吳應宇 余德建

(東南大學經(jīng)濟管理學院，南京211189)

區(qū)間直覺模糊集是直覺模糊集的一種拓展形式，于1989年由 Atanassov和 Gargov［1］首次提出.由于區(qū)間直覺模糊集的隸屬度、非隸屬度和猶豫度用區(qū)間數(shù)表示，因此，與直覺模糊集相比，它能夠更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質［2］.近年來，人們對區(qū)間直覺模糊集的研究取得了豐富的成果［3-5］.區(qū)間直覺模糊信息集成是區(qū)間直覺模糊集理論的重要組成部分.基于直覺模糊信息集成的思想［6-7］，區(qū)間直覺模糊信息集成研究也取得了一些成果.文獻［8］提出了區(qū)間直覺模糊信息的加權算術(IIFWA)和加權幾何集成算子(IIFWG)，并將其應用在多屬性決策中.基于IIFWA算子，文獻［9］研究了對方案有偏好的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法.文獻［10］提出了區(qū)間直覺模糊有序加權集成算子(IIFOWA)和混合集成算子(IIFHA).基于幾何算子，文獻［11］研究了區(qū)間直覺模糊有序加權幾何算子(IIFOWG)和區(qū)間直覺模糊幾何混合算子(IIFHG).在指標之間有關聯(lián)的情況下，文獻［12］把Choquet積分引入到區(qū)間直覺模糊信息集成中，提出了區(qū)間直覺模糊Choquet積分算子.文獻［13］基于Sugeno積分，研究了區(qū)間直覺模糊信息的集成問題.

以上關于區(qū)間直覺模糊信息集成的研究基礎是代數(shù)積與代數(shù)和，它們是一組T模和S模.然而任何T模與S模規(guī)則都可以運用到直覺模糊集的運算中［14］.文獻［14-15］指出 Einstein 積與 Einstein 和也是一組T模和S模.本文受此啟發(fā)，提出了新的區(qū)間直覺模糊信息集成算子，詳細討論其性質并與文獻［8］中的區(qū)間直覺模糊信息集成算子做了對比分析.最后將提出的集成算子應用于決策領域，并提供一種基于區(qū)間直覺模糊信息的決策途徑.

1 基于Einstein的區(qū)間直覺模糊運算法則

文獻［1］在直覺模糊集的基礎上首次提出區(qū)間直覺模糊集的概念.

定義1設X是給定的論域，則X上的區(qū)間直覺模糊集A定義為

式中，μA(x):→int(0，1)，vA(x):→int(0，1)分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，且滿足

式中，int(0，1)為［0，1］區(qū)間所有閉子區(qū)間的集合.

文獻［8］定義了區(qū)間直覺模糊數(shù)的概念，并且給出了區(qū)間直覺模糊數(shù)的一般表達形式(［a，b］，［c，d］)，滿足［a，b］?［0，1］，［c，d］?［0，1］，b+d≤1.并且定義了為區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)d)為區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確度函數(shù).進一步給出了2個區(qū)間直覺模糊數(shù)和的比較規(guī)則:

對于 2 個直覺模糊集 A=(μA，vA)和 B=(μB，vB).文獻［14］定義了集合A和集合B的廣義的交為 A∩B={x，T(μA，μB)，S(vA，vB)}，集合 A 和集合 B 廣義的并為 A∪B={x，S(μA，μB)，T(vA，vB)}.其中 S(a，b)+T(1 － a，1 － b)≤1，?(a，b)∈［0，1］，函數(shù)T為T模，函數(shù)S亦稱為S模.因此任何T模與S模規(guī)則都可以運用到直覺模糊集的運算中.文獻［14-15］指出Einstein積與Einstein和也是一組T模與S模，其中

Einstein積為

基于Einstein運算規(guī)則，本文定義新的區(qū)間直覺模糊數(shù)運算規(guī)則.

定義2設和為任意2 個區(qū)間直覺模糊數(shù)，則

定理1設和(［a2，b2］，［c2，d2］)為任意 2 個區(qū)間直覺模糊數(shù)，λ＞0.則以下等式成立:

2 區(qū)間直覺模糊信息的集成算子

基于上述運算規(guī)則，給出區(qū)間直覺模糊數(shù)的Einstein加權幾何算子.

