摘 要：對(duì)國債利率期限結(jié)構(gòu)的研究一直是金融學(xué)的重要課題之一。本文結(jié)合中國國債市場(chǎng)的特點(diǎn)，從新的視角提出了Nelson-Siegel擴(kuò)展模型，即通過增加多項(xiàng)式的階數(shù)來擴(kuò)展Nelson-Siegel模型。通過對(duì)上海證券交易所國債數(shù)據(jù)的實(shí)證分析，證明了當(dāng)擴(kuò)展階數(shù)為4時(shí)，該新擴(kuò)展模型對(duì)國債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合效果優(yōu)于常用的Nelson-Siegel模型和Svensson模型。

關(guān)鍵詞：國債利率；利率期限結(jié)構(gòu)；利率曲線擬合

中圖分類號(hào)：F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9031（2012）11-0029-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2012.11.06

一、引言

在國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中，利率是重要的貨幣政策工具之一；在金融市場(chǎng)中，利率是金融資產(chǎn)定價(jià)、金融套利、套期保值、金融風(fēng)險(xiǎn)管理、金融衍生產(chǎn)品設(shè)計(jì)等的重要決定變量之一。因此，研究利率的走勢(shì)和變化趨勢(shì)具有重要的意義和作用。在所有的金融產(chǎn)品中，國債以國家的信譽(yù)為保障，具有發(fā)行量大、流動(dòng)性好、安全邊際高等特點(diǎn)，國債利率在發(fā)達(dá)國家一直是確定市場(chǎng)利率的重要基準(zhǔn)利率，也是各國中央銀行用來調(diào)控宏觀經(jīng)濟(jì)的重要工具之一。

二、文獻(xiàn)和理論綜述

利率期限結(jié)構(gòu)模型是人們?yōu)榱搜芯课磥砝实内厔?shì)所提出的預(yù)測(cè)利率的理論。利率期限結(jié)構(gòu)是指?jìng)牡狡谑找媛逝c到期期限之間的關(guān)系，其中債券的到期收益率一般用零息票債券的連續(xù)復(fù)利即期利率來表示[1]。傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)理論主要側(cè)重定性分析，主要有預(yù)期理論和市場(chǎng)分割理論[2]。由于傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)理論的弊端，即無法精確預(yù)測(cè)和擬合利率未來的走勢(shì)，后來人們更多地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)來研究利率期限結(jié)構(gòu)，提出了樣條函數(shù)模型、Nelson-Siegel參數(shù)擬合模型、CIR模型和仿射模型等[3]。

樣條函數(shù)法首先由Culloch（1971，1975）提出，他用多項(xiàng)式樣條函數(shù)作為貼現(xiàn)函數(shù)來構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)模型。Nelson-Siegel（尼爾森-辛格爾）模型，又稱簡(jiǎn)約模型，是由Nelsen和Siegel（1987）提出，后Svensson（1994）進(jìn)行了擴(kuò)展，該模型是通過參數(shù)化遠(yuǎn)期利率函數(shù)的方法進(jìn)行利率期限結(jié)構(gòu)擬合的。CIR模型和仿射模型屬于動(dòng)態(tài)模型，其采用隨機(jī)微分方程來刻畫利率的變化，然后利用參數(shù)或非參數(shù)估計(jì)得到利率的動(dòng)態(tài)變化過程。本文研究的新擴(kuò)展模型是在簡(jiǎn)約模型的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的。

三、模型構(gòu)建

（一）Nelson-Siegel模型

Nelson-Siegel模型是Nelsen和Siegel提出的一個(gè)用參數(shù)表示的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率函數(shù)，然后用即期利率與遠(yuǎn)期利率間的關(guān)系推導(dǎo)出即期利率，實(shí)現(xiàn)對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造。具體來說，Nelson-Siegel模型假定遠(yuǎn)期利率關(guān)于時(shí)間的函數(shù)形式為

其中，t為到期期限。

根據(jù)遠(yuǎn)期利率與貼現(xiàn)因子之間的關(guān)系，即

可將貼現(xiàn)因子表示出來，這樣國債的理論價(jià)格就可以表示為

P'K=PK+？滓K

其中CtK表示t時(shí)刻國債的現(xiàn)金流，P'K表示債券交易價(jià)格。

通過適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法求解以下最小化問題，即可求出該模型的參數(shù)值。

