函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)教材新增內(nèi)容，往往與函數(shù)的圖像、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容結(jié)合考查，能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新能力。下面把有關(guān)零點(diǎn)的考查類型和解法歸納如下，以期對(duì)大家有所幫助。

一、函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

例1.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

A. ( -2 ， -1)B. (-1，0)C. (0，1)D. (1，2)

【解析】因?yàn)榈膱D像是連續(xù)不斷的曲線，所以零點(diǎn)在區(qū)間（0，1）上。故答案選C。

例2.設(shè)函數(shù)，()

A在區(qū)間（ ，1）、（1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)

B在區(qū)間（，1）、（1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)

C在區(qū)間（，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

D在區(qū)間（，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e)內(nèi)有零點(diǎn)

【解析】= ，令>0得>3；令<0得0<<3；令=0得=3。故知函數(shù)在區(qū)間（0，3）上為減函數(shù)，在區(qū)間（3，+∞）為增函數(shù)，在點(diǎn)=3處有極小值1-ln3<0；又故答案選D。

【點(diǎn)評(píng)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，往往用“零點(diǎn)存在性定理”驗(yàn)證端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)，但這樣做有時(shí)會(huì)出錯(cuò)。如函數(shù)判斷它在區(qū)間（0，3）上是否有零點(diǎn)，若僅僅考慮“零點(diǎn)存在性定理”，會(huì)判斷它在區(qū)間（0，3）上無(wú)零點(diǎn)。事實(shí)上，它在區(qū)間（0，3）上有2個(gè)零點(diǎn)。對(duì)零點(diǎn)存在的區(qū)間問(wèn)題，最合理的方法是結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)（如單調(diào)性、極值）才能正確判定。

二、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

①直接解方程求零點(diǎn)

例3 函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A. 0B. 1C. 2D. 3

【解析】當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)，令解得，所以，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù)的零點(diǎn)。故函數(shù)有零點(diǎn)等價(jià)于方程有解。令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)。

②化歸為函數(shù)的圖像與軸的公共點(diǎn)

例4. 已知是R上最小正周期為2的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖像在區(qū)間[0，6]上，與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A. 6B. 7C. 8D. 9

【解析】由題意得在[0，2）上與軸有2個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)門=2.所以在[2，4) [4， 6)上分別都有2個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)樗裕?個(gè)點(diǎn)。

③化歸為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)

例5. 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A. 4B. 3C. 2D. 1

【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)的圖像，易知兩函數(shù)圖像有且只有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】有些函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖像交點(diǎn)求解。畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)。

三、已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)示參數(shù)范圍

例6. 若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】設(shè)函數(shù)和函數(shù)，則函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，就是函數(shù)和函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（0，1），而直線所過(guò)的點(diǎn)一定在（0，1）的上方，所以一定有2個(gè)交點(diǎn)。所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。

【點(diǎn)評(píng)】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，是新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，往往需分析函數(shù)圖像的具體變化情形或借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)的不等式而求解。

四、函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

例7. 已知函數(shù)

（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程。

（II）證明：對(duì)任意在區(qū)間（０，１）內(nèi)均存在零點(diǎn)。

解（I），當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（II）證明：當(dāng)時(shí)，在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況：

（1）當(dāng) 即時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。

（2）當(dāng)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，在（，1）內(nèi)單調(diào)遞增，若所以在（，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，若，，所以在（0，）內(nèi)存在零點(diǎn)。

綜上，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。

總之，函數(shù)有零點(diǎn)方程有解函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)。對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的存在性，可以根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但要確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調(diào)的，它至多有1個(gè)零點(diǎn)，如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合這些小區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)，作出正確判斷。