所謂分類討論思想是指在解決某些數(shù)學問題時，其解決過程包括多種情形，不可一概而論，難以用統(tǒng)一的形式或同一種方法進行處理，需要根據(jù)所研究的對象在性質(zhì)上存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論進行匯總，最終使得整個問題在總體上得到解決。

一、分類討論思想在方程中的應(yīng)用

例：關(guān)于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有實根，求m的取值范圍。

解：①當m-2=0即m=2時，方程-2x+1=0有一個根為x= ；

②當m-2≠0即m≠2時，方程為一元二次方程。

且當b2-4ac=-4m+12≥0即m≤3時，原方程有兩個實數(shù)根

綜上所述，當m≤3時，方程（m-2）x2-2x+1=0有實根。

二、分類討論思想在特殊三角形中的應(yīng)用

例：已知四邊形ABCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含30°角的直角三角形且D在△ABC的外部，求四邊形ABCD的對角線BD的長。

解：①以點A為直角頂點，點D為30°角頂點，或點C為直角頂點，點D為30°角頂點。

在△ACD中，∠CAD=90°，∠ADC

=30°，AC=2∴AD=2√3。

過點D作DE⊥BA的延長線于E，∵∠BAC=60°，∠CAD=90°∴∠DAE=30°在△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°AD=2√3∴DE=√3，AE=3，∴BE=5，∵DB2=DE2+BE2，∴BD=2√7。

②點C為直角頂點，點A為30°角頂點或點A為直角頂點，點C為30°角頂點，在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2∴AD= √3∵∠BAC=

60°，∠CAD=30°∴∠BAD=90°∴DB2=AB2

+AD2∵AB=2，AD= √3∴BD= √21。

③以點D為直角頂點，點C為為30°角頂點或點D為直角頂點，點A為30°角頂點在△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AC=2∴CD=√3∵∠ACB=60°，∴∠BCD=

90°∴DB2=BC2+CD2∵CB=2，CD=√3∴BD

=√7。

綜合以上，BD的長為2√7或 √21或√7。

三、分類討論在動態(tài)型幾何中的應(yīng)用

例：如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上。直線CB的表達式為y=- x+ ，點A、D的坐標分別為（-4，0），（0，4）。動點P從A點出發(fā)，在AB上勻速運行。動點從點B出發(fā)，在折線BCD上勻速運行，速度均為每秒1個單位。當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動。設(shè)點P運動t（秒）時，（不能構(gòu)成△OPQ的動點除外），求△OPQ s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。

解：在梯形ABCD中，AB∥CD，∵D的坐標為（0，4）∴把y=4代入y=- x+ ，得x=1。

∴C點的坐標為（1，4）。

當y=0時，- x+ =0，∴x=4?！帱cB坐標為（4，0）。

過點C作CM⊥AB于M（如圖1），則CM=4，BM=3。

∴BC=√CM2+BM2=√32+42=5。

∴sin∠ABC= = 。

當點P在AO上即0＜t＜4時，

點Q在BC上，作QN⊥OB于N，（如圖1）

則QN=BQ·sin∠ABC= t。

∵AP=t，∴OP=4-t

∴S= OP·QN= （4-t）× t =- t2+ t。

當P在OB上，而點Q在BC上即4＜t≤5時作QN⊥OB于N。（如圖2）同理可得QN= t，OP=t-4，∴S= OP·QN= ×（t-4）× t=- t2+ t。

當點P在仍O(shè)B上，而點Q在CD上即5＜t≤6時，（如圖3）

OP=t-4，點Q到OP邊上的高線等于OD的長∴S= ×OP×OD= （t-4）×4=2t-8。

綜合以上：△OPQ的面積為s與運動時間t之間的函數(shù)表達式為

四、分類討論在相似三角形的應(yīng)用

例：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，CD=2，BC=7，在腰BC上取一點P，使以A、B、P為頂點的三角形與以C、D、P為頂點的三角形相似，求BP的長。

解：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°∴∠C=90°∴∠ABC=∠C，要使以A、B、P為頂點的三角形與以C、D、P為頂點的三角形相似，分以下兩種情況：不妨設(shè)BP=x，則：

①當 = 時，△ABP∽△PCD，即 = 解得：x=1或x=6；②當 = 時，△ABP∽△DCP，即 = 解得：x= 。

∴當BP=1或6或 時，以A、B、P為頂點的三角形與以C、D、P為頂點的三角形相似。

綜合以上，我們知道學習數(shù)學，很重要的一個方面，就是掌握一系列的數(shù)學方法，而分類討論思想就是其中的一技，也是近幾年中考的熱點，學生應(yīng)該在學習中思考，在思考中總結(jié)，這樣才能真正地做到融會貫通，才能提高學生全面考慮問題的能力、培養(yǎng)周密嚴謹?shù)臄?shù)學素養(yǎng)，達到學生解題能力和思維能力的進一步的提升。