【內容解析】

本節(jié)課是（蘇教版）必修五§3.3.3《線性規(guī)劃問題》，主要內容是介紹線性規(guī)劃問題的圖解法，用圖形計算器來幫助學生學習在多元變量的約束條件下，尋求目標函數的最優(yōu)解問題，通過學生的自我實驗、自我探究、自我總結，真正體現了“做中學”的學習模式，在收獲知識的同時，提高學習數學的興趣；教師也成為學生探究的合作者和引導者。

【教學目標】

1.知識與技能：了解線性規(guī)劃的意義及其相關概念，理解線性規(guī)劃的圖解法，并會求線性目標函數的最值，培養(yǎng)學生使用圖形計算器的動手能力和探究意識。

2.過程與方法：本節(jié)課是以二元一次不等式表示的平面區(qū)域的知識為基礎，將問題轉化為線性規(guī)劃問題來解決；教師可激勵學生從探究入手、講動結合，借助圖形計算器的直觀演示增加學習的趣味性和生動性，從感性認識上升到理性認識，培養(yǎng)學生運用數形結合思想解決問題的能力。

3.情感態(tài)度與價值觀：結合教學內容，使學生形成學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生創(chuàng)新，掌握“數形結合”的數學思想。

【學情分析】

以前學生對函數的理解僅是一元變量，而這是二元變量和不等式的運用，這給學生帶來較大的挑戰(zhàn)，從而突出方法的重要性；本節(jié)課放在解析幾何學習之后，通過直角坐標系中數形結合的處理方法，形象直觀易懂，使學生學得輕松，同時領悟數形結合思想妙處。

【教學策略分析】

1.本節(jié)課的重點是用圖解法求解線性規(guī)劃問題，難點是如何尋找線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

2.充分借助現代信息技術整合課堂教學（用圖形計算器和多媒體），讓學生增強用現代信息技術的意識，培養(yǎng)學生初步應用現代信息技術的能力。

3.線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解因線性約束條件的不同而不同，隨線性目標函數的改變而改變，因此，我設計了一組變式問題，在線性約束條件相同的情況下改變線性目標函數，看最優(yōu)解的求解過程究竟發(fā)生了哪些變化。從而讓學生了解求解線性規(guī)劃問題最優(yōu)解應注意的兩個關鍵點：一是隨著線性目標函數的直線從原點向右上方平移，其函數值是逐漸變大還是逐漸變??；二是線性目標函數何時取得最大值或最小值，以及已知最優(yōu)解的情況，來確定目標函數中字母的取值范圍。

【教學重點與難點】

重點：線性規(guī)劃的圖解法

難點：尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解情況

設計意圖：可能遇到的疑慮和困難：（1）圖解法中，為什么要將求目標函數最值問題轉化為經過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？如何想到要這樣轉化？（2）數形結合思想的深入理解。

為此教學中教師要為學生創(chuàng)設探究情境，并作合理適度的引導。學生通過對圖形計算器的運用，進行深入探究思考。教師的引導是至關重要的，能促使學生獲取直接經驗，領悟數形結合思想，從更深層次理解“以形助數”的作用及具體方法。

【教學過程】

一、問題情境

1.情境：在生活、生產中，經常會遇到資源利用、人力調配、生產安排等方面，都是在多個約束條件下的問題，下面讓我們從一個具體事例開始：（蘇教版）必修五：書P72。

2.問題：若實數x，y滿足條件4x+y≥104x+3y≤20x≥0y≥0，求函數z=2x+y的最大值與最小值。

教學預設：教師啟發(fā)、學生活動。

設問1：能否用圖形計算器作出這個不等式組的圖形？

設問2：方案一：先求出x和y的范圍，再求2x+y的最大值與最小值？

方案二：由構造的函數z=2x+y直接求最值？（學生分小組活動、驗證）

設計意圖：以景激情，以情激思，利用圖形計算器立即畫出圖像；讓學生親自動手操作、實驗，既有行為參與又有思維參與，從而激發(fā)興趣，豐富經歷，引領學生進入學習情境。

用圖形計算器的操作步驟：

（1）按p鍵，進入主菜單，直接按數字鍵5，進入“圖形”窗口；

（2）按e（類型），按u（下頁），按r（Y≤），回到“圖形函數”窗口，輸入10-4x，成為Y1≤10-4x；

（3）類似第②步與第③步，編輯不等式。每一次輸入完成后按l鍵，使不等式處于被選中狀態(tài)（如圖1）；

（4）按L鍵，再按p（SETUP）鍵，撥動光標控制盤移動光標，落在“不等式類型”行處，按q（相交）（如圖2）。最后按d退出設置，回到“圖形函數”窗口；

（5）按u（繪圖），繪制出不等式組所給出的區(qū)域圖（如圖3）。

（6）按i，如圖，再按q（圖片），再按q（保存）；再按q（1～20）。鍵入數字1，按l，把圖形保存為圖片1；

（7）按L鍵，再按p（SETUP）鍵，顯示參數設置窗口，如圖4；把背景設置為Pict01。最后按l鍵，退出設置；

（8）按p回到主菜單窗口，按數字鍵u，進入“動態(tài)函數”窗口；編輯y=A-2x，按l，選中它；

（9）再按l鍵（或r），如圖5，進入“動態(tài)變量”窗口，設置參數；

（10）按w（設定），進入“動態(tài)設定”窗口；進行如下的設置（開始值為-1，終值為9，步長為0.2），每一項設置完成后按l鍵，最后按l退出參數取值范圍設置；

