王志娜，肖 旻，王 琳

（1.重慶郵電大學(xué)重慶市移動(dòng)通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065;2.廈門(mén)理工學(xué)院電子工程系，福建廈門(mén) 361005;3.廈門(mén)大學(xué)通信工程系，福建廈門(mén) 361005）

0 引言

通信系統(tǒng)業(yè)務(wù)的多樣性、信道的時(shí)變性、物理層技術(shù)的靈活性需要信道編碼碼率能夠自適應(yīng)地根據(jù)信道環(huán)境做出相應(yīng)的調(diào)整。采用碼率自適應(yīng)的編碼技術(shù)，可以在保證系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量的前提下，根據(jù)信道的狀況及時(shí)調(diào)整碼率，從而提高通信系統(tǒng)的頻譜利用率。

低密度奇偶校驗(yàn)碼［1］（low density parity check code，LDPC）具有良好的距離特性、小的誤碼率和較低的譯碼復(fù)雜度，被認(rèn)為是迄今為止糾錯(cuò)性能最好的碼。2003年，美國(guó)國(guó)家航空航天局的空氣動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室（JPL）首次提出了原模圖 LDPC碼［2］（protograph LDPC codes），彌補(bǔ)了傳統(tǒng)LDPC碼編碼復(fù)雜度較高的不足。作為一種原模圖LDPC碼，AR4JA碼［3］（accumulate repeat－4 jagged－accumulate code）最大的優(yōu)勢(shì)就是錯(cuò)誤地板極低。該碼的性能優(yōu)于絕大多數(shù)的一般LDPC碼和其他原模圖LDPC碼，2006年由太空數(shù)據(jù)系統(tǒng)咨詢委員會(huì)（consultative committee for space date systems，CCSDS）推薦給 NASA 作為深空通信的標(biāo)準(zhǔn)碼型。鑒于原模圖LDPC碼，尤其是AR4JA碼的各種優(yōu)勢(shì)，對(duì)原模圖LDPC碼率自適應(yīng)的研究有著很廣闊的前景。

目前，實(shí)現(xiàn)碼率自適應(yīng)的方法主要有刪余和擴(kuò)展兩種。刪余可以利用同一對(duì)編譯碼器對(duì)不同碼率的碼進(jìn)行編譯碼，是最常用的一種碼率自適應(yīng)方法。2006年，J.Ha等［4］借鑒“恢復(fù)”的概念，定義了刪余變量節(jié)點(diǎn)（punctured variable node，PVN）的“恢復(fù)級(jí)別”。PVN的恢復(fù)級(jí)別是影響刪余碼型性能的重要因素，之后，對(duì)刪余算法的研究實(shí)質(zhì)上都是基于PVN 的恢復(fù)級(jí)別進(jìn)行的［5－8］。然而，J.Li等［9］表明，隨著刪余碼率的增加，碼的性能離香農(nóng)限的距離增大，僅僅依靠刪余并不能在較大碼率范圍內(nèi)得到好性能的碼。為了得到更大范圍變化的碼率，通常將刪余和擴(kuò)展結(jié)合起來(lái)構(gòu)造碼率自適應(yīng)碼組。

現(xiàn)階段，對(duì)一般LDPC碼率自適應(yīng)的研究已經(jīng)取得了很多成果。然而，對(duì)原模圖LDPC碼率自適應(yīng)的研究卻較少。目前，只有 El－khamy等［10］以一個(gè)低碼率的原模圖LDPC碼（accumulate repeat check accumulate code，ARCA 碼）為基礎(chǔ)，利用刪余的方法實(shí)現(xiàn)碼率自適應(yīng)，得到的碼率自適應(yīng)ARCA碼有較高的錯(cuò)誤地板。與之不同的是，本文將擁有極低錯(cuò)誤地板的AR4JA碼作為母碼，通過(guò)刪余和擴(kuò)展相結(jié)合的方法來(lái)構(gòu)造碼率自適應(yīng)AR4JA碼（ratecompatible AR4JA，RC－AR4JA）。

