農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教師的“建模七步曲”

文/許秀華

摘 要：數(shù)學(xué)課程的基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而獲得對數(shù)學(xué)的理解。教師要以“建?！弊鳛榕囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的出發(fā)點和最終歸宿，去審視內(nèi)在規(guī)律，發(fā)現(xiàn)建模結(jié)合點，結(jié)合學(xué)生實際培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想與習(xí)慣，進行“建?！鳖A(yù)設(shè)與整體規(guī)劃，實現(xiàn)教學(xué)相長。

關(guān)鍵詞：農(nóng)村；小學(xué)；數(shù)學(xué)；建模

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運用。”從此，“建?！币辉~開始進入教師們的視野?？扇杂胁簧偕硖幗虒W(xué)一線的農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教師囿于各種原因，對“建?！敝欢?，用之更少。筆者對“建模”的關(guān)注也是從去年的“煙花三月”才開始的，略有嘗試，小有思考，想借此機會與各位同仁一同交流，以求共同提高。

筆者認(rèn)為，作為農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要走好“建?！敝笇?dǎo)的“七步曲”。

一、樹立正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀

數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程。20世紀(jì)中葉以來，數(shù)學(xué)自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計算機的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前的拓展。數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。

數(shù)學(xué)課程的基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。

然而直至現(xiàn)在，我們有不少數(shù)學(xué)教師在進行教學(xué)設(shè)計時，目光僅局限在“知識與技能”維度上，為教數(shù)學(xué)知識而設(shè)計教學(xué)，“鋪墊—新課—練習(xí)”，亦步亦趨、周而復(fù)始，看似步步為營，實則因循守舊。學(xué)生的考試成績表面看“絢麗驕人”，細(xì)考察卻發(fā)現(xiàn)：由于缺少生活的原型積累作為支撐資源，缺少探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、尋求數(shù)學(xué)方法、體會數(shù)學(xué)的思想等體驗，成了“新時代”的“舊學(xué)生”；課堂與生活的聯(lián)系是浮淺的，缺少對共性分析、提煉及優(yōu)化的過程，不能形成具有穩(wěn)定性的一般算法模型；探究、合作拘泥于形式，很少將之與建模聯(lián)系起來，練習(xí)也很必然地衍變成了機械重復(fù)。

二、洞悉教材，確定課堂教學(xué)“建模”預(yù)設(shè)與規(guī)劃

當(dāng)我們站在時代的前沿，重新審視教材后，我們要以“建?！弊鳛榕囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、思想的出發(fā)點和最終歸宿。了解“建模”、學(xué)習(xí)“建?！?、嘗試“建?！?、運用“建?！?，實現(xiàn)教學(xué)相長。

1.明確“建?！钡亩x內(nèi)涵

當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

2.認(rèn)清“建?！钡膶嵸|(zhì)

從上面的表述中不難發(fā)現(xiàn)：“數(shù)學(xué)模型”是現(xiàn)實世界中的原型，為了某一個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！敖！辈坏瑪?shù)學(xué)模型的建立，而且是對數(shù)學(xué)模型的求解和驗證，并用該模型所提供的解答來解釋實際問題。從數(shù)學(xué)角度講，數(shù)學(xué)建模是舍去無關(guān)緊要的東西，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

3.了解“建?！钡牧鞒?/p>

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的一般流程為：模型準(zhǔn)備—模型假設(shè)—模型建立—模型求解—模型分析—模型檢驗—模型應(yīng)用。

4.重新解讀教材文本

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)以“問題情境→建立模型→解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式，并已經(jīng)在教材中體現(xiàn)了按這一模式編寫內(nèi)容。這需要教師去審視內(nèi)在規(guī)律、發(fā)現(xiàn)建模結(jié)合點、結(jié)合學(xué)生實際培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想與習(xí)慣，從而進行“建?！鳖A(yù)設(shè)與整體規(guī)劃。

三、創(chuàng)設(shè)情境，找到最佳結(jié)合點，組織有效探索

1.尋找情趣結(jié)合點

教師必須遴選、提供學(xué)生感興趣、真實可信的、充足的感性材料作為實際原型，了解、明確原型的特征，只有做到這一點，才能使學(xué)生對實際問題進行簡化。由于小學(xué)生的生活經(jīng)歷有限，以學(xué)習(xí)間接知識為主，有時我們只能用文字或語言來表達(dá)實際問題的背景，這就要求教師在用文字表達(dá)或語言表達(dá)實際問題的背景時，要克服對實際問題的情境描述簡單化、成人化和數(shù)學(xué)材料來源的單一化，要考慮學(xué)生是否熟悉、是否感興趣。

2.發(fā)現(xiàn)學(xué)生能力的優(yōu)勢點

雖然學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識是有限的，但他們的想象力是無限的。兒童有無限的創(chuàng)造力，他們敢想、敢說、敢做，這對簡化實際問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是十分有利的。因此，我們要尊重、保護、引導(dǎo)、利用好這一優(yōu)勢，抓住他們閃光的地方加以表揚、鼓勵，并通過適度的引導(dǎo)和點撥使學(xué)生對實際問題的簡化更加恰當(dāng)，不可求全責(zé)備、批評指責(zé)。

3.豐富模型的生成點

（1）經(jīng)歷體驗

行為體驗和內(nèi)心體驗?zāi)芙o予學(xué)生最為直觀、真切的自主建構(gòu)知識和情感的時空。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里有許多需要學(xué)生體驗的內(nèi)容。