（11）設定完后，按l鍵回到“動態(tài)變量”窗口，按e（速度），進入“動態(tài)速度”窗口，設置參數變動速度；按q，選擇“單步執(zhí)行”，按l，回到“動態(tài)變量”窗口；

（12）按l，進入執(zhí)行狀態(tài)，如圖6；不斷按l，依設置步長分別畫出相應的圖像。

可見，A的最大值是7.5，不斷按l可見A的最小值是0。

二、建構數學

1.基本概念：約束條件、目標函數、線性目標函數、可行解、可行域、線性規(guī)劃問題、最優(yōu)解等概念。

2.求解線性規(guī)劃的最優(yōu)解的步驟（前提：指出線性約束條件和線性目標函數）：

（1）作：作出可行域；

（2）變：變目標函數z=Ax+By，了解它的幾何意義；

（3）移：平移基線L，尋找使縱截距取得最值時的點；

（4）求：通過解方程組求點的坐標，并轉化為最優(yōu)解。

三、知識運用

問題：實數x，y滿足條件不變，自我設計目標函數。

活動1：你能否設計一個目標函數，使得最優(yōu)解何時只有一個？何時有無窮多個？

設計意圖：讓學生體會利用圖形計算器研究問題的一般程序，一要明確做什么；二是發(fā)現了什么；三明白為什么是這樣，并從中領會“變中之不變”的數學思想和數形結合的思想。

（教師引導，學生分小組活動，隨著a取不同的值，觀察圖像、尋找規(guī)律、抓關鍵位置、總結結論）

活動2：設z=ax+y，若使目標函數z取得最大值的最優(yōu)解有無數個，求a的值。

（部分學生記錄：①～④設置變量z的開始值為-1，終值為9，步長為0.2；⑤設置變量z的開始值為-6，終值為4，步長為0.2；⑥設置變量z的開始值為-4，終值為8，步長為0.2）

（目標函數在斜率從-2～-～0～～1～2變化下，發(fā)現縱截距與z的最值的變化關系）

活動3：設z=ax+y，若目標函數z僅在點（5，2）處取到最大值，求a的取值范圍。

（構造目標函數y=k（x-5）+2，使其過定點（5，2），發(fā)現斜率與z的最值的變化情況，如下圖。）

用圖形計算器的操作步驟：

前面同引例一樣，后面步驟如下：

（1）按p回到主菜單窗口，按數字鍵u，進入“動態(tài)函數”窗口；如圖1，編輯y=k（x-5）+2，按l，選中它；

（2）再按l鍵（或r），進入“動態(tài)變量”窗口，設置參數；

（3）按w（設定），進入“動態(tài)設定”窗口；進行如下的設置（開始值為-6，終值為6，步長為0.2），每一項設置完成后按l鍵，最后按l退出參數取值范圍設置；

（4）設定完后，按l鍵回到“動態(tài)變量”窗口，按e（速度），進入“動態(tài)速度”窗口，設置參數變動速度；按q，選擇“單步執(zhí)行”，按l，回到“動態(tài)變量”窗口；

（5）按l，進入執(zhí)行狀態(tài)，如圖2-4；

設計意圖：用已知有唯一（或無數）最優(yōu)解時，反過來確定目標函數某些字母系數的取值問題，來訓練學生從各個不同的側面去理解圖解法求最優(yōu)解的實質，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性。不僅教學生學習數學知識，而且教學生學習數學方法，在做中學，讓學生自己發(fā)現發(fā)明，實現對學生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

四、課堂訓練

如圖所示，已知△ABC中的三頂點A（2，4），B（-1，2），C（1，0），點P（x，y）在△ABC內部及邊界運動，請你探究并討論以下問題：

（1）z=x+y在處有最大值 ，在處有最小值 ；

（2）z=x-y在處有最大值 ，在處有最小值 ；

思考題：

（3）你能否設計一個目標函數，使得其取最優(yōu)解的情況有無窮多個？

（4）請你分別設計目標函數，使得最值點分別在A處、B處、C處取得？

【設計意圖】及時檢驗學生利用圖解法解線性規(guī)劃問題的情況，讓學生再一次深刻體會到數形結合的妙處，完善了知識結構體系。

五、總結反思，留下懸念

（1）這節(jié)課學習了哪些知識？

（2）學到了哪些思考問題的方法？

設計意圖：有利于學生養(yǎng)成及時總結的良好習慣，并將所學知識納入已有的認知結構，同時也培養(yǎng)了學生交流和表達的能力。