摘 要：在傳統(tǒng)的教學(xué)中，條件概率P（A|B）的概念、計(jì)算多以整體的面貌呈現(xiàn)，其結(jié)果是學(xué)生感到概念抽象，遇到實(shí)際問(wèn)題不知所措。對(duì)條件概率內(nèi)涵中諸要素進(jìn)行了分層、細(xì)化，對(duì)于計(jì)算則從古典概型入手，還歸條件概率的本源，給出直接計(jì)算法，爾后再過(guò)渡到一般的計(jì)算公式，并結(jié)合實(shí)例加以有計(jì)劃、分步驟地灌輸，變抽象為具體，使教學(xué)活動(dòng)有了抓手，便于學(xué)生理解和掌握。

關(guān)鍵詞：條件概率；要素；特征；正例；反例

條件概率是概率論的最重要的概念之一。然而執(zhí)教過(guò)這部分內(nèi)容的教師，都有這樣的感受：“條件概率”這一概念比較抽象，學(xué)生理解比較困難，遇到實(shí)際問(wèn)題一做就錯(cuò)。如何突破這一難點(diǎn)？下面結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬?duì)條件概率教學(xué)的一些建議。

一、結(jié)合條件概率的正例，讓學(xué)生充分領(lǐng)略概念內(nèi)涵中各要素的不同特征，形成關(guān)于條件概率的初步認(rèn)識(shí)

條件概率的定義：設(shè)A和B為同一概率空間的兩個(gè)隨機(jī)事件，則在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A關(guān)于B的條件概率，記作P（A|B）。

條件概率P（A|B）這一概念的內(nèi)涵包含三個(gè)要素：一個(gè)是事件A，另一個(gè)是事件B，還有一個(gè)是條件關(guān)系，三者不可或缺。事件A的特征，在于它的隨機(jī)性。事件B的特征，在于它的確定性，B是已經(jīng)發(fā)生的事件，不再是隨機(jī)事件。而條件關(guān)系的特征，在于其表達(dá)方式的靈活多樣性，在許多場(chǎng)合它是由一個(gè)顯明的條件結(jié)構(gòu)表示的，如“已知……的條件下，求……的概率”等，而在另一些場(chǎng)合中，它卻不是用顯明的條件結(jié)構(gòu)表示的。

對(duì)于條件概率內(nèi)涵各個(gè)要素的相應(yīng)特征，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)例有計(jì)劃、分步驟地進(jìn)行滲透，正所謂“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，這樣比較容易為學(xué)生所接受。

例1.隨機(jī)拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，試解答下列問(wèn)題：

（1）求擲出的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3的概率；（2）已知擲出了偶數(shù)點(diǎn)，求擲出的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3的概率。

在例1（2）的條件概率P（A|B）中，A是隨機(jī)事件；B是已經(jīng)發(fā)生的事件，在這里有很明顯的標(biāo)志：“已知擲出了偶數(shù)點(diǎn)”；而條件關(guān)系具有一種顯明的條件結(jié)構(gòu)：“已知……發(fā)生，求……的概率”。在這三個(gè)要素中，事件B是關(guān)鍵的核心的要素，其本質(zhì)特征是“已經(jīng)發(fā)生”，這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)充分強(qiáng)調(diào)，務(wù)必使大家都能夠認(rèn)識(shí)到。另外，符號(hào)A|B表示在B發(fā)生的條件下事件A也發(fā)生這一隨機(jī)事件，n（A|B）表示事件A|B中的樣本點(diǎn)數(shù)。

例2.某一天甲、乙、丙三人得到一張電影票，他們商定按甲乙丙的順序抽簽確定這張電影票的得主。

（1）已知乙抽到了電影票，求甲抽到電影票的概率；

（2）已知丙沒(méi)有抽到電影票，求甲抽到電影票的概率。

例2（1）的條件關(guān)系具有顯明的條件結(jié)構(gòu)：“已知……，求……的概率”。在這種顯明的條件關(guān)系中，其條件事件可以是形式上的條件。在例2（1）中，由于事件B是在事件A之后發(fā)生的，故事件B發(fā)生與否不可能在真正意義上影響事件A的發(fā)生，故B與A的條件關(guān)系只是形式上的條件關(guān)系。值得指出，這種條件概率有實(shí)際用處，如公安破案中。在例2（2）中，■與A的條件關(guān)系也是如此。我們注意到，在例２（1）和（2）中算得的甲抽到電影票的概率是不同的。這是為什么呢？這完全是由于觀察者得到的信息不同所致。

