摘 要： 本文以一道中考模擬試題為例，探討作軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸的方法。

關(guān)鍵詞： 軸對(duì)稱(chēng)圖形 作對(duì)稱(chēng)軸 交點(diǎn)法

《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》指出：“人人學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都獲得必需的數(shù)學(xué)?！薄白寣W(xué)生在做中學(xué)。”因此在平時(shí)的教學(xué)中，我們力求領(lǐng)悟教材的編寫(xiě)意圖，把握教材的知識(shí)要求，充分利用學(xué)具，讓學(xué)生多動(dòng)手操作，手腦并用，培養(yǎng)技能、技巧，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。從而增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

對(duì)稱(chēng)是一種最基本的圖形變換，是學(xué)習(xí)空間與圖形知識(shí)的必要基礎(chǔ)，對(duì)于幫助學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力有著非常重要的作用。這一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是：1.認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸；會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的幾何圖形的對(duì)稱(chēng)軸，并借此加深對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形特征的認(rèn)識(shí)。2.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步增強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐能力，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)審美情操，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

究竟如何作一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸呢？那要依據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的特性，學(xué)生非常熟悉的性質(zhì)是“對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線的垂直平分線”。所以，老師和學(xué)生基本上都是運(yùn)用了“作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線的垂直平分線”的方法作對(duì)稱(chēng)軸。這樣“單調(diào)”的方式不僅不利于學(xué)生思維發(fā)展，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，而且會(huì)因尺規(guī)作圖的誤差造成明顯的錯(cuò)誤。

如：此圖1作出AA′的垂直平分線能夠作出此軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，但稍不注意會(huì)出現(xiàn)明顯的錯(cuò)誤。如果所作的直線并沒(méi)有經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn)，那么此直線不是對(duì)稱(chēng)軸。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸還具備另一個(gè)重要特性：軸對(duì)稱(chēng)圖形中的對(duì)稱(chēng)線段所在直線的交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上或?qū)ΨQ(chēng)線段所在直線互相平行。

“對(duì)稱(chēng)線段所在直線的若相交，則交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。”借助這個(gè)重要結(jié)論，不僅能減少以上類(lèi)似失誤，而且作對(duì)稱(chēng)軸的方法更簡(jiǎn)單。只要用一把無(wú)刻度的直尺就能作出對(duì)稱(chēng)軸。不過(guò)，能用這樣方法作圖的前提是能夠找出兩對(duì)稱(chēng)線段所在直線的兩個(gè)交點(diǎn)。這是對(duì)學(xué)生思維能力的考驗(yàn)，有利于學(xué)生思維發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。我們可以把這種方法形象地稱(chēng)之為“交點(diǎn)法”。

例1：作等腰梯形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸。

（如圖2）我們可以延長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)線段BA、CD，交點(diǎn)為E。連接AC、BD，交點(diǎn)為F，則直線EF為等腰梯形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸。

例2：作如圖3所示正五邊形的對(duì)稱(chēng)軸。

我們可以借助如圖所作的圖方法找出對(duì)稱(chēng)軸：直線AE。

其實(shí)，不少老師發(fā)現(xiàn)“交點(diǎn)法”作圖不僅簡(jiǎn)單，而且對(duì)學(xué)生思維發(fā)展十分有效。所以，在課堂上進(jìn)行了拓展運(yùn)用，甚至將這樣的運(yùn)用編成考題。

下列一題是2012年江蘇省南京市白下區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷上的一道填空題。

下列軸對(duì)稱(chēng)圖形中，只用一把無(wú)刻度的直尺不能畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸的是（ ）

A.菱形 B.矩形

C.等腰梯形 D.正五邊形

我們可用“排除法”得到答案：B。

問(wèn)題是矩形一定不能只用一把無(wú)刻度的直尺作出對(duì)稱(chēng)軸嗎？經(jīng)過(guò)我的反復(fù)研究，發(fā)現(xiàn)此考題是一道錯(cuò)題，矩形也是能夠只用一把無(wú)刻度的直尺作出對(duì)稱(chēng)軸。具體作法如下：

第一步：如圖4連接AC、BD，交點(diǎn)為O，找到第一個(gè)交點(diǎn)。

第二步：在BC上任取一點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DI交AC于G，過(guò)G、F作直線交AD于E，這樣就找到了第二個(gè)交點(diǎn)E。那么，直線EO為矩形ABCD一條對(duì)稱(chēng)軸。

我們要驗(yàn)證直線EO是否為矩形ABCD一條的對(duì)稱(chēng)軸，重點(diǎn)在于說(shuō)明這樣作出來(lái)的E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)就行。說(shuō)明如下：

我們可以通過(guò)平行說(shuō)明△FIH～△FAE、△FHC～△FED，從中我們可以獲得=，=，因此，=①，通過(guò)平行我們還可以說(shuō)明△IHG～△DEG、△CHG～△AEG從中我們可以獲得=，=，因此，=②，由①②不難看出a=a。這就說(shuō)明了E是AD的中點(diǎn)，那么，直線EO為矩形的對(duì)稱(chēng)軸。

“交點(diǎn)法”作對(duì)稱(chēng)軸體現(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)圖形另一重要性質(zhì)——對(duì)稱(chēng)線段所在直線的交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上或?qū)ΨQ(chēng)線段所在直線互相平行。它需要的作圖工具非常簡(jiǎn)單——一把無(wú)刻度的直尺，但尋找兩個(gè)交點(diǎn)并不容易，這需要學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)才能解決問(wèn)題。為了讓學(xué)生思維得以發(fā)展，運(yùn)用知識(shí)更加靈活，我們?cè)谡n堂上應(yīng)讓學(xué)生嘗試用“交點(diǎn)法”作對(duì)稱(chēng)軸，出一些題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，但出題一定要進(jìn)行認(rèn)真反復(fù)推敲，不能出現(xiàn)錯(cuò)題誤導(dǎo)學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊裕前，董林偉.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材.數(shù)學(xué).南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2005.