在高中數(shù)學(xué)立體幾何中，空間角通常指的是異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角的平面角，能比較集中反映空間想象能力的要求，它是空間圖形的一個(gè)要素，反映了對(duì)空間主元線線、線面、面面關(guān)系的深入認(rèn)識(shí)和理解，其求解思路是把幾何圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了可計(jì)算、可量化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使我們對(duì)空間角有了更具體、更精確的認(rèn)識(shí)。求解問(wèn)題時(shí)所體現(xiàn)出來(lái)的平移，構(gòu)角、解三角形，甚至建系、數(shù)形結(jié)合等思想，可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)思想的一個(gè)集中體現(xiàn)，較好地考查了學(xué)生的邏輯推理能力以及化歸的能力。另外，空間角也是高考的必考內(nèi)容和熱點(diǎn)。下面將通過(guò)典型例題的解析，進(jìn)一步掌握空間角的求法。

一、空間角的范圍和求法

1.異面直線所成的角范圍：0°＜θ≤90°

方法：①平移法；②補(bǔ)形法③向量法。

2.直線與平面所成的角范圍：0°≤θ≤90°

方法：①幾何法;②向量法。

3.二面角范圍：0°≤θ<180°

方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法；④向量法。

注：二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S'=Scosθ來(lái)計(jì)算。

二、典型例題精析

1.異面直線所成的角。例1：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1。求直線EC1與FD1所成的角的余弦值。

思路一：本題易于建立空間直角坐標(biāo)系，把EC1與FD1所成角看作向量EC1與FD1的夾角，用向量法求解。（圖1）

思路二：平移線段C1E讓C1與D1重合。轉(zhuǎn)化為平面角，放到三角形中，用幾何法求解。

解法一：以A為原點(diǎn)， 分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2），于是 設(shè)EC1

與FD1所成的角為β，則：

∴直線EC1與FD1所成的角的余弦值為

解法二：延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E1，使AE1=1，連結(jié)E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1//E1E，D1C1=E1E，則四邊形D1E1EC1是平行四邊形。則E1D1//EC1，于是∠E1D1F為直線EC1與FD1所成的角。

在Rt△BE1F中，E1F=√E1E2+BF2=√52+12=√26。在Rt△D1DE1中，D1E1=√DE12+DD12=√AE12+AD2+DD12

=√12+32+22=√14。

在Rt△D1DF中，F(xiàn)D1=√FD2+DD12=

√CF2+CD2+DD12=√22+42+22=√24。

在△E1FD1中，由余弦定理得：

∴直線EC1與FD1所成的角的余弦值為

可見(jiàn)，“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵。平移線段法，或化為向量的夾角。一般地，異面直線l1、l2的夾角的余弦為： 。

2.直線和平面所成的角。斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過(guò)解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設(shè)θ為直線l與平面α所成的角，ω為直線l的方向向量 與平面α的法向量 之間的夾角，則有ω=

特別地ω=0時(shí)，θ= ，l⊥α；ω= 時(shí)，θ=0，l α或l∥α。

例2:如圖4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大小。

解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CA=CB=a，則A（a，0，0），B（0，a，0）A1（a，0，2）D（0，0，1）

∴ ， ， ， ，

∵點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，

∴ 平面ABD，∴ ，解得a=2。

∴ ， ，

∵ 平面ABD∴ 為平面ABD的一個(gè)法向量。

由 得

，∴ A1B與平面ABD所成的角為 。

評(píng)析：①因規(guī)定直線與平面所成角θ∈[0， ]，兩向量所成角α∈[0，π]，所以用此法向量求出的線面角應(yīng)滿足θ=| -α|。②一般地，設(shè)n是平面M的法向量，AB是平面M的一條斜線，A為斜足，則AB與平面M所成的角為： 。

3.二面角的求法

幾何法：二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：

①直接利用定義，圖4（1）。

②利用三垂線定理及其逆定理，（2）最常用。

③作棱的垂面，（3）。

另外，特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角。

向量法：①?gòu)钠矫娴姆ㄏ蛄靠紤]，設(shè) 分別為平面αβ的法向量，二面角α-l-β的大小為θ，向量 的夾角為 ，則有θ+ =π或θ= （圖5）

②如果AB、CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為 。

例3：如圖6，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱AA1= √3，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC。求二面角B1-AD-B的大小。

解：取BC的中點(diǎn)O，連AO。

由題意，平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊥BC，∴AO⊥平面BCC1B1，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ，

，∴ ， ， ，由題意 平面ABD，∴ 為平面ABD的法向量。

設(shè)平面AB1D的法向量為 ∴

得 故所求二面角B1-AD-B的大小為60 °。

評(píng)析：在處理二面角問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題，如本題中若取 時(shí)，會(huì)算得 ，

從而所求二面角為120°，但依題意只為60°。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。

三、歸納與提升

1.空間各種角的計(jì)算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角

來(lái)計(jì)算的，對(duì)空間各種角的概念必須深刻理解。平行和垂直可以看作是空間角的特殊情況。

2.幾何法在書(shū)寫(xiě)上體現(xiàn)：“作出來(lái)、證出來(lái)、指出來(lái)、算出來(lái)、答出來(lái)”五步。

3.向量法通過(guò)空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化。主要是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的坐標(biāo)、利用數(shù)量積的夾角公式計(jì)算。