徐崇斌

(1．溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學(xué)理學(xué)院，廣東廣州 510640)

相應(yīng)于仿射GNW代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)

徐崇斌1,2

(1．溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學(xué)理學(xué)院，廣東廣州 510640)

利用一般頂點(diǎn)代數(shù)構(gòu)造定理，構(gòu)造了相應(yīng)于仿射GNW代數(shù)的頂點(diǎn)代數(shù)，該頂點(diǎn)代數(shù)在中心元作用非零的條件下是一個頂點(diǎn)算子代數(shù)．

仿射GNW代數(shù)；頂點(diǎn)代數(shù)；頂點(diǎn)算子代數(shù)

眾所周知，在數(shù)學(xué)中，頂點(diǎn)算子代數(shù)（VOA）是一種新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，與通常的代數(shù)結(jié)構(gòu)有很大的區(qū)別．這種代數(shù)結(jié)構(gòu)與“共形場論”等相關(guān)物理領(lǐng)域有著廣泛的聯(lián)系，在純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如在“月光猜想”、“魔群表示”以及幾何Langlands對應(yīng)理論中，也被證明是非常有用的．頂點(diǎn)算子代數(shù)的概念最先由英國數(shù)學(xué)家Richard Borcherds在1986年給出，Richard Borcherds也因相關(guān)工作獲得了Fields獎[1-3]．關(guān)于頂點(diǎn)算子代數(shù)的公理化定義有兩個主流版本，它們是彼此等價的，都是對理論物理中的手征代數(shù)的代數(shù)形式化解釋．目前，人們掌握的頂點(diǎn)算子代數(shù)的例子不多，僅有相應(yīng)于格點(diǎn)、Virasoro代數(shù)、無扭仿射李代數(shù)、Heisenberg代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)等少數(shù)幾個，它們都是在上世紀(jì)八十年代末由I. Frenkel、J. Lepowsky和A. Meurman給出的．因此，在頂點(diǎn)算子代數(shù)理論中，新頂點(diǎn)算子代數(shù)的構(gòu)造是一個基本而重要的問題．

Nappi-Witten代數(shù)是物理學(xué)家在研究WZNW模型時引入的一個復(fù)數(shù)域上四維李代數(shù)，因為該代數(shù)擁有一個非退化對稱不變雙線性型，所以可以像無扭仿射李代數(shù)一樣對它進(jìn)行仿射化．關(guān)于仿射Nappi-Witten代數(shù)表示的研究最初始于文獻(xiàn)[4]，系統(tǒng)的研究由Bao等人最近給出[5]．在文獻(xiàn)[5]中，Bao等人還構(gòu)造了相應(yīng)于仿射Nappi-Witten代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)．

本文首先引進(jìn)了一個新的有限維代數(shù)，因為Nappi-Witten代數(shù)是它的特殊情形，所以稱之為推廣的Nappi-Witten代數(shù)（簡記GNW代數(shù)）．同Nappi-Witten代數(shù)類似，在GNW代數(shù)上也存在一個非退化對稱不變雙線性型，因此，我們自然也考慮它的仿射化．本文的主要目的是推廣文獻(xiàn)[5]中構(gòu)造頂點(diǎn)算子代數(shù)的相應(yīng)結(jié)果，構(gòu)造相應(yīng)于仿射GNW代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)．

1 仿射GNW代數(shù)與它的Verma-模

下面首先定義GNW代數(shù)（推廣的Nappi-Witten代數(shù)）并對它進(jìn)行仿射化，然后定義GNW代數(shù)上Verma模．

2 相應(yīng)于仿射GNW代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)

[1] Borcherds R. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monste [J]. Proc Natl Acad Sci USA, 1986, 83: 3068-3071.

[2] Borcherds R. Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras [J]. Invent Math, 1992, 109: 405-444.

[3] Borcherds R, Conway J, Queen L. A monster Lie algebra [J]. Adv Math, 1984, 53: 75-79.

[4] Nappi C, Witten E. Wess-Zumino-Witten model based on a nonsemisimple group [J]. Phys Rev Lett, 1993, 23: 3751-3753.

[5] Bao Y, Jiang C, Pei Y. Representations of affne Nappi-Witten algebras [J]. J Alg, 2011, 342(1): 111-133.

[6] Lepowsky J, Li H. Introduction to vertex operator algebras and their representa-tions [M]. Boston: Birkh?auser, 2003: 49-65.

[7] Frenkel I, Lepowsky J, Meurman A. Vertex operator algebras and the Monster [M]. New York: Academic Press, 1988: 244-246.

[8] Kac V. Vertex algebras for beginners [M]. 2nd ed, Providence: AMS, 1997: 14-15.

[9] Frenkel E, Ben-Zvi D. Vertex algebras and Algebraic Curves [M]. 2nd ed, Providence: AMS, 2004: 20-22.

Vertex Operator Algebra Corresponding to Affine GNW Algebra

XU Chongbin1,2
(1. School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035; 2. School of Sciences, South China University of Technology, Guangzhou, China 510640)

By means of the general vertex algebra structure theorem, the paper constructs the vertex algebra corresponding to affine GNW algebra and concludes that such kind of vertex algebra is a vertex operator algebra under the condition that the action of the central element is nonzero.

Affine GNW Algebra; Vertex Algebra; Vertex Operator Algebra

O152.5

A

1674-3563(2012)06-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.06.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2012-04-19

徐崇斌(1977- )，男，湖北黃梅人，講師，碩士，研究方向：代數(shù)學(xué)