張文娟，俞建寧，安新磊，楊留猛

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州 730070)

帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)混沌研究

張文娟，俞建寧，安新磊，楊留猛

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州 730070)

對一類帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)的復雜動力學行為進行研究．根據(jù)系統(tǒng)運動的拉格朗日方程和牛頓第二定律，建立了系統(tǒng)的動力學方程，借助Poincaré截面和分岔圖研究了系統(tǒng)的混沌行為，通過數(shù)值仿真得到其相圖、Poincaré映射圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，進而證明了該模型是混沌數(shù)學模型；對該系統(tǒng)彈簧振子剛度的增加，可導致該系統(tǒng)產(chǎn)生新的混沌區(qū)域．

自參數(shù)振動系統(tǒng)；混沌；Poincaré映射圖；分岔圖；Lyapunov指數(shù)譜

非線性因素是任何振動系統(tǒng)都存在的，它們來自系統(tǒng)物理的、結構的、耗散的、運動的以及這些非線性的組合等方面．與參數(shù)化的系統(tǒng)不同，自參數(shù)系統(tǒng)涉及至少兩種模式內(nèi)部耦合引起的振動．從數(shù)學的角度來看，激勵來自運動方程[1]中呈現(xiàn)的非線性耦合項．自參數(shù)振動[2]一般由兩部分組成，第一部分是主振動系統(tǒng)，它在外激勵、參變激勵或者是自激勵作用下振動，第二部分為次系統(tǒng)（也稱為被激系統(tǒng)），次系統(tǒng)不直接受到激勵的作用，一般不隨著主系統(tǒng)振動，主系統(tǒng)實際上就充當了次系統(tǒng)的參變激勵．自參數(shù)共振使得次系統(tǒng)吸收主系統(tǒng)的振動，從而抑制主系統(tǒng)的振動．自參數(shù)振動系統(tǒng)因為其豐富的動力學現(xiàn)象以及廣泛的工程背景，受到許多學者的關注．例如，Hatwal等[3]研究了自參數(shù)振動系統(tǒng)受到諧波激勵時產(chǎn)生的周期和混沌等運動；Cuvalci和Ertas[4]對一個以擺為輔助系統(tǒng)的懸臂梁自參數(shù)振動系統(tǒng)進行了研究．本文對一類帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)進行了研究，探討了該系統(tǒng)的復雜動力學行為[5-7]，包括相軌跡圖、Poincaré映射圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等，證實了該混沌系統(tǒng)存在，通過改變該系統(tǒng)彈簧振子剛度，可使系統(tǒng)混沌區(qū)域發(fā)生變化．

1 自參數(shù)振動系統(tǒng)模型

帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動系統(tǒng)如圖1所示，它由兩個主要的子系統(tǒng)構成,分別為：

由于外激勵作用，非線性振子受迫于一線性彈簧．假定彈簧振子為非線性Duffing型振子，即

以垂直方向的位移x和單擺的角度位移φ為廣義坐標，運用拉格朗日第二類方程和牛頓第二定律，建立系統(tǒng)的運動微分方程：

式中，cφ是單擺的粘性阻尼系數(shù)，c是振子的阻尼系數(shù)，l是單擺的長度．

圖1 系統(tǒng)力學模型

為了便于分析，引入下列無量綱量：

于是，系統(tǒng)無量綱化的運動微分方程為：

這里，方程（3）中的自參數(shù)激勵是由耦合項即單擺角度位移φ的二階導數(shù)和一階導數(shù)平方所引起的．

2 系統(tǒng)混沌現(xiàn)象分析

2.1 系統(tǒng)的混沌數(shù)學模型

將上述方程（3）轉化為一階微分方程組的形式，即

圖2 系統(tǒng)的混沌吸引子相圖

2.2 分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

由圖3可知，當激勵頻率參數(shù)θ在0.6到0.62范圍取值時，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，這時的運動僅是由擺動構成的不規(guī)則吸引子；當激勵頻率參數(shù)θ在0.63 – 0.72和0.98 – 1.19時，混沌運動是由單擺的旋轉和擺動共同構成的；當激勵頻率參數(shù)θ位于0.73到0.97之間時，單擺執(zhí)行完全的旋轉．

由Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖可直觀反映出非線性動力學系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動態(tài)特性，當有一個Lyapunov指數(shù)大于0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖4所示．由圖4可知，隨著參數(shù)θ的變化，在區(qū)域0.6 – 0.72和0.98 – 1.19內(nèi)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)從小于0變化到大于0，亦即系統(tǒng)在這兩個區(qū)域是混沌運動狀態(tài)，這與系統(tǒng)的分岔圖（圖3）完全吻合．

圖3 分岔圖

圖4 Lyapunov指數(shù)譜

圖5 系統(tǒng)對于不同γ值的分岔圖

2.3 系統(tǒng)的Poincaré映射圖

Poincaré映射是一種經(jīng)典的分析動力系統(tǒng)的技術，可以通過觀察Poincaré截面上截點的情況來判斷是否發(fā)生混沌．當Poincaré截面上是一些成片的具有分形結構的密集點時，運動是混沌的．通過Poincaré映射圖還可以觀察系統(tǒng)的動力學行為，根據(jù)Poincaré截面上點的情況，可以判斷系統(tǒng)的運動情況．該系統(tǒng)屬于非自治系統(tǒng)，數(shù)值計算中，每隔2π周期取相軌線上的點，可得到系統(tǒng)的Poincaré映射圖，如圖6所示．

圖6 系統(tǒng)的Poincaré映射圖

3 結 語

本文建立了一個帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)振動模型，分析了其復雜動力學特征，包括分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜及Poincaré映射圖等，證實了該混沌系統(tǒng)的存在性．數(shù)值仿真結果表明，增加彈簧振子剛度，可導致該系統(tǒng)產(chǎn)生一種新的混沌區(qū)域，因此采用非線性的彈簧振子剛度似乎是一種提高動力吸收現(xiàn)象的理想方法.

參考文獻

[1] Warminski J, Kecik K. Instabilities in the main parametric resonance area of a mechanical system with a pendulum [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 322(3): 612-628.

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[3] Hatwal H, Mallik A K, Ghosh A. Nonlinear vibration of a harmonically excited autoparametric system [J]. Journal of Sound and Vibration, 1982, 81: 153-164.

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[5] 劉秉政, 彭建華. 非線性動力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 120-150.

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Chaos of the Autoparametric Vibration System with a Viscous Damping Pendulum

ZHANG Wenjuan, YU Jianning, AN Xinlei, YANG Liumeng
(School of Mathematics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

According to Lagrange equation of the dynamic motion and Newton's second law, the paper makes a study on the complex dynamic behavior of a kind of autoparametric vibration system with a viscous damping pendulum and thus establishes the kinetic equation of the system. With the help of the Poincaré sections and the bifurcation diagram, the paper has studied the chaotic behavior of the system, and then obtained its phase diagram, Poincaré map, bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum by numerical simulation, and thus proved that the model is a chaotic mathematical one. And the increase of the spring oscillator stiffness of the system will cause the system to produce a new chaotic region.

Autoparametric Vibration System; Chaos; Poincaré Map; Bifurcation Diagram; Lyapunov Exponent Spectrum

O322

A

1674-3563(2012)06-0019-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2012.06.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2012-03-16

甘肅省自然科學基金(1010RJZA066；1010RJZA067)

張文娟(1987- )，女，甘肅蘭州人，碩士研究生，研究方向：應用數(shù)學