再根據(jù)即期利率與遠(yuǎn)期利率之間的關(guān)系

由（1）和（5）式可以推導(dǎo)出即期利率表達(dá)式為

（二） Nelson-Siegel模型的擴(kuò)展Svensson模型

Nelsen和Siegel提出的模型估計(jì)的參數(shù)較少，模型計(jì)算的結(jié)果比較穩(wěn)健，能夠擬合出正常、逆轉(zhuǎn)、駝峰等利率曲線的形態(tài)，因此該模型得到了廣泛的應(yīng)用。但該模型仍存在不足之處，即其不能反映利率曲線的多峰形態(tài)，隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展和國債發(fā)行數(shù)量的逐漸增加，該問題越來越突出[4]。后來人們改進(jìn)了Nelson-Siegel模型，提出了新的更為復(fù)雜的模型-Svensson模型，即在Nelson-Siegel模型的基礎(chǔ)上增加了兩個(gè)參數(shù)，將遠(yuǎn)期利率表示為

該模型表達(dá)式添加了兩個(gè)參數(shù)，使模型在利率期限結(jié)構(gòu)曲線擬合效果上有了較大的提高，能夠擬合出曲線的多峰形態(tài)，曲線的靈活性、復(fù)雜性增加，擬合的精度也有了較明顯的提高。因此，該擴(kuò)展模型已被多國中央銀行列為本國利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的官方選用方法[5]。

（三）新視角下的Nelson-Siegel擴(kuò)展模型

Svensson模型是在自然指數(shù)的指數(shù)部分增加參數(shù)，進(jìn)而擴(kuò)展了Nelson-Siegel模型。本文將在另一個(gè)角度對(duì)Nelson-Siegel模型進(jìn)行擴(kuò)展，即將遠(yuǎn)期利率的表達(dá)式擴(kuò)展為

四、實(shí)證分析

（一）樣本選取

1981年恢復(fù)國債發(fā)行以來，我國國債發(fā)行和交易規(guī)模逐步擴(kuò)大，國債的發(fā)行和交易機(jī)制逐步與國際接軌，國債發(fā)行和交易的市場(chǎng)化程度逐步提高，為形成中國市場(chǎng)利率提供了重要基準(zhǔn)參考，為深入研究中國的利率期限結(jié)構(gòu)提供了良好的基礎(chǔ)。目前，我國市場(chǎng)化程度較高的國債交易場(chǎng)所主要有上海深圳證券交易所和銀行間債券市場(chǎng)。其中，銀行間債券市場(chǎng)的交易商為銀行，單筆交易規(guī)模過大，交易間隔較長(zhǎng)，流動(dòng)性較差，而交易所國債市場(chǎng)則交易主體多元化，交易活躍，流動(dòng)性強(qiáng)，國債交易價(jià)格具有連續(xù)性。因此，在本文中，我們從交易量較大、國債交易品種較為齊全的上海證券交易所選取國債樣本。筆者選取上海證券交易所2012年3月12日至2012年4月13日，存在交易的附息固定票面利率國債的周收盤數(shù)據(jù)（即每周五的收盤數(shù)據(jù)）作為樣本來進(jìn)行實(shí)證分析。

（二）新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型的中國國債樣本實(shí)證分析

為了驗(yàn)證理論分析結(jié)果，本文通過逐漸增加高階多項(xiàng)式的階數(shù)和模型參數(shù)的個(gè)數(shù)，利用上交所國債樣本數(shù)據(jù)實(shí)證比較新擴(kuò)展模型的擬合能力和精度。式（8）中，隨著多項(xiàng)式階數(shù)（即n）的增加，新擴(kuò)展模型在擬合利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)計(jì)算量會(huì)逐漸增大。為了減小計(jì)算量，本文選取具有代表性的三種情況，即n=2，n=3和n=4，分析在這三種情況下，新擴(kuò)展模型的擬合性質(zhì)。