1 原模圖LDPC碼

1.1 原模圖LDPC碼基本原理

原模圖是一種包含相對(duì)較少節(jié)點(diǎn)的Tanner圖。一個(gè)原模圖Gp=（V，C，E）包含變量節(jié)點(diǎn)集V，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)集C和邊集E。每一條邊e=（V，C）∈E連接一個(gè)變量節(jié)點(diǎn)v∈V和一個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c∈C。原模圖中允許有平行邊的存在，因此e→（vi，cj）∈E并不是一一映射關(guān)系。與原模圖對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)矩陣稱為基礎(chǔ)矩陣B，Bij的值代表第i個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)變量節(jié)點(diǎn)之間連接邊的條數(shù)。與一般LDPC碼校驗(yàn)矩陣不同的是，Bij的值并不僅限于0和1。對(duì)原模圖進(jìn)行T次復(fù)制，然后把T條相同類(lèi)型的變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間的邊置換，可以擴(kuò)展成不同大小的圖。我們稱這種圖為導(dǎo)出圖G，對(duì)應(yīng)的LDPC碼稱為原模圖LDPC碼。

作為一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們考慮如圖1所示的原模圖，其中圓圈代表變量節(jié)點(diǎn)，方框代表校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。圖1a的原模圖Gp有個(gè)變量節(jié)點(diǎn)，個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，條邊。圖1b是將圖1a的原模圖Gp復(fù)制T=2次得到的大圖，這2個(gè)相同的子圖之間是相互獨(dú)立，互不相連的。將圖1b中相同類(lèi)型節(jié)點(diǎn)之間的邊進(jìn)行置換，便得到圖1c所示的導(dǎo)出圖G，此時(shí)這2個(gè)子圖就連接在一起了。

圖1 原模圖到導(dǎo)出圖的過(guò)程Fig.1 Process from protograph to derived graph

原模圖中，允許變量節(jié)點(diǎn)集V包含刪余變量節(jié)點(diǎn)。假設(shè)有Vu個(gè)刪余變量節(jié)點(diǎn)，則未刪余變量節(jié)點(diǎn)個(gè)。那么碼率的計(jì)算將變?yōu)镽=

1.2 AR4JA碼

AR4JA碼是一種特殊的累加重復(fù)累加碼［11］（accumulate repeataccumulate codes，ARA）。碼率為1/2的AR4JA的編碼框圖，原模圖如圖2所示，其中I表示交織器，D表示累加器，空心圓圈代表刪余變量節(jié)點(diǎn)，實(shí)心圓圈代表未刪余變量節(jié)點(diǎn)，方框代表校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。該碼的原模圖有個(gè)變量節(jié)點(diǎn)，個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，其中有1個(gè)變量節(jié)點(diǎn)被刪余了。（1）式為該碼的基礎(chǔ)矩陣。AR4JA碼是一種系統(tǒng)碼，即:變量節(jié)點(diǎn)3和4代表信息位，變量節(jié)點(diǎn)0，1和2代表校驗(yàn)位。碼率為1/2的AR4JA的迭代譯碼門(mén)限為 0.628 dB，典型最小距離比為 δmin=0.015［3］。

圖2 碼率為1/2的AR4JA碼Fig.2 AR4JA code of rate 1/2

AR4JA碼具有傳統(tǒng)LDPC碼的優(yōu)點(diǎn)，作為一種ARA碼，還可以通過(guò)簡(jiǎn)單的重復(fù)器和累加器進(jìn)行編碼，編碼簡(jiǎn)單快速更易于硬件實(shí)現(xiàn)。此外，它的最小距離以很高的概率與碼長(zhǎng)成線性關(guān)系［12－13］，克服了一般原模圖LDPC碼錯(cuò)誤地板欠佳的不足。

2 RC-AR4JA碼的設(shè)計(jì)

對(duì)于RC－AR4JA碼的設(shè)計(jì)，我們選取碼率為1/2的AR4JA碼作為母碼，并分兩部份進(jìn)行。首先，提出“逐節(jié)點(diǎn)刪余”算法實(shí)現(xiàn)碼率由0.5～0.8的自適應(yīng)。其次，利用矩陣擴(kuò)展的方法獲得碼率從0.5～0.25的RC－AR4JA碼。結(jié)合刪余和擴(kuò)展的方法，能夠?qū)崿F(xiàn)碼率在0.25～0.8變化的 RC－AR4JA 碼。

