楊昊

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓在于對各個知識點(diǎn)的深入理解和運(yùn)用，在雙曲線的學(xué)習(xí)過程中，通過構(gòu)建三角形可以更加直觀地加深對雙曲線性質(zhì)的印象和了解。

關(guān)鍵詞：三角形 雙曲線 三角函數(shù) 斜率 離心率

中圖分類號：G634 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）02-0-01

高中數(shù)學(xué)的奧妙在于將各個模塊的思想相互結(jié)合。例如將幾何與函數(shù)進(jìn)行結(jié)合，通過特定圖形的性質(zhì)輔助可以加深我們對某些函數(shù)性質(zhì)的理解，還可以增加一些解題小技巧。通過日常的學(xué)習(xí)和思考，我整理了三角形和雙曲線幾何性質(zhì)的一些聯(lián)系，具體結(jié)果如下。

已知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時的標(biāo)準(zhǔn)方程式為 - =1，其軸長2a、虛軸長2b和焦距長2c的數(shù)量關(guān)系為a2+b2=c2。這個關(guān)系式讓人立刻聯(lián)想到在直角三角形中兩個直角邊的平方的和等于斜邊長的平方。同時雙曲線的漸近線表達(dá)式為 ，聯(lián)想到在直角三角形中直角邊與另一條直角邊的比值，即 的值（ 角為直角三角形中的一個銳角）；同理雙曲線的離心率[1] 且 ，也可聯(lián)想到在直角三角形中斜邊長與某一條直角邊的比值，即直角三角形中某個銳角的正弦值或余弦值。由此可見利用三角形來分析雙曲線的幾何性質(zhì)是可行的。

一、雙曲線焦點(diǎn)在x軸上

1.構(gòu)建三角形

將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 - =1的圖像作出，如圖1所示，其中點(diǎn)B為實(shí)軸的頂點(diǎn)，在y軸取線段OA使|OA|=b，過點(diǎn)A作平行于x軸的平行線與過B點(diǎn)作平行于y軸的平行線相交于點(diǎn)C。其中點(diǎn)A（0，b）、點(diǎn)B（a，0）、點(diǎn)C（a，b）。顯然△OBC為直角三角形，Rt△OBC即為所構(gòu)建的三角形，滿足a2+b2=c2。已知雙曲線中的實(shí)半軸長的平方與虛半軸長的平方相加等于半焦距長的平方，故構(gòu)建三角形中斜邊長就等于雙曲線的半焦距長。

2.在構(gòu)建三角形中 的值與雙曲線漸近線的關(guān)系

如圖1所示，三角形斜邊OC在直線y= 上，已知y= 為雙曲線的一條漸近線，即構(gòu)建三角形中 的值為一條漸近線的斜率。

應(yīng)用舉例：雙曲線 的漸近線方程為（ ）

A. = B. =

C. = D. =

解析：將雙曲線方程式標(biāo)準(zhǔn)化可得 ， ， ，斜率k= 。

推論：雙曲線漸近線斜率的值也是就構(gòu)建三角形中 的值，當(dāng) 的值為特定值時，例如 =1時，構(gòu)建三角形為等腰直角三角形，此時雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為45°；當(dāng) = 時，構(gòu)建三角形中 =30°，漸近線與x軸的夾角變小，明顯可得到雙曲線的開口相較于 =1時狹窄。

3.在構(gòu)建三角形中 的值與雙曲線離心率的關(guān)系

已知雙曲線的離心率 = ，同樣在構(gòu)建三角形中又有a2+b2=c2，那么整理即可得到 = = = 。由上一條研究可得出 的值與雙曲線的開口程度有關(guān)，故而也可得出離心率e與雙曲線開口程度的關(guān)系，即雙曲線的開口程度隨著離心率e的增加而變得更加開闊。

二、雙曲線焦點(diǎn)在y軸上

上面對焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線進(jìn)行了大致研究，下面我們再來看焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線是否也可以通過構(gòu)建三角形進(jìn)行研究。

1.構(gòu)建三角形

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程式為 - =1，如圖2所示，在x軸上取|OB|=b，過點(diǎn)B作平行于y軸的平行線與過實(shí)軸頂點(diǎn)A作平行于x軸的平行線相交于點(diǎn)C，其中Rt△OAC為所構(gòu)建的三角形。同時已知 和 互余，便可據(jù)此搭建三角形與雙曲線的橋梁。

2.構(gòu)建三角形與雙曲線漸近線和離心率的關(guān)系

由上文的推理可得雙曲線的漸近線斜率為 的值，又可知 = ，故焦點(diǎn)在x軸或y軸的雙曲線漸近線斜率的區(qū)別只在于a與b的確定和位置。

離心率e= ，放入構(gòu)建直角三角形中可得 ，故離心率e= 。發(fā)現(xiàn)離心率與漸近線斜率都可用 角的三角函數(shù)表示，此時就需要對此進(jìn)行代換整理，得出離心率[2] ，斜率 。

在實(shí)際運(yùn)用中就可以使用這一結(jié)論，例如題目中給出雙曲線離心率的數(shù)值，讓求其漸近線的方程時就可以迅速得出答案。在某些題目中僅僅給出雙曲線離心率時也可將其換算進(jìn)而得出漸近線的斜率，可作為隱藏條件使用。

三、共軛雙曲線漸近線斜率和離心率的關(guān)系

當(dāng)雙曲線s： - =1的實(shí)軸（虛軸）是雙曲線 ： - =1的虛軸（實(shí)軸）時，稱其為共軛雙曲線，此時的漸近線斜率和離心率的關(guān)系也可用構(gòu)建三角形進(jìn)行解釋說明。

共軛雙曲線中，雙曲線s與雙曲線 的漸近線相同[3]，即雙曲線s漸近線的斜率k與雙曲線 漸近線的斜率 的值相等。從以上的研究可得出，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸時，其斜率為構(gòu)建三角形中 的值，即 ；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸時，其斜率 = ， ，整理可得 。

經(jīng)過構(gòu)建三角形，可以對共軛雙曲線的性質(zhì)有更加清晰的認(rèn)識。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于將基礎(chǔ)知識牢固掌握后進(jìn)行流暢的運(yùn)用，其中數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法至關(guān)重要。本文僅對雙曲線的部分性質(zhì)進(jìn)行了淺顯的討論，不足之處還有很多，望各位老師和同學(xué)們予以批評指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

[1]陳廣田，王玉貴.關(guān)于橢圓，雙曲線及拋物線離心率的幾何性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通報，1999（6）：27-28.

[2]管廣春.精彩紛呈的雙曲線離心率計算公式[J].數(shù)學(xué)之友，2012（12）期：68-69.

[3]孫衛(wèi)星.有共同漸近線的雙曲線的求法剖析[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2009（3）：213-214.