史 會， 陶司興

(1.商丘師范學(xué)院 物理與信息工程系 河南 商丘 476000； 2. 商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 商丘476000)

0 引言

利用李代數(shù)尋找新的Lax可積或Liouville可積系統(tǒng)及它們的可積耦合一直是孤立子理論研究中的一個有意義的重要課題[1-6]. 屠規(guī)彰提出跡恒等式來建立連續(xù)可積系統(tǒng)或離散可積系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu)[1-2]. 接著不少學(xué)者陸續(xù)提出跡恒等式的推廣形式來建立可積系統(tǒng)的Hamilton結(jié)構(gòu). 文獻[3]發(fā)展了跡恒等式并稱其為屠格式. 通過利用屠格式及其推廣形式, 學(xué)者們得到了許多具有物理背景的可積系統(tǒng). 例如，李代數(shù)A1有一組基：

(1)

文獻[7]首次提出了利用超跡恒等式來建立超可積系統(tǒng)的超Hamilton結(jié)構(gòu)，但是沒有給出證明.文獻[8]給出了超跡恒等式系統(tǒng)的證明，并且給出了超跡恒等式中常數(shù)γ的求解公式， 同時，以超AKNS方程族和超Dirac方程族為例進行了應(yīng)用.本文將考慮超耦合Burgers方程族及其超Hamilton 結(jié)構(gòu).

1 超耦合Burgers 程族

考慮李超代數(shù)B(0,1)下面的一組基：

[e1,e2]=2e3；[e1,e3]=2e2；[e2,e3]=-2e1；[e1,e4]=[e2,e5]=[e3,e5]=e4；

[e5,e1]=[e4,e3]=[e2,e4]=e5；[e4,e4]+=-(e2+e3)；

[e5,e5]+=e2-e3;[e4,e5]+=[e5,e4]+=e1,

(2)

在李超代數(shù)B(0,1)的基(2)下, 考慮超等譜問題

φx=Uφ,U=qe1(0)+re2(0)-e2(1)+e3(0)αe4(0)+βe5(0),λt=0.

記

通過求解定態(tài)零曲率方程Vx=[U,V],有

可以得出am+1,bm+1,δm+1和-ρm+1有遞推關(guān)系:

(3)

其中Pn+1滿足Pn+1=LPn.如果在方程族(3)中取α=β=0,它可以約化為耦合Burgers方程族(1), 因此稱方程族(3)為超耦合Burgers方程族.

2 超耦合Burgers 方程族的超Hamilton結(jié)構(gòu)

假設(shè)譜矩陣U定義為

U=U(u,λ)=e0(λ)+u1e1(λ)+…+uqeq(λ),ui∈A，1≤i≤q,

定理1(超跡恒等式)[8]設(shè)U=U(u,λ)∈G是齊秩的, 假定定態(tài)零曲率方程在相差非零常數(shù)倍的意義下有唯一的解V∈G. 那么, 存在一個常數(shù)γ使得

(4)

對于任意一個滿足定態(tài)零曲率方程且具有齊次秩的解，V∈G成立.

定理2[8] 設(shè)V是定態(tài)零曲率方程的一個解且str(adVadV)≠0, 那么超跡恒等式中的常數(shù)可由(5)式給出

(5)

str(P)=P11+P22+P33-P44-P55,

其中,c=(cij)3×3,P=(Pij)5×5,且ab是a和b的矩陣乘積, 則通過計算可得str(adaadb)=3str(ab).

容易計算得:

利用超跡恒等式(4)， 有

比較兩邊λ-n-1的次數(shù)可得

因為str(adVadV)=6u2≠0，利用計算公式(5), 可以得到γ=0.因此，

因此, 超可積耦合Burgers方程族(3)具有超Hamilton結(jié)構(gòu),

特別的, 超可積耦合Burgers方程族(3)具有超雙Hamilton結(jié)構(gòu),

其中第2個超Hamilton算子M為

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