緊接著，我們應(yīng)當(dāng)引入條件概率的計(jì)算公式：如果P（A）＞0，則P（A|B）=■。

證明：對(duì)于條件概率的一般情形做出證明并不容易，這里只對(duì)古典概型的情形給出證明。設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間是Ω。在已知事件B發(fā)生的條件下，B成為新的樣本空間，且B的樣本點(diǎn)具有等可能性。我們借助韋恩圖可以看出：n（A|B）=n（AB）。于是由古典概型的概率公式有P（A|B）=■=■=■=■。

這樣就得到了計(jì)算條件概率的第二計(jì)算方法：公式法。實(shí)現(xiàn)了由條件概率向無(wú)條件概率的第二次過(guò)渡。

二、結(jié)合條件概率的反例，對(duì)概念的要素再作具體界定，即所謂概念內(nèi)涵的“深加工”，使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)，加深對(duì)條件概率的認(rèn)識(shí)

例1.甲、乙兩人共同加工100個(gè)零件，甲加工60個(gè)，正品55個(gè)，乙加工40個(gè)，正品30個(gè)，從中任取1件。求：（1）取到的是正品的概率；（2）取到的是甲生產(chǎn)的正品的概率。

即事件“取到的是甲生產(chǎn)的正品”發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件“取到的是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”和“取到的是正品”都發(fā)生，故任?。奔a(chǎn)品，取到的是甲生產(chǎn)的正品的概率為P（AB）=■=0.55。

例2.在一個(gè)盒子中有大小一樣的20個(gè)球，其中有10個(gè)紅球、10個(gè)白球。某人無(wú)放回地依次從中摸出2個(gè)球，求第1次摸出紅球后，第2次摸出白球的概率。

即事件“第1次摸出紅球后，第2次摸出白球”發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件“第一次摸出紅球”和“第二次摸出白球”都發(fā)生，故其概率為P（A|B）=P（A）P（B|A）=■×■=■=0.2632。

三、通過(guò)條件概率的變式練習(xí)和對(duì)“疑似條件概率”的糾錯(cuò)練習(xí)，鞏固對(duì)條件概率的認(rèn)識(shí)

引入條件概率的目的有兩個(gè)：一是對(duì)已知信息的充分利用，這就需要我們正確地計(jì)算條件概率；二是以現(xiàn)有的條件概率為基礎(chǔ)計(jì)算更加復(fù)雜的概率。為了鞏固對(duì)條件概率的這些認(rèn)識(shí)成果，應(yīng)適當(dāng)做一些相應(yīng)的變式練習(xí)，但也應(yīng)控制好難度。在教學(xué)中，應(yīng)先讓學(xué)生自己解答，再針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，以提高學(xué)生的辨析能力。

四、通過(guò)對(duì)概念本質(zhì)特征的再挖掘，進(jìn)一步提高對(duì)條件概率的認(rèn)識(shí)水平

值得指出：在條件概率P（A|B）的定義中，還得規(guī)定P（B）＞0。這表面上看起來(lái)是條件概率P（A|B）的計(jì)算公式P（A|B）=■的要求。其實(shí)，還有更深層次的原因。這樣我們得到了兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果：“A與B獨(dú)立”和“A與B不獨(dú)立”。為了規(guī)避這種矛盾，必須在條件概率P（A|B）的定義中限定P（B）＞0。關(guān)于這一點(diǎn)，教師在備課時(shí)應(yīng)當(dāng)明白，但在教學(xué)時(shí)則應(yīng)視學(xué)生的實(shí)際情況因人制宜，把握好分寸。

在條件概率P（A|B）內(nèi)涵的諸要素中，事件B是核心要素。“已經(jīng)發(fā)生”，是事件B的本質(zhì)特征。事件B的這一本質(zhì)特征，正是我們開(kāi)啟條件概率神秘大門(mén)的金鑰匙。教學(xué)時(shí)，我們必須牢牢把

握它。

參考文獻(xiàn)：

［1］金天壽.對(duì)事件獨(dú)立性的再認(rèn)識(shí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012.

［2］楊義群.初等概率教學(xué)中定義條件概率的二個(gè)問(wèn)題探討［J］.教學(xué)與研究，1984.

［3］楊志文.一道例題教學(xué)的困惑談條件概率教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009.

（作者單位 浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院）