李 麗，項(xiàng)明寅

(黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山 245041)

1 引言

Fourier級(jí)數(shù)是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常見(jiàn)的一類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。Fourier（1768-1830）是法國(guó)的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他在1807年向巴黎科學(xué)院呈交了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文，宣布任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。Fourier級(jí)數(shù) （即三角級(jí)數(shù)）、Fourier分析等理論均由此創(chuàng)始。

Fourier級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)物理和工程中都有重要應(yīng)用，例如偏微分方程邊值問(wèn)題的基本求解方法就是Fourier級(jí)數(shù)法；在通訊和電子技術(shù)中Fourier級(jí)數(shù)也有很大的作用。因而，這部分內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是重點(diǎn)。但是太過(guò)抽象和理論化，學(xué)生往往難以理解，所以有不少學(xué)者針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究。李文新[1]用Mathematica軟件編寫(xiě)程序，通過(guò)靜態(tài)與動(dòng)態(tài)圖形形象解釋了用三角級(jí)數(shù)逼近周期函數(shù)時(shí)的過(guò)程；鄒國(guó)源[2]從最佳近似的角度討論函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)；成波[3]總結(jié)了函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式的三種教學(xué)類型；胡小榮、李建平[4]對(duì)Taylor級(jí)數(shù)和Fourier級(jí)數(shù)進(jìn)行了比較和總結(jié)。

本文從物理背景這個(gè)角度揭示把一個(gè)周期函數(shù)表示成Fourier級(jí)數(shù)的意義，并且從兩個(gè)方面說(shuō)明物理背景在Fourier級(jí)數(shù)教學(xué)中的重要性：第一，實(shí)例導(dǎo)入是引入概念的一項(xiàng)重要策略；第二，數(shù)學(xué)和物理的密切關(guān)系。

2 Fourier級(jí)數(shù)的物理背景

Fourier級(jí)數(shù)是從振動(dòng)和熱傳導(dǎo)這類物理問(wèn)題引入的，這里以振動(dòng)為例。在振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單、最基本的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

在物理學(xué)中，任意一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)所合成，確切地說(shuō)，它可表示為頻率為v與頻率為v倍數(shù)的簡(jiǎn)單振動(dòng)之和。物理中將復(fù)雜的周期振動(dòng)分解為一系列簡(jiǎn)單振動(dòng)之和的方法稱為頻譜分析。[5]

3 在教學(xué)中的重要性

3.1 實(shí)例導(dǎo)入是引入概念的一項(xiàng)重要策略

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)最基本的知識(shí)，是理解和掌握數(shù)學(xué)理論及方法的基礎(chǔ)。但是，如果把概念的教學(xué)過(guò)于簡(jiǎn)單化，只是純粹地解釋其含義，然后硬灌輸給學(xué)生，就無(wú)法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收不到好的教學(xué)效果，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力了。那么，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，如何采用恰當(dāng)?shù)牟呗詫?dǎo)入概念呢？

魏國(guó)強(qiáng)指出，實(shí)例導(dǎo)入是一個(gè)重要方法。[6]具體來(lái)談，對(duì)于我們將要介紹的新概念，選取合適的例子進(jìn)行分析和抽象，最后概括為一般的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念。國(guó)內(nèi)外大多數(shù)學(xué)教材都采用這一策略，在教學(xué)中也比較普遍。

對(duì)于Fourier級(jí)數(shù)，其抽象性和復(fù)雜性讓很多學(xué)生望而生畏不知所云。不少高等數(shù)學(xué)教材的這部分內(nèi)容并未提及物理背景。在講授Fourier級(jí)數(shù)這一概念之前，如果先介紹其物理背景，分析本質(zhì)，再?gòu)闹谐橄蟪龈拍睿拖驅(qū)W生展示了這一知識(shí)的形成過(guò)程，不僅有助于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣，而且有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。淡化形式，注重本質(zhì)，才能夠更深刻地理解問(wèn)題。

3.2 數(shù)學(xué)和物理的密切關(guān)系決定了物理背景在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

一方面，數(shù)學(xué)是研究物理的一個(gè)重要工具，許多物理規(guī)律都要用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)進(jìn)行研究，并且物理學(xué)的每一次飛躍都伴隨有新的數(shù)學(xué)知識(shí)的介入。另一方面，物理科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想起到了源泉作用。正如拉克斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系尤其牢固，其原因在于，數(shù)學(xué)的課題畢竟是一些問(wèn)題，而許多數(shù)學(xué)問(wèn)題是從物理中產(chǎn)生出來(lái)的，并且不止于此，許多數(shù)學(xué)理論正是為處理深刻的物理問(wèn)題而發(fā)展出來(lái)的?！盵7]因此，在Fourier級(jí)數(shù)這一部分內(nèi)容的教學(xué)中物理背景是非常重要的，它有助于學(xué)生深刻理解這一抽象理論的源泉，從而提高學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)習(xí)動(dòng)力。

[1]李文新.函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)的幾何解釋[J].江西教育學(xué)院學(xué)報(bào)(綜合),2005,26(3)：5-6.

[2]鄒國(guó)源.從最佳近似來(lái)理解Fourie級(jí)數(shù)[J].高等數(shù)學(xué)研究,1994,2：17.

[3]成波.函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式的三種教學(xué)類型[J].安康師專學(xué)報(bào),2005,17(2)：97-99.

[4]胡小榮,李建平.關(guān)于Taylor級(jí)數(shù)和Fourier級(jí)數(shù)的幾點(diǎn)注記[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2008,28(1)：49-51.

[5]孫凡,習(xí)崗.普通物理學(xué)[M].北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社,2002.

[6]魏國(guó)強(qiáng).大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)入概念和結(jié)論的策略[J].無(wú)錫教育學(xué)院學(xué)報(bào),2006,26(1,2)：64-66.

[7]厚宇德,馬國(guó)芳.物理學(xué)與數(shù)學(xué)[J].現(xiàn)代物理知識(shí),1996,(1)：278-279.