陶 勝， 楊志林， 宋 輝

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

隨著全球經(jīng)濟的發(fā)展，企業(yè)之間的競爭越來越激烈，為了追求利益最大化，生產(chǎn)商與銷售商之間就需要協(xié)調(diào)，近年來，人們越來越重視這種協(xié)調(diào)問題，主要討論生產(chǎn)商在制定整個協(xié)調(diào)機制中起主導(dǎo)地位，研究在保證銷售商總利益不受到損失的條件下使其利益最大化，同時，使得整個供應(yīng)鏈的利益都得到提高。然而對于庫存水平影響需求的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題的研究卻不多，文獻［1］最早建立了由1個生產(chǎn)商和1個銷售商或2個相互競爭的銷售商組成的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型，并給出了貨架線性補貼的協(xié)調(diào)策略；文獻［2－3］分析了銷售商進貨決策和貨架決策不同順序的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題；文獻［3］給出了回購加線性補貼的協(xié)調(diào)策略。文獻［1－3］都是從市場營銷的角度考慮供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，沒有考慮銷售商的庫存持有成本和訂貨周期。文獻［4－8］大多沒有考慮變質(zhì)問題，或者從某一方的角度來研究庫存問題，或者不涉及協(xié)調(diào)問題。

本文主要考慮由單個生產(chǎn)商與單個銷售商組成的兩層非一體化供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，在假設(shè)生產(chǎn)商生產(chǎn)的商品具有易變質(zhì)性及生產(chǎn)率無限大且需求率受銷售商當(dāng)前的庫存水平影響的前提下，研究了由單個生產(chǎn)商與單個銷售商組成的供應(yīng)鏈量折扣下的協(xié)調(diào)問題。該供應(yīng)鏈模型主要是討論生產(chǎn)商如何設(shè)計價格折扣策略來吸引銷售商增加訂貨量，問題的分析基于Stackelberg主從博弈，即生產(chǎn)商是決策者，制定其價格折扣計劃，而銷售商是決策的跟隨者，將依據(jù)主導(dǎo)者的決策來確定自己的訂貨量決策。對于生產(chǎn)商做出的不提供量扣折和提供量扣折這2種情形決策，分別給出了生產(chǎn)商的最優(yōu)折扣率、最優(yōu)供貨量和銷售商的最優(yōu)批貨量，從理論上分析了模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，并提供了相應(yīng)的求解方法。

1 模型的記號與假設(shè)

（1）在整個過程中，生產(chǎn)商是主導(dǎo)方，其了解市場信息（包括市場需求以及銷售商的各項成本），在一個周期里銷售商一次補充商品，系統(tǒng)運行在無限周期水平下，且不考慮缺貨情形。

（2）在銷售過程中，需求率依賴于當(dāng)前的庫存水平，即

其中，D≥0；α≥0；I（t）表示t時刻的庫存水平。

（3）商品的變質(zhì)率θ假定為一個常數(shù)，且商品變質(zhì)后無殘值。

（4）T表示一個訂貨周期的長度；Q表示每個訂貨周期的訂貨量；由于生產(chǎn)商是一次性供貨給銷售商的，c表示生產(chǎn)商銷售Q個商品每個商品的平均成本（這里包括變質(zhì)的物品費用、庫存費用、生產(chǎn)成本）；p表示單位商品的市場售價；w表示銷售商的單位商品的進價。

（5）Ar表示銷售商每次訂貨的固定訂貨費用；Am表示生產(chǎn)商每次生產(chǎn)的準(zhǔn)備費用；hr表示銷售商單位時間單位商品的庫存費用。

（6）TPr、TPm分別表示未實施量折扣計劃時銷售商、生產(chǎn)商的平均利潤；TPdr、TPdm分別表示實施量折扣計劃后銷售商、生產(chǎn)商的平均利潤。

（7）L表示銷售商愿意改變其原有的經(jīng)濟批量時可獲得的最少利潤增量的百分比。

2 銷售商與生產(chǎn)商協(xié)調(diào)運作

根據(jù)假設(shè)，銷售商的庫存水平變化的微分方程可表示為：

由于I（T）＝0，得

其中，b＝α＋θ。

由初始值I（0）＝Q，知

由于計算比較復(fù)雜，可以利用Pade逼近求出T的近似值，而Pade逼近較Taylor級數(shù)展開精確，其結(jié)果較接近真實值，由Pade逼近可知：

