【摘 要】 初中數(shù)學(xué)“圓”是初中幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容，而切線的性質(zhì)與判定又是這一章節(jié)的重點和難點，切線的性質(zhì)與判定用法靈活而多變。常常與其他知識點聯(lián)系在一起，變成綜合性題目。在分析問題時若能巧妙的運用切線知識點，就能找到解題的突破口，可以使很多問題化復(fù)雜為簡單，化深奧為淺顯，為問題順利解答起到關(guān)鍵性作用。

【關(guān)鍵詞】 切線；圓；幾何證明；作用

在圓的切線證明題中，運用好切線知識點是解決問題的突破口，這方面的例子枚不勝舉，在這里我略舉幾點與同行們共同探討。

一、從切線與直徑垂直關(guān)系入手，尋找解題路徑

圓的切線知識點多數(shù)隱含在綜合性題目之中，加之切點在圓上，不在整個圖形的顯眼位置，學(xué)生初學(xué)時，很容易忽略這一重要知識點的運用，導(dǎo)致思維處于停滯狀態(tài)，教師要強調(diào)，做題時首先標出切點處的直角，關(guān)注與之相應(yīng)的直角三角形，進行具體分析。

例1：如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交切線AC于點C，OC與半圓O交于點E，連接BE，DE。

（1）求證：∠BED=∠C；（2）若OA=5，AD=

8，求AC的長。

分析：（1）由切線的性質(zhì)得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2。由圓周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C；

（2）連接BD。由直徑直徑對的圓周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD=√AB2-AD2=√102-82=6。

由△OAC∽△BDA得OA∶BD=AC∶DA，從而求得AC的值。

解：（1）證明：∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，∴AB⊥AC。

則∠1+∠2=90°，又∵OC⊥AD，∴∠1+∠C=90°，∴∠C=∠2，

而∠BED=∠2，∴∠BED=∠C。

（2）解：連接BD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴BD=

√AB2-AD2=√102-82=6，∴△OAC∽△BDA，∴OA∶BD=AC∶DA，即5∶6=AC∶8，∴AC= 。

本題知識點是切線的性質(zhì)；余角和補角；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生充分利用了切線的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)求解。這里切線始終在其它眾多知識點中起橋梁作用。

二、從切線與半徑組成直角三角形入手，選擇解題捷徑

圓是初中幾何教學(xué)中的高級階段的原因，使其具有綜合性的特征，解決綜合性題目的關(guān)鍵是尋找各部分知識的聯(lián)系點。如果圓中有切線，而且單單出現(xiàn)與切線相連的半徑，就要很自然的想到直角三角形及勾股定理等相關(guān)知識，出現(xiàn)這樣的思維，解題就降低了難度。

如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值是多少？

分析：因為PQ為切線，所以△OPQ是Rt△。又OQ為定值，所以當OP最小時，PQ最小，根據(jù)垂線段最短，知OP=3時PQ最小。運用勾股定理求解。

解：作OP⊥l于P點，則OP=3。

根據(jù)題意，在Rt△OPQ中，PQ=√32-22=√5。

此題稍有難度，運用的知識是切線的性質(zhì)。它綜合考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識點，如何確定PQ最小時點P的位置是解題的關(guān)鍵。所有P點在L上是動態(tài)的，但我們可以借助圖形，假設(shè)出P點的位置，把它當成定點來思考，切線的知識點在其中就能發(fā)揮較大的作用。

三、從切線與半徑相交形成直角入手，判定切線存在

切線的性質(zhì)固然重要，但是切線的判定也不可忽視，如果我們反過來思考一下切線的存在需要什么條件時，我們便會發(fā)現(xiàn)在論證過程中都離不開切線與半徑或直徑形成直角這一關(guān)鍵。

例3：如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于點E，要使DE是⊙O的切線，還需補充一條件是AB=AC或CD=DB或AC∥OD。

分析：根據(jù)AB=AC，連接AD，利用圓周角定理可以得到點D是BC的中點，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線。根據(jù)CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線。根據(jù)AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以證明DE是⊙O的切線。

解：當AB=AC時，如圖：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，

∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線。

當CD=BD時，AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC

∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切線。

當AC∥OD時，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD?！郉E是⊙O的切線。

本題考查的是切線的判斷，利用條件判斷DE是⊙O的切線，當然可補充的條件還有很多，這些可讓學(xué)生課后思考，圓的切線性質(zhì)與圓的判定定理，及其利用性質(zhì)與定理證明圓的幾何題目里，往往都有90。、垂直、直角三角形這些容易忽略而又十分重要的聯(lián)系點。但是我們可以斷定，利用條件說明DE是⊙O的切線，終結(jié)點必須是先說明DE與半徑的直角關(guān)系。

平面幾何中，《圓》這一章的知識點多，綜合性強，是學(xué)生在初中階段完成平面幾何學(xué)習(xí)的最后關(guān)口，是初中幾何教學(xué)的難點。為了化解與分散教學(xué)難點，教師要時時提醒學(xué)生把握切線的條件和因素認真思考，有計劃的訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形能力，邏輯思維能力，綜合分析問題的能力，及時總結(jié)歸納解題規(guī)律的能力，這樣才能使我們的初中數(shù)學(xué)越教越活，越學(xué)越精。