【摘 要】 初中數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何是分章學(xué)習(xí)的，引入直角坐標(biāo)知識(shí)，就將數(shù)與形有機(jī)的統(tǒng)一到坐標(biāo)軸上進(jìn)行研究了，這一統(tǒng)一不光是代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)建立了聯(lián)系平臺(tái)，而且為數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步與發(fā)展提供了條件，是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的拓展，在這一統(tǒng)一點(diǎn)上學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了鍛煉和培養(yǎng)。教學(xué)時(shí)，教師要學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，學(xué)生就能在宏觀把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，做到研究有方向，討論有目標(biāo)，學(xué)習(xí)有信心，思維有發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】 形與數(shù)；統(tǒng)一；培養(yǎng)學(xué)生；數(shù)學(xué)思維

初中數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平，不是專門訓(xùn)練學(xué)生題目，提高卷面成績(jī)，而是滲透數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生科學(xué)的思維方式，和研究問(wèn)題，探討問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，教學(xué)中我從以下幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的。

一、觀察圖形，訓(xùn)練學(xué)生的整體感知能力

問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，圖形是思維的落腳點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系里，往往都是數(shù)與形相互結(jié)合的題目。分析這樣的題目，準(zhǔn)確的繪制圖形、正確的觀察圖形、仔細(xì)的分析圖形十分重要，如果題目不提供圖形，學(xué)生要繪制出圖形來(lái)，這樣才能把抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，使數(shù)與形的統(tǒng)一體能較清楚的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生的整體感知能力才能得到較好的訓(xùn)練。

例1：在下列直角坐標(biāo)系中，（1）請(qǐng)寫出在平行四邊形ABCD內(nèi)（不包括邊界）橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，且和為零的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在平行四邊形ABCD內(nèi)（不包括邊界）任取一個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，求該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為零的概率。

分析：（1）橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且和為零的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)在一三象限坐標(biāo)軸角平分線上；（2）應(yīng)找完在平行四邊形內(nèi)的所有整數(shù)點(diǎn)。

解：（1）看圖可知A（-2，2），B（-3，-2），C（2，-2）D（3，2），在其內(nèi)部橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且和為零的點(diǎn)的坐標(biāo)有（-1，1），（0，0），（1，-1）。

（2）由圖可知：∵在平行四邊形ABCD內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有15個(gè)，其中橫、縱坐標(biāo)和為零的點(diǎn)有3個(gè)?！郟= = 。

坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；概率公式是解答本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)。解決本題的關(guān)鍵是理解橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且和為零的點(diǎn)的坐標(biāo)在一三象限坐標(biāo)軸角平分線上，范圍是平行四邊形內(nèi)。在運(yùn)用概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比的關(guān)系式求出結(jié)果。

二、探尋聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力

從思維定勢(shì)到思維遷移，是思維發(fā)展的一次飛躍，但遷移要有科學(xué)合理的路徑，這一路徑就是找到不同知識(shí)間的聯(lián)系點(diǎn)，否則，遷移就不會(huì)達(dá)到預(yù)想的效果。

例2：圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是

。

分析：本題可先設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），再根據(jù)“三角形外接圓的圓心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等”列出等式，化簡(jiǎn)即可得出圓心的坐標(biāo)。

解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y）；

依題意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則有：√（3-x）2+（6-y）2=√（1-x）2+（4-y）2=√（1-x）2+y2；即（3-x）2+（6-y）2=（1-x）2+（4-y）2=（1-x）2+y2，化簡(jiǎn)后得：x=5，y=2；因此圓心坐標(biāo)為：（5，2）。

本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)和坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式。解此類題目時(shí)要注意運(yùn)用三角形的外接圓圓心到三角形三點(diǎn)的距離相等這一性質(zhì)。這一性質(zhì)就是三角形與其外接圓的聯(lián)系點(diǎn)，這一聯(lián)系點(diǎn)，就是思維發(fā)生遷移的啟發(fā)點(diǎn)，就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。

三、深入討論，體驗(yàn)解決問(wèn)題的多層面性

知識(shí)之間是有聯(lián)系也是有發(fā)展，可以不斷深化的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注，學(xué)生能否主動(dòng)參與探究活動(dòng)，在討論中不斷深化，不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，不斷研究解決問(wèn)題的多樣途徑，也是思維遷移的關(guān)鍵訓(xùn)練。

例3：在研究例2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討：請(qǐng)?jiān)偾螅?/p>

（1）該圓圓心到弦AC的距離；

（2）以BC為旋轉(zhuǎn)軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的全面

積。（所有表面面積之和）

分析：（1）如圖，圓心為P（5，2），作PD⊥AC于D，根據(jù)垂徑定理知道AD=CD，然后利用圖中小正方形可以求出AC，再求出PD，也可直接求出PD；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)過(guò)程可以知道旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是一個(gè)以2

為底面圓半徑、6為高的大圓錐，再挖掉一個(gè)以2為底面圓半徑、2為高的小圓錐，它們的母線分別是AB，AC，可以利用小正方形求出，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，利用扇形的面積公式就可以求出全面積了。

解：方法1：如圖，圓心為P（5，2），作PD⊥AC于D，則AD=CD，連接CP，∵AC為是為6、寬為2的矩形的對(duì)角線，

∴AC=√62+22=2√10，同理CP=√42+22=2√5，

∴PD=√CP2-CD2=√10，

方法2：∵圓心為P（5，2），作PD⊥AC于D，則AD=CD，

由直觀，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）

又∵PD為是為3、寬為1的矩形的對(duì)角線，

∴PD=√32+12=√10 。

（2）∵旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是一個(gè)以2為底面圓半徑、6為高的大圓錐，再挖掉一個(gè)以2為底面圓半徑、2為高的小圓錐，又它們的母線之長(zhǎng)分別為ι小=√22+22=2√2，ι大=√22+62=2√10，∴所求的全面積為：πrι大+πrι小=πr（ι大+ι小）=4（√10+√2）π。

學(xué)生在上一題的基礎(chǔ)上解答本題，教師適當(dāng)加以引導(dǎo)和提示，第一個(gè)問(wèn)題圖形沒(méi)有變化，只是知識(shí)的延伸，引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的聯(lián)系點(diǎn)進(jìn)行分析，在一般情況下，前面問(wèn)題的解答結(jié)果，對(duì)后面問(wèn)題的思考是有啟發(fā)的。第二個(gè)問(wèn)題是圖形發(fā)生變化，所求的問(wèn)題，也由數(shù)轉(zhuǎn)化為形研究，學(xué)生分組討論，畫圖，演示。教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注，圖形由平面到立體的空間聯(lián)想能力；學(xué)生充分體會(huì)圖形變化過(guò)程，及變化后的形體定勢(shì)。再思考形與數(shù)之間的關(guān)系。就能找到解決問(wèn)題的突破口。