2.1 “逐節(jié)點(diǎn)刪余”算法

刪余的基本思想:首先選取一個(gè)較低碼率及性能優(yōu)良的碼作為母碼，通過(guò)刪余母碼的冗余變量節(jié)點(diǎn)得到一系列高碼率的碼。

2.1.1 基本準(zhǔn)則

在進(jìn)行刪余時(shí)，我們提出以下準(zhǔn)則，依據(jù)這些準(zhǔn)則依次刪余滿足條件的變量節(jié)點(diǎn)，直到獲得想要的高碼率。

準(zhǔn)則1 最大化最低恢復(fù)級(jí)別PVN個(gè)數(shù)。

準(zhǔn)則2 最小化刪余變量節(jié)點(diǎn)通過(guò)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的所有PVN數(shù)目。

準(zhǔn)則3 最小化每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)上連接PVN個(gè)數(shù)。

2.1.2 算法主要步驟

“逐節(jié)點(diǎn)刪余”算法的具體步驟表述如下（參數(shù)見(jiàn)表1）。

表1 “逐節(jié)點(diǎn)刪余”算法的參數(shù)Tab.1 Parameters of the“puncturing node by node”algorithm

步驟1 通過(guò)（2）式計(jì)算要?jiǎng)h余的節(jié)點(diǎn)數(shù)目

步驟2 找到集合U，并對(duì)于每一個(gè)c∈N（v），其中v∈U，計(jì)算出被刪余 。

步驟3 對(duì)于每一個(gè)v∈U，通過(guò)（3）式計(jì)算出G（v），H（v）和M（v）。

步驟4 找到集合T={vr:vr∈U＆G（vr）=minv∈U G（v）}，如果T中只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，刪余該節(jié)點(diǎn)，并跳到步驟5。

步驟4.1 找到集合W={vr:vr∈U＆H（vr）=minv∈T H（v）}，如果W中只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，刪余該節(jié)點(diǎn)，并跳到步驟5。

步驟4.2 找到集合D={vr:vr∈U＆M（vr）=minv∈W M（v）}，如果D中只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，刪余該節(jié)點(diǎn)。如果D中有多個(gè)節(jié)點(diǎn)，隨機(jī)選取一個(gè)進(jìn)行刪余。

步驟5 判斷刪余的變量節(jié)點(diǎn)數(shù)目是否等于Npun，若是，則結(jié)束;否則，跳到步驟2。

2.2 矩陣擴(kuò)展

擴(kuò)展是選取一個(gè)較高碼率及性能優(yōu)秀的碼作為母碼，通過(guò)增加額外的冗余比特來(lái)降低碼率。擴(kuò)展有兩種方法:矩陣擴(kuò)展和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)分裂。矩陣擴(kuò)展是最早提出的一種擴(kuò)展方法［9］，如圖3所示。首先選取一個(gè)較高碼率母碼的校驗(yàn)矩陣，為N0列M0行。當(dāng)碼率需要降低的時(shí)候，依次增加Mi行和Mi列，從而得到一系列碼率為Ri＜R0的碼，其中Ri=為了保證母碼的特性，擴(kuò)展后的矩陣右上角全為0，同時(shí)左下角的“稀疏矩陣”也需要保證與原矩陣之間的非相關(guān)性。對(duì)于擴(kuò)展矩陣中的Bi，不同的碼具有不同的構(gòu)造方式。

圖3 矩陣擴(kuò)展Fig.3 Matrix expansion

對(duì)于AR4JA碼，采用如圖4所示的擴(kuò)展方法，左上角3T×5T的矩陣為母碼的校驗(yàn)矩陣。在左下角的“稀疏矩陣”設(shè)計(jì)時(shí)，本文保證新增校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度為4，并且使得新增的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)只與母碼中2號(hào)和3號(hào)變量節(jié)點(diǎn)相連。右上角的0代表全零矩陣，右下角的1代表單位矩陣，這樣便可以得到碼率為R=T/（2T+M）的AR4JA碼。

圖4 AR4JA的矩陣擴(kuò)展Fig.4 Matrix expansion of AR4JA code

新增校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度為4，使得擴(kuò)展后的矩陣校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度更加集中，有利于碼的性能［14］。為了進(jìn)一步提高性能，采用改進(jìn)的PEG算法對(duì)新增校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)與變量節(jié)點(diǎn)的連接進(jìn)行優(yōu)化，避免了Tanner中短環(huán)的出現(xiàn)。