將5個(gè)樣本日的國債樣本的數(shù)據(jù)代入以上三個(gè)新擴(kuò)展模型的參數(shù)表達(dá)式，表達(dá)出帶參數(shù)的各國債的理論價(jià)格，之后就可以將求解模型中參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為：使理論價(jià)格和實(shí)際交易價(jià)格最接近的最優(yōu)化問題。本文通過SAS軟件編程，利用搜索算法，估計(jì)出了各模型中參數(shù)的具體數(shù)值，進(jìn)而估計(jì)出了各模型的即期利率曲線表達(dá)式。利用Matlab軟件繪制的每個(gè)模型的即期利率曲線為圖1-圖3。

擬合出利率期限結(jié)構(gòu)曲線后，將各模型的擬合價(jià)格求出，對(duì)擬合誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，來比較各模型的擬合精度。本文利用了均方根誤差（RMSE）、均方根百分比誤差（RMSPE）和判定系數(shù)（R2）三個(gè)衡量精度的指標(biāo)來比較各模型的擬合精度。

1.均方根誤差

均方根誤差指標(biāo)為對(duì)擬合誤差絕對(duì)量的衡量，其數(shù)字越小代表模型的擬合誤差越小，擬合能力越強(qiáng)。

2.均方根百分比誤差

均方根百分比誤差是與均方根誤差相對(duì)應(yīng)的，其為相對(duì)量衡量指標(biāo)。數(shù)字越小代表模型的擬合能力越強(qiáng)。

3.判定系數(shù)

在回歸分析中，判定系數(shù)用來比較相關(guān)曲線的擬合優(yōu)度，在本文中，我們用判定系數(shù)的概念來說明擬合預(yù)測(cè)價(jià)格對(duì)實(shí)際交易價(jià)格的擬合優(yōu)度。其數(shù)值越大代表模型的擬合預(yù)測(cè)能力越強(qiáng)。

統(tǒng)計(jì)比較結(jié)果為表1。

通過表1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型（n=2，n=3和n=4），隨著遠(yuǎn)期利率表達(dá)式中模型參數(shù)的增加和高階多項(xiàng)式階數(shù)的增加，新擴(kuò)展模型的國債價(jià)格擬合精度指標(biāo)RMSE、RMSPE依次逐漸降低，R2指標(biāo)的數(shù)值依次逐漸增大，這說明通過增加模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)和多項(xiàng)式的階數(shù)可以提高擬合精度，通過提高模型曲線的形態(tài)復(fù)雜度可以更加近似地?cái)M合真實(shí)利率曲線。其中，當(dāng)n=4時(shí)，在新擴(kuò)展模型的五個(gè)樣本交易日國債價(jià)格擬合精度指標(biāo)中，RMSE指標(biāo)分別為0.53991、0.43197、0.68613、0.51550、0.41994，RMSPE指標(biāo)分別為0.00536、0.00417、0.00668、0.00504、0.00415，判定系數(shù)分別為0.95562、0.97140、0.94700、0.96774、0.97817，除2012年3月30日外其他樣本交易日均為所有模型中擬合精度最高的，擬合精確度高于Svensson模型，這說明在對(duì)真實(shí)國債利率期限結(jié)構(gòu)曲線擬合上，本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型（當(dāng)n=4時(shí)）具有一定的優(yōu)勢(shì)，其能較好的降低利率期限結(jié)構(gòu)的擬合預(yù)測(cè)誤差。由于對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的擬合預(yù)測(cè)廣泛應(yīng)用于政府貨幣政策的決策和金融產(chǎn)品如國債的定價(jià)、交易，利率擬合的準(zhǔn)確度直接決定了定價(jià)的合理性和交易的可行性，因此本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴(kuò)展模型（當(dāng)n=4時(shí)）具有較大的應(yīng)用價(jià)值。

（特約編輯：羅洋）

參考文獻(xiàn)：

[1]Bali T.G. An Empirical Comparison of Continuous Time Models of the Short Term Interest Rate， The Journal of Futures Markets 1999（19）.

[2]林海，鄭振龍.利率期限結(jié)構(gòu)研究述評(píng)[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2007（1）.

[3]Jordan J V ，Mansi S A， Term Structure Estimation from on-the-run Treasuries ，Journal of Banking and Finance，2003（27）.

[4]傅曼麗，屠梅曾，董榮杰.債券利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方法與實(shí)證檢驗(yàn)[J].系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2006（1）.

[5]康書隆，艾廣青.中國國債利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)——基于面板數(shù)據(jù)的兩步法[J].財(cái)經(jīng)問題研究，2010（6）.