2.1 雙方聯(lián)合運作的決策

若生產(chǎn)商也有自己的零售部或者雙方通過協(xié)商形成一個聯(lián)合公司，那么這樣的一個聯(lián)合公司在T時間里的平均利潤為：

將（1）式、（3）式、（5）式代入（6）式，可得：

當(dāng)Q∈（0，＋∞）時，有

TPc是關(guān)于變量Q的上凸函數(shù)，因此聯(lián)合運作時存在唯一最優(yōu)訂貨量Q＊c，使得方程為：

2.2 生產(chǎn)商與銷售商各自獨立運作的決策

若雙方各自獨立決策，遵從以生產(chǎn)商為主的Stackelberg博弈，即生產(chǎn)商是核心企業(yè)，處于主導(dǎo)地位，而銷售商處于從屬地位，因此生產(chǎn)商要了解銷售商在哪個價格下能使進貨量達到最多，從而確定其最優(yōu)價格。而銷售商根據(jù)生產(chǎn)商給定的批發(fā)價格w來確定最優(yōu)訂貨量Q＊r，使其利潤最大化。

在一個周期內(nèi)銷售商的平均利潤函數(shù)是：

將（1）式、（3）式、（5）式代入（9）式，可得：

同理，當(dāng)Q∈（0，＋∞）時，有

即TPr也是關(guān)于變量Q的上凸函數(shù)，則當(dāng)?w＞max｛pα－h(huán)r／b，0｝時，銷售商存在唯一的最優(yōu)訂貨量Q＊r，必滿足方程：

而此時生產(chǎn)商的平均利潤函數(shù)為：

將（5）式代入（12）式，可得：

再由（11）式，得

所以w＊為TPm（w）的最優(yōu)值，這樣可相應(yīng)地算出TP＊m、TP＊r。

2.3 聯(lián)合運作與獨立運作的結(jié)果比較

定理1 在聯(lián)合運作下的最優(yōu)訂貨量Q＊c總大于以生產(chǎn)商為主的Stackelberg博弈下的銷售商最優(yōu)訂貨量Q＊r，即Q＊c＞Q＊r，且TPc＞TP＊m＋TP＊r。

2.4 協(xié)調(diào)雙方的量折扣模型

由于生產(chǎn)商和銷售商之間遵循以生產(chǎn)商為主導(dǎo)的Stackelberg博弈，此時生產(chǎn)商給銷售商的價格為w＊，銷售商的訂貨量為Q＊r。若生產(chǎn)商想提高自己的平均利潤同時也提高銷售商的利潤，生產(chǎn)商就得提供價格折扣，吸引銷售商增加訂貨量，假設(shè)生產(chǎn)商給銷售商的價格折扣如下：

其中，r為價格折扣因子（0＜r＜1）；k為銷售商訂貨量是原有訂貨量的倍數(shù)（k＞1），且這2個變量是決策量。

銷售商有2種選擇，即按正常價格或者是接受折扣但需其利潤至少增加L%。下面給出折扣下的雙方平均利潤。銷售商的平均利潤函數(shù)為：

生產(chǎn)商的平均利潤函數(shù)為：

解下列約束條件下的優(yōu)化問題：

而生產(chǎn)商只會滿足銷售商的最低要求，即

將（17）式代入（20）式，得

將（21）式代入（18）式，得

k在（1，＋∞）上存在唯一實根k＊，使得：

k被唯一確定，從而r也被唯一確定。又因為在量折扣條件下生產(chǎn)商的平均利潤也增加，即

因此，當(dāng)L∈（0，L＊）時，必有0＜r＊＜1，即k＊、r＊均為所求。

定理2 在此量折扣（k＊，r＊）下，當(dāng)L∈（0，L＊）時，銷售商的最優(yōu)訂貨量k＊Q＊r＝Q＊c，即此時供應(yīng)鏈實現(xiàn)整體最優(yōu)，生產(chǎn)商和銷售商都提高了平均利潤。

證明 由（8）式和（24）式得k＊Q＊r＝Q＊c，又由在之前的模型中可知，當(dāng)銷售商的最優(yōu)訂貨量達到Q＊c時，整個供應(yīng)鏈實現(xiàn)了整體最優(yōu)。又根據(jù)在量折扣下模型的假設(shè)，當(dāng)L∈（0，L＊）時，生產(chǎn)商和銷售商都提高了平均利潤，證畢。

