīng)正數(shù)y）”就有革命的

h 定理 4:A 的元 x＞0 都變大（?。?y（x）＞（＜）x 組成 B必≠A，因A必至少有一元x＜B一切元y（因B必至少有一元y＜A 一切元 x）。

證:①集是隨元素的變換而變換的。A的元x:有的變大有的變小才有可能使變化前后的集相同，若其全都一致變大（?。閥（x），變化前后的集的元x與y就不可一一對(duì)應(yīng)相等了。哪能有數(shù)集各元全都變大（?。┝?，而集卻巋然不動(dòng)的道理呢？?、趽?jù)h常識(shí)由“對(duì)于B一個(gè)不漏的每一元y都有對(duì)應(yīng)x（∈A）＜y”知 A 至少有一數(shù) x＜B 每一（一切）元 y，同樣…。 證畢。

故應(yīng)有起碼邏輯學(xué)常識(shí):R＋各數(shù)x全都變大（?。閥(x)＞（＜）x所成之集不能還是原集R＋了，否則何來“一個(gè)不漏地全都變大（?。?？

3 “推翻”h定理2的癥結(jié):不知中學(xué)數(shù)學(xué)一直隱含重大病句

L=（0，10）=D＋[1，10）的一小部分 D=（0，1）各元 x 均保序不保距地變?yōu)閥=10x∈L組成Z～D。問題是[2]指出Z≠L而只是L的一小部分。理由之一是～D的Z不可～L，沒一配對(duì)法能使L各元x都有“配偶”y∈Z。按證明h定理2的反證法由h定理 1 易證 Z（～D）～L=D＋[1，10）不成立。 不可～L 的 Z 更≠L。據(jù)h定理2L不～DìL，故～D的Z≠L。L各元x的絕對(duì)值是|x|（x=y的變域是 L）＞0而 Z各元 y=10x的絕對(duì)值是|y|=|10x|（x=y/10的變域是D）≠|(zhì)x|；據(jù)h定理 3Z≠L。D各元 x＞0均變大為y=10x組成Z，據(jù)h定理4DìL必至少有一元 x＜Z一切元y——顯示Z≠L。 可見將元是x的D=（0，1）“拉長(zhǎng)”變?yōu)樵?0x的集Z與D增元變?yōu)樵莤的L=D＋[1，10）是有根本區(qū)別的。

故自有函數(shù)概念幾百年來一直公認(rèn)的中學(xué) “定義域?yàn)椋?，1）的 y=10x 的值域=（0，10）”是將兩異集誤為同一集。 這使康脫誤以為 D～L 而“推翻”h 定理 2。 同理“（0，1）～（0，k＞1）”等等，都不成立。 形如 y=10（y/10）=10x＞x＞0 的數(shù) y都有對(duì)應(yīng)正數(shù)y/10=x,稱這類數(shù)為般正數(shù)。L內(nèi)形如y=10x＞x∈D的正數(shù)y的全體組成了Z即L內(nèi)全部般數(shù)組成Z。Z=L（般數(shù)）（L內(nèi)所有般數(shù)組成的集）才是正確的，去掉“（般數(shù)）”就是中學(xué)重大錯(cuò)誤。Z≠L揭示L內(nèi)還有無窮多用而不知的不可納入Z的非一般的“特異”數(shù)y無對(duì)應(yīng)數(shù)y/10∈L。其實(shí)幾百年函數(shù)“常識(shí)”:“對(duì)于一個(gè)不漏的每一正數(shù)x都有對(duì)應(yīng)正數(shù)y=x/10比x小”就是說有正數(shù)y＜所有正數(shù)x——初數(shù)竟一直隱含此類重大病句！這是智力正常者都能一說就明的事實(shí)。關(guān)鍵是連文盲也知“一個(gè)不漏”的確切含義。

x軸各點(diǎn)x均保序變?yōu)辄c(diǎn)y=kx（k是有窮正數(shù)），x軸就保序變換成元為點(diǎn)y=kx的y=kx軸。

同序元概念:有序集如數(shù)軸A各數(shù)x在A內(nèi)分別都有一定的大小“名次”。A各元x均保序變?yōu)閥=g（x）（y是增函數(shù)）就得A的保序變換集B=g（A），x∈A在A中的大小名次與g（x）∈B在B中的大小名次是一樣的，稱y與x互為同序元。顯然有

h定理 5:元為x的有序數(shù)集A保序變?yōu)锽=g（A）～A，A=B的充要條件是恒有x=g（x）（凡同序元必相等）；顯然必要條件:變換是保距變換（x軸與y軸的保序變換式y(tǒng)=kx（k是有窮正數(shù)）中的k=1時(shí)是保距變換，兩軸若不全等就更不可重合相等）。

x軸所有正數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)組成R＋各元x均保序變大為y=10x＞x組成 U～R＋， 據(jù) h 定理 5、4 等，U≠R＋即定義域?yàn)?R＋的y=10x的值域U≠R＋。