比如，結(jié)合學(xué)生生活中稱體重、量身高的行為經(jīng)歷認(rèn)識“厘米”“千克”；結(jié)合家庭蓋新房子所購買的單袋水泥重量（50千克）和所用水泥總重量（一般平房用8噸左右）事例，來建立進位模型和“噸”的初步概念；以蓋房子時磚堆的碼放結(jié)構(gòu)來建立立體模型。

（2）驗證猜測

猜測是人們以已有的知識為基礎(chǔ)，通過對問題的分析、歸納，或?qū)⑵渑c有類似關(guān)系的特例進行比較、分析，通過判斷、推理對問題結(jié)果作出估測。教學(xué)中的猜測是一種再創(chuàng)造過程，先對數(shù)學(xué)的結(jié)論進行猜測，再經(jīng)自主驗證，證明所猜測是否正確，從而得出數(shù)學(xué)結(jié)論，新的數(shù)學(xué)模型隨即建立起來。

比如，在教學(xué)“三角形內(nèi)角和是180度”時，我出示了多個大小、形狀不同的三角形讓學(xué)生猜測它們的內(nèi)角和各是多少度。學(xué)生被它們之間的差異迷惑，所以給出了不同的答案。我引導(dǎo)學(xué)生自己動手操作，用多種方式來驗證自己的猜測是否正確。有的學(xué)生將三角形的三個角全部撕下來，把三個角拼在一起組成一個平角，由于一個平角是180度，“三角形的內(nèi)角是180度”的猜想結(jié)果得到驗證；有的學(xué)生用量角器分別量出每個角的度數(shù)，把三個角的度數(shù)相加，并通過反復(fù)測量、計算，最終得出了“三角形的內(nèi)角和是180度”這一共同結(jié)論，初步建立起了模型。

（3）觀察發(fā)現(xiàn)

教師要善于引領(lǐng)學(xué)生從已知信息中觀察思考、發(fā)現(xiàn)交流、歸納概括規(guī)律，從而形成數(shù)學(xué)模型。

比如，在教學(xué)《加法的交換律》時，我出示了25+26和26+25兩個算式，要求分別求出和。這時我讓學(xué)生觀察25+26=51與26+25=51兩個算式的不同和相同之處，并說說自己的發(fā)現(xiàn)。接著，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納出25+26=26+25，得出“兩個加數(shù)變換位置和不變”這一規(guī)律。到此，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)初步建立。我讓學(xué)生自己舉出類似的算式，進一步歸納出用字母替代的“a+b=b+a”這一最終模型。

（4）嘗試內(nèi)化

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可根據(jù)教材特點和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，鼓勵其嘗試、探究解決新的數(shù)學(xué)問題，再進行交流，達(dá)成共識，歸納出新知識的數(shù)學(xué)模型。

比如，教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時，鼓勵根據(jù)比、分?jǐn)?shù)、除法的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生自己寫一組商不變的除法算式，然后把除法算式改寫成分?jǐn)?shù)形式，再改寫成比的形式，較為順暢地形成了“比”的數(shù)學(xué)模型。

四、提供方法，指導(dǎo)自主探索

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個思維活動，而不是一個程序操練的過程。教師要重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主發(fā)現(xiàn)，同時也要提供必要的方法指導(dǎo)。如，操作活動表格的設(shè)計、分類的引導(dǎo)、合作中的分工、實物的符號替代等。

教師要有必要的數(shù)學(xué)方法儲備，并依據(jù)具體內(nèi)容、學(xué)生實際、當(dāng)時情景給予恰當(dāng)?shù)姆椒ㄖ笇?dǎo)，切不可把“自主”等同于“放任自流”。

五、啟發(fā)對比、探究，尋找內(nèi)在規(guī)律

顧汝佐先生說：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是掌握前人創(chuàng)造的經(jīng)驗，而這種經(jīng)驗需要教師設(shè)計出一定的客觀形式，通過相應(yīng)的信號、信息載體，讓學(xué)生自己去觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、檢驗、實施，在頭腦中構(gòu)建經(jīng)驗結(jié)構(gòu)。”這實際上就是告訴我們，數(shù)學(xué)應(yīng)根據(jù)需要為學(xué)生模擬控究情境和過程，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)新知，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

比如：在教學(xué)“平行四邊形的面積計算”時，在學(xué)生猜測平行四邊形的面積與什么有關(guān)后，組織學(xué)生驗證自己的猜測是否合理、正確，發(fā)給學(xué)生一張方格紙，紙上有4個平行四邊形和4個與之等底等高的長方形。之后，放手讓學(xué)生自己去剪切、拼接、測量、交流、計算，在不斷嘗試驗證猜測的過程中，加深學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。

六、變換具體情境，拓展模型的外延

每個數(shù)學(xué)模型都應(yīng)有其本身的廣泛應(yīng)用價值，如果一個數(shù)學(xué)模型只能解決當(dāng)前的一個實際問題，那就失去了廣泛應(yīng)用價值，數(shù)學(xué)建模也就毫無意義可言了。

人的認(rèn)識過程是“感性—理性—感性”的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程。從具體的問題經(jīng)歷抽象提煉形成的數(shù)學(xué)模型不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終結(jié)，更重要的是組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷地得以驗證、擴充和提升。

七、開發(fā)課程資源，形成數(shù)學(xué)思想

教師要鼓勵學(xué)生在實際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，并借助研究性學(xué)習(xí)為方式平臺，積極發(fā)掘當(dāng)今生活中的數(shù)學(xué)資源。通過應(yīng)用真正讓數(shù)學(xué)走入生活。用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題的同時拓展數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，促進探索意識、發(fā)現(xiàn)問題意識、創(chuàng)新意識和實踐意識的形成。

（作者單位 山東省濟南商河縣玉皇廟鎮(zhèn)楊莊鋪小學(xué)）