上述模型說明了生產(chǎn)商可以通過一些策略來提高整個供應(yīng)鏈的利潤，使供應(yīng)鏈實現(xiàn)了完美的協(xié)調(diào)。

3 應(yīng)用實例

為說明上述模型的求解過程及相關(guān)結(jié)論的現(xiàn)實性，現(xiàn)給出一個具體的算例。D（t）＝200＋0.1I（t），即D＝200，p＝15，c＝8，Am＝550，hr＝0.4，Ar＝50，θ＝0.1，α＝0.1。

利用Matlab7.8，可求出Stackelberg主從博弈下銷售商的原始最優(yōu)訂貨量Q＊r＝417.681，制造商提供的正常批發(fā)價格為w＊＝10.880 3。而系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量為Q＊c＝1 483.2，可見供應(yīng)鏈并沒有達到最優(yōu)狀態(tài)，所以作為主導(dǎo)者制造商必須采取合適的策略來協(xié)調(diào)整個供應(yīng)鏈，以獲得更高的利潤。可以計算L＝0.238 8，則可算得最優(yōu)解為K＊＝3.551 0，r＊＝0.876 2。即制造商提供的最優(yōu)量折扣計劃為：如果銷售商的總訂購量小于原始最優(yōu)訂貨量的3.551 0倍，則提供正常批發(fā)價格10.880 3；否則提供折扣。

下面分析銷售價格的變化給供銷雙方所帶來的影響，見表1所列。

表1 價格p對最優(yōu)解的影響

由表1可得以下結(jié)論：

（1）當(dāng)p值增加，只有r＊值是減小的。因為隨著p值增加，w＊增加，為了提高銷售商的訂購的積極性，r＊就要隨之減小，而生產(chǎn)商為了維護自己的利益，K＊值就得增加。

（2）當(dāng)p值增加時，TP＊m、TPd＊m都增加，這是因為Q＊c、Q＊r增加了。由于市場需求依賴庫存水平，市場需求水平也隨之增加，從而平均利潤都會增加，使得生產(chǎn)商和銷售商達到雙贏。

（3）參加量折扣后，生產(chǎn)商與銷售商的利潤都增加，實現(xiàn)了整個供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。

4 結(jié)束語

本文主要考慮由單個生產(chǎn)商與單個銷售商組成的2層非一體化供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，在假設(shè)生產(chǎn)商生產(chǎn)的商品具有易變質(zhì)性及生產(chǎn)率無限大，需求率受銷售商當(dāng)前的庫存水平影響，且銷售商也不允許缺貨的前提下，研究了由單個生產(chǎn)商與單個銷售商組成的供應(yīng)鏈量折扣下協(xié)調(diào)問題。

本模型通過量折扣策略來協(xié)調(diào)制造商和銷售商的運作，分析結(jié)果顯示制造商可以通過設(shè)計量折扣來改善供應(yīng)鏈整體利潤以達到完美協(xié)調(diào)，此外該折扣不僅對制造商有利，而且也可以使銷售商獲得更多的利潤。本模型可進一步拓展多個制造商和多個銷售商、多層供應(yīng)鏈下的情形。

［1］Wang Y，Gerchak Y.Supply chain coordination when demand is shelf－space dependent［J］.Manufacturing ＆Service Operations Management，2001，3（1）：82－87.

［2］Taylor T A.Supply chain coordination under channel rebates with sales effort effects［J］.Management Sciences，2004，50（1）：48－63.

［3］賈 濤，徐 渝，趙六超.零售貨架的線性補貼策略與供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)［J］.中國管理科學(xué)，2006，14（2）：52－57.

［4］閔 杰，周永務(wù).庫存水平影響需求變化的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)［J］.復(fù)旦學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，46（4）：523－533.

［5］王圣東，周永務(wù)，甘犬財.易變質(zhì)性產(chǎn)品生產(chǎn)商和銷售商庫存協(xié)調(diào)模型［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2010，25（2）：251－257.

［6］曹宗宏，周永務(wù).需求與庫存水平相關(guān)的供應(yīng)鏈量折扣協(xié)調(diào)模型［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（2）：133－140.

［7］曹宗宏，周永務(wù).庫存水平影響需求的變質(zhì)性產(chǎn)品的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型［J］.中國管理科學(xué)，2009，17（5）：61－67.

［8］梁培培，周永務(wù).需求受庫存水平影響的兩貨棧供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，32（7）：1010－1015.