以上發(fā)現(xiàn)表明中學(xué)“R各元x都有對(duì)應(yīng) 10x、x/10∈R”等等是一系列重大錯(cuò)誤。由此可知:因“R各元x都有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)10x、x/10”故有部分10x∈U與x/10是用而不知的非一般的R外標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)——推翻百年“R完備”論。詳論見[2][3]。

4 近似常識(shí)凸顯R只是標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)全體的滄海一粟表明有標(biāo)準(zhǔn)無窮大實(shí)數(shù)＞R一切數(shù)——可視其為0而忽略的x→∞可取一切正數(shù)？

解恩澤等:“大凡一種理論體系，都可能潛伏著邏輯矛盾即悖論，發(fā)現(xiàn)悖論并設(shè)法消除之，往往會(huì)導(dǎo)致重大的科學(xué)革命。 ”（《潛科學(xué)》1992(2)，2 頁）。 質(zhì)量為 M=kx的地球（或其它星球）上一粒質(zhì)量為x的沙子被風(fēng)揚(yáng)起，球的M就受到擾動(dòng)而變?yōu)?kx＋（-x）≈kx——和式的末項(xiàng)-x可視為0而忽略，若x→∞則x與kx(k＞＞1固定不變)相比總還是等價(jià)于一沙子與地球相比，以致于可視x為0而忽略?？梢妜→∞也有相比下總≈0的另一面，科學(xué)極不發(fā)達(dá)期地球的極偉大性掩蓋了它的極渺小性，數(shù)學(xué)極不發(fā)達(dá)期此x→∞的一面掩蓋了其也有被限制相比下總距0太近的另一面。同樣，定義域?yàn)镽＋的取標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)的

是說變域是R＋的誤差項(xiàng)x（可→∞）＞0與y的主部相比實(shí)在是總距0太近了以致于可視其為0而忽略即說R＋各元x相比下全都是可忽略不計(jì)的極小正數(shù)。于是R＋只是正數(shù)全體的滄海一粟（y的首項(xiàng)可是10100x等等）——近似計(jì)算常識(shí)凸顯y的變域K有元y＞＞R＋的一切元x。因“R＋各元x都有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)y與1010x、…”故一直存在用而不知的標(biāo)準(zhǔn)無窮大實(shí)數(shù)x＞R一切數(shù)，以及1/x＜R一切正數(shù)——標(biāo)準(zhǔn)分析與非標(biāo)準(zhǔn)分析等價(jià)的原因。人們?cè)诮朴?jì)算中不自覺地糾正了中學(xué)重大錯(cuò)誤:K=R＋且含全部正數(shù)。關(guān)鍵是有起碼數(shù)學(xué)常識(shí):絕不可將可取一切正數(shù)的x視為0而忽略；且據(jù)h定理5等，R＋≠K。故“R各元x都有對(duì)應(yīng)1010x、10100x、…∈R”是極重大錯(cuò)誤。

若y的定義域改為是N（各元n都有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)y與1010n、…）則上述近似常識(shí)凸顯K有自然數(shù)元y＞＞N一切元n，N只是非0標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)全體Q的滄海一粟，中學(xué)的“N=Q”是以井代天錯(cuò)誤。將根本不是N的一部分的K～N誤為N的一部分使人“推翻”h定理2。

5 結(jié)束語

不識(shí)上述重大真相使數(shù)學(xué)一直被無窮現(xiàn)象中的假象與病態(tài)的集論迷惑而無法化解數(shù)學(xué)危機(jī)。詳論見[1][2][3]。這表明數(shù)學(xué)家們?cè)诖蚧A(chǔ)的中學(xué)階段就受到了影響自己一生的重大誤導(dǎo)教育而又一直被蒙在鼓里，從而受害終生。例如使“天才數(shù)學(xué)家”康脫推出極荒唐的百年病態(tài)謬論“部分可=全部”。百年集論百年來浪費(fèi)了億萬學(xué)生大量的寶貴時(shí)間（“時(shí)間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學(xué)費(fèi)。更要命的是它的重大誤導(dǎo)作用:誤導(dǎo)人推出更重大錯(cuò)誤。育人課本的重大錯(cuò)誤所造成的重大經(jīng)濟(jì)損失一點(diǎn)也不亞于經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的重大錯(cuò)誤所造成的經(jīng)濟(jì)損失，是否及時(shí)糾正，與每一個(gè)人的切身利益息息相關(guān)。

［1］黃小寧.真正科學(xué)常識(shí)否定5千年“常識(shí)”:沒最大自然數(shù)——證實(shí)龐加萊百年前偉大科學(xué)預(yù)見推翻百年集論[J].科技信息，2011（27）.

［2］黃小寧.發(fā)現(xiàn)最小正數(shù)推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學(xué)重大錯(cuò)誤:將無窮多各根本不同的點(diǎn)集誤為同一集[J].中國(guó)科技信息，2010（18）.

［3］黃小寧.“時(shí)空量子化”的關(guān)鍵:糾正數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤——證明實(shí)數(shù)軸有最小、大正數(shù)點(diǎn)推翻百年集論[J].科技信息，2011（17）.