3 仿真結(jié)果及分析

我們用上述方法構(gòu)造RC－AR4JA碼，并進(jìn)行了仿真。其中，母碼采用擴(kuò)展次數(shù)為512的 AR4JA碼，即信息位長(zhǎng)度為1 024，碼率為1/2，其中在擴(kuò)展時(shí)采用改進(jìn)型的PEG算法［15］來(lái)消除6環(huán)。仿真在AWGN信道下進(jìn)行，采用 BPSK調(diào)制，Log－BP譯碼算法，最大迭代次數(shù)為100。

首先，采用“逐節(jié)點(diǎn)刪余”算法設(shè)計(jì)RC－AR4JA碼，實(shí)現(xiàn)了碼率從0.5～0.8的變化，并與隨機(jī)刪余構(gòu)造的RC－AR4JA碼進(jìn)行了對(duì)比。圖5給出了這兩種RC－AR4JA碼的性能仿真曲線。為了使不同碼率的仿真結(jié)果更加清晰，本文給出了Es/N0與BER的曲線，其中Es/N0=Eb/N0+10lgR。

相對(duì)于隨機(jī)刪余，采用“逐節(jié)點(diǎn)刪余”設(shè)計(jì)的RC－AR4JA碼具有更好的性能，隨著速率的增加優(yōu)勢(shì)進(jìn)一步擴(kuò)大。在BER為10－6數(shù)量級(jí)（無(wú)線數(shù)據(jù)通信業(yè)務(wù)的標(biāo)準(zhǔn) BER），逐節(jié)點(diǎn)刪余設(shè)計(jì)的 RCAR4JA碼在碼率分別為0.6，0.7的情況下，比隨機(jī)刪余獲得的 RC－AR4JA 碼分別有約 0.5 dB，1.0 dB的增益。在碼率為0.8時(shí)，隨機(jī)刪余與逐節(jié)點(diǎn)刪余的差距更大。

圖5 不同刪余算法下的RC－AR4JA碼性能Fig.5 BER performances of RC－AR4JA codes with different algorithms

其次，采用圖4所示矩陣擴(kuò)展的方法，設(shè)計(jì)了碼率從0.5～0.25的 RC－AR4JA 碼。作為對(duì)比，還利用隨機(jī)擴(kuò)展構(gòu)造0.5～0.25碼率變化的AR4JA碼。在隨機(jī)擴(kuò)展時(shí)，保證新增校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度同樣為4，兩者之間的對(duì)比將是公平的。圖6給出這兩種擴(kuò)展方法得到的RC－AR4JA碼的性能仿真曲線。圖6中，選擇表示本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)展方法，隨機(jī)為隨機(jī)擴(kuò)展方法。

圖6 不同擴(kuò)展方法得到的AR4JA碼性能Fig.6 BER performances of RC－AR4JA codes obtained by differentmatrix expansion method.

相同的碼率下，用圖4所示矩陣擴(kuò)展構(gòu)造的RC－AR4JA碼較隨機(jī)擴(kuò)展有更好的性能，隨著碼率的降低，這種優(yōu)勢(shì)更加明顯。在BER為10－6數(shù)量級(jí)，用本文的擴(kuò)展方法構(gòu)造的AR4JA碼在碼率分別為 0.4，0.35，0.3 和 0.25 的情況下，較隨機(jī)擴(kuò)展得到的 AR4JA 碼分別有 0.2 dB，0.5 dB，0.7 dB 和 1 dB的增益。此外，我們?cè)O(shè)計(jì)的 RC－AR4JA碼，在BER為10－6數(shù)量級(jí)并未出現(xiàn)錯(cuò)誤地板。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一類(lèi)擁有極低錯(cuò)誤地板的原模圖LDPC碼—AR4JA碼，提出了“逐節(jié)點(diǎn)刪余”算法，實(shí)現(xiàn)了碼率由0.5～0.8的增加，并利用矩陣擴(kuò)展的方法構(gòu)造了碼率從0.5～0.25變化的AR4JA碼。結(jié)合刪余和擴(kuò)展的方法，實(shí)現(xiàn)碼率從0.25～0.8靈活變化的RC－AR4JA碼。在AWGN信道下的仿真結(jié)果表明，在 BER為10－6數(shù)量級(jí)處，本文設(shè)計(jì)的 RCAR4JA碼在整個(gè)碼率變化范圍內(nèi)并未出現(xiàn)錯(cuò)誤地板，保持了母碼錯(cuò)誤地板低的優(yōu)良特性。

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