定義3設為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，且設FIIFEWG:Ψn→Ψ，若

則稱FIIFEWG為區(qū)間直覺模糊Einstein加權幾何算子，其中 ω ={ω1，ω2，…，ωn}為的權重向量特別地，若則FIIFEWG算子退化為區(qū)間直覺模糊Einstein幾何算子，即

定理2設為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，則由FIIFEWG算子得到的集成值仍為區(qū)間直覺模糊數(shù)，且

IIFEWG算子具有如下性質.

定理3設為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，且為的權重向量，則有

1)冪等性若即1，2，…，n，則

2)有界限 若

則

3)單調性設(j=1，2，…，n)為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，若對任意的 j，有，則

基于算術平均，下面給出區(qū)間直覺模糊數(shù)的Einstein加權算術平均算子的定義.

定義4設為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，且設FIIFEWA:Ψn→Ψ，若

則稱FIIFEWA為區(qū)間直覺模糊Einstein加權算術算子，其中 ω ={ω1，ω2，…，ωn}為的權重向量

定理4設為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，則由IIFEWA算子得到的集成值仍為區(qū)間直覺模糊數(shù)，且

其中，ω ={ω1，ω2，…，ωn}為的權重向量

類似于 FIIFEWG算子，F(xiàn)IIFEWA算子也具有冪等性、單調性和有界性.

3 IIFEWG算子與IIFWG算子的比較

基于布爾代數(shù)運算規(guī)則，文獻［8］提出了區(qū)間直覺模糊加權幾何算子.一組區(qū)間直覺模糊數(shù)為的權重向量，ωj∈［0，1］(j=1，2，…，n)，，經(jīng)IIFWG算子集成后為

定理5設為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，ω ={ω1，ω2，…，ωn}為的權重向量，則

成立［16］，則

同理可得

由于

所以可得

記

根據(jù)文獻［12］中關于區(qū)間直覺模糊數(shù)大小的比較方法以及式(18)～(21)，可知 a≤e，b≤f，c≥g且d≥h.進而有

則有

綜合式(23)和(25)可以得到式(16)成立，即定理5成立.

4 基于IIFEWG算子的區(qū)間直覺模糊決策方法

設某一多屬性決策問題，X={X1，X2，…，Xm}為候選方案集，C={C1，C2，…，Cn}為決策屬性集.ω ={ω1，ω2，…，ωn}為屬性權重向量，ωj∈［0，1］(j=.候選方案Xi在屬性Cj下的特征信息用區(qū)間直覺模糊數(shù)α～ij=(［aij，bij］，［cij，dij］)表示，這樣就可以得到?jīng)Q策矩陣A，如表1所示.

表1 區(qū)間直覺模糊決策矩陣A

基于IIFEWG算子，下面給出一種區(qū)間直覺模糊信息的決策方法，具體步驟如下:

①對區(qū)間直覺模糊決策矩陣進行標準化［17］.如果所有的屬性都是效益型的，則不需要標準化;否則需要把決策矩陣標準化為 R=其中

②利用IIFEWG算子或者IIFEWA算子對決策矩陣R中的第i行的所有元素進行集結，得到候選方案Xi(i=1，2，…，m)的綜合區(qū)間直覺模糊值

③根據(jù)區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)和精確度函數(shù)的定義計算直覺模糊值的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

④根據(jù)區(qū)間直覺模糊數(shù)的比較規(guī)則對各方案進行排序，從而得到最佳方案.

5 研究型高校可持續(xù)發(fā)展能力評價

研究型高校作為高等教育事業(yè)的重要組成部分，在培養(yǎng)人才、促進經(jīng)濟發(fā)展等方面發(fā)揮著重要作用.經(jīng)過多年的積累和發(fā)展，研究型高校雖然在規(guī)模、質量等方面取得了令人矚目的成就，但就整體而言，仍處于緩慢發(fā)展的階段，其國際競爭力更是讓人擔憂.因此，如何對研究型高校目前的可持續(xù)發(fā)展能力進行評價是一個亟待解決的現(xiàn)實問題.從高校的科研能力C1、人才培養(yǎng) C2、財務發(fā)展?jié)摿3、財務當前水平 C4等4個屬性來評價5所研究型高校Xi(i=1，2，…，5)的可持續(xù)發(fā)展能力.屬性的權重向量為 ω ={0.1，0.2，0.4，0.3}.每所高校對屬性的滿足程度用區(qū)間直覺模糊數(shù)表示，所得的區(qū)間直覺模糊數(shù)決策矩陣為R，如表2所示.IIFEWG算子對5所高校的可持續(xù)發(fā)展能力進行評價的具體步驟如下:

表2 區(qū)間直覺模糊決策矩陣R

1)由于科研能力C1、人才培養(yǎng) C2、財務發(fā)展?jié)摿3、財務當前水平 C4均為效益型指標，因此不需要標注化.

2)這里利用IIFEWG算子對決策矩陣R中的第i行的所有元素進行集結，得到候選方案Xi(i=1，2，…，5)的綜合區(qū)間直覺模糊值分別為

如果利用文獻［8］中的IIFWG算子對5所高校的可持續(xù)發(fā)展能力進行評價，具體步驟如下:

①與步驟1)相同.

6 結語

區(qū)間直覺模糊集利用區(qū)間數(shù)來表示直覺模糊集中的隸屬度、非隸屬度和猶豫度，從而能更加靈活地表達不確定信息.本文基于Einstein運算規(guī)則，研究了區(qū)間直覺模糊信息的集成問題，提出了區(qū)間直覺模糊Einstein加權幾何算子.研究了其性質并和已有的集成算子進行比較研究，指出了IIFEWG算子與已有集成算子之間的關系，并將其應用多屬性決策中，從而豐富和發(fā)展了區(qū)間直覺模糊集理論.

References)

［1］Atanassov K T，Gargov G.Interval-valued intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31(1):343-349.

［2］Xu Z S.On similarity measures of interval-valued intuitionistic fuzzy sets and their application to pattern recognitions［J］.Journal of Southeast University:Natural Science Edition，2007，23(1):139-143.

［3］徐澤水.直覺模糊集成理論及應用［M］.北京:科學出版社，2008.

［4］Xu Z S，Cai X Q.Incomplete interval-valued intuitionistic fuzzy preference relations［J］.International Journal of General Systems，2009，38(8):871-886.

［5］Xu Z S.Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators［J］.Knowledge-Based Systems，2011，24(6):749-760.

［6］Xu Z S.Intuitionistic fuzzy aggregation operators［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15(6):1179-1187.

［7］Xu Z S，Yager R R.Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets［J］.International Journal of General Systems，2006，35(4):417-433.

［8］徐澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應用［J］.控制與決策，2007，22(2):215-219.Xu Zeshui.Methods for aggregating interval-valued intuitionistic fuzzy information and their application to decision making ［J］.Control and Decision，2007，22(2):215-219.(in Chinese)

［9］衛(wèi)貴武.對方案有偏好的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，2009，31(3):116-120.Wei Guiwu.Method for interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision making with preference information on alternatives［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31(3):116-120.(in Chinese)

［10］徐澤水，陳劍.一種基于區(qū)間直覺判斷矩陣的群決策方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2007，27(4):126-133.Xu Zeshui，Chen Jian.Approach to group decision making based on interval-valued intuitionistic judgment matrices［J］.Systems Engineering-Theory and Practice，2007，27(4):126-133.(in Chinese)

［11］Xu Z S.A survey of preference relations［J］.International Journal of General Systems，2007，36(2):179-203.

［12］Xu Z S.Choquet integrals of weighted intuitionistic fuzzy information［J］.Information Sciences，2010，180(5):726-736.

［13］武建章，張強，桑圣舉.基于Sugeno積分的區(qū)間直覺模糊多屬性決策［J］.北京理工大學學報，2010，30(5):608-612，621.Wu Jianzhang，Zhang Qiang，Sang Sengju.Sugeno integrals for multi-criteria decision making with interval intuitionistic fuzzy information［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2010，30(5):608-612，621.(in Chinese)

［14］Deschrijver G，Cornelis，Kerre E E.On the representation of intuitionistic fuzzy t-norms and t-conorms［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2004，12(1):45-61.

［15］Wang W Z，Liu X W.Intuitionistic fuzzy geometric aggregation operators based on einstein operations［J］.International Journal of Intelligent Systems，2011，26(11):1049-1075.

［16］Xu Z S.On consistency of the weighted geometric mean complex judgment matrix in AHP［J］.European Journal of Operational Research，2000，126(3):683-687.

［17］Xu Z S，Hu H.Projection models for intuitionistic fuzzy multiple attribute decision making［J］.International Journal of Information Technology and Decision Making，2010，9(2):267-280.