眾所周知，“植樹問題”一個是經(jīng)典的數(shù)奧問題，長期備受眾多專家、特級老師的青睞，曾經(jīng)無數(shù)次被搬上“舞臺”演繹出許多經(jīng)典課例。而自新課程改革實(shí)施以來，人教版教材將《植樹問題》以數(shù)學(xué)廣角的形式引入到四年級下冊的教科書中?，F(xiàn)在《植樹問題》作為一個需要普通四年級學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容，它與奧數(shù)課教學(xué)有什么區(qū)別？它的教學(xué)目標(biāo)如何定位？教學(xué)方式又如何選擇呢？以下我將結(jié)合我的課例來談一些想法。

【課堂實(shí)錄】

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

（出示情境）為了綠化校園，學(xué)校要在一條全長20米的小路一邊種樹。每隔5米種一棵。想一想，要種多少棵樹？（3棵，4棵，5棵）

師：把你的想法畫出來。（白紙，水彩筆）

展示想法：請3棵，4棵，5棵的分別上臺擺一擺，擺好后說說你的想法。

師：看看這三位同學(xué)他們用磁鐵表示樹，是怎么種的呢？請他們分別來說一說！（重點(diǎn)理解：每隔5米、間隔及兩端）

師：比較擺的這三種情況有什么不同？

生：只種一頭，兩頭都種，兩頭都不種。

師：我們可以說是只種一端，兩端都種，兩端都不種。這兩端就是路的兩頭。（板書）

二、探究規(guī)律，建立模型

1.建立表象

師：下面我們先重點(diǎn)來研究一下兩端都種的情況。如果路長是10米、15米、25米、30米，每隔5米種一棵（兩端都種），各要種多少棵樹呢？先想一想，再用一條線段表示小路畫一畫，驗(yàn)證一下！

反饋交流：

師：咱們一起看屏幕來交流一下！先看10米，可以種幾棵？你是怎么種的？

生：我是先種一棵，隔5米種一棵，再種一棵，可以種3棵。

師：用這位同學(xué)的方法15米怎么種呢？先看一看。

師：25米呢？看著屏幕用手指跟著種一種。

師：30米又怎么種呢？閉上眼睛，你眼前出現(xiàn)種樹的畫面了嗎？

師：誰來說說是怎樣的畫面？看看，是這樣嗎？那全種對的舉手！

2.探究規(guī)律

師：如果一條長1000米的小路，你們還畫嗎？1萬米呢？那怎么辦？（列式計算）

師：這些你能列出算式嗎？板書：10÷5+1=3（棵）15÷5+1=4

（棵）25÷5+1=6（棵）30÷5+1=7（棵）

師：可是這里的每個算式只能表示一種情況，要是能只用一個算式來表示所有的情況，那就了不起了！

生1：A÷5+1

生2：總長÷間距+1=棵數(shù)

師：我發(fā)現(xiàn)大家不約而同的都先用“總長÷間距”，那它求的是什么？（間隔數(shù)）指著圖來說一說？（幾段就是幾個間隔，間隔的個數(shù)就叫間隔數(shù)，而間隔數(shù)+1就等于棵數(shù)。）

師：所以我們就說在兩端都種的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

3.嘗試應(yīng)用

師：現(xiàn)在如果路長20米不變，每隔10米種一棵（兩端都種），要種多少棵呢？請直接說算式、結(jié)果。

生：20÷10+1=3（棵）

師：再變一變，每隔4米種一棵（兩端都種），要種多少棵？

生：20÷4+1=6（棵）

三、應(yīng)用模型，解決問題

1.基本練習(xí)

（1）學(xué)校召開秋季運(yùn)動會，在筆直的跑

道一旁插彩旗。跑道全長100米，每隔2

米插一面（兩端都要插）。需要多少面彩旗？

（2）在一條長36米的走廊一邊擺花，每隔4米擺一盆（兩端都擺）。一共需要多少盆花？

（3）明明在屋旁的小路一邊種樹。小路全長21米，從路口開始每隔3米種一棵。至少要種多少棵樹？

師：不過剛才太小兒科了，敢不敢接受新的挑戰(zhàn)？請拿出練習(xí)紙（二）獨(dú)立完成基本練習(xí)3小題。

師：第一題幾面？幾盆？

生：100÷2+1=51（面）；36÷4+1=10（盆）；

師：第三小題要種幾棵？分別來聽聽他們是怎么想的？有不同意見嗎？

生1：21÷3+1=8（棵）因?yàn)閮啥硕家N所以要加1。

生2：21÷3-1=6（棵）因?yàn)閮啥硕疾环N，至少要6棵。

生3：21÷3=7（棵）因?yàn)閺穆房陂_始種，房子這端不用種樹，所以至少種7棵。

師：誰說的更有道理？這相當(dāng)于哪一種情況？（只種一端）

師：再來看看線段圖，如果這一端都造了一所房子，棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢？（棵數(shù)=間隔數(shù)）

師：你是怎么想的？

生1：兩端都種要加1，少了一棵，就不用加了。（了不起，你是從兩端都種推出來的。）

生2：一端不種，間隔數(shù)就和棵數(shù)一樣了。（課件演示）

師：這頭也跟著造了，又有什么關(guān)系呢？（棵數(shù)=間隔數(shù)-1）

師：結(jié)合圖說說你是怎么理解的？

小結(jié)：看來，我們在解決這類問題時，要先分清它屬于哪一種情況，再根據(jù)實(shí)際選擇合適的方式。

2.拓展練習(xí)

（1）用一根長54米的繩子剪跳繩，每6米剪一根，一共要剪幾次？

（2）同學(xué)們排成兩行做操，隊伍全長8米，每兩人之間相距1米。一共有多少人？

師：請靜靜地讀題，想一想它們相當(dāng)于哪一種情況，選擇合適的方法算一算。

匯報：它相當(dāng)于哪種情況？

生1：54÷6-1=8（次）（相當(dāng)于只種一端）

生2：8÷1+1=9（人）這相當(dāng)于兩端都種。

四、總結(jié)延伸

師：其實(shí)，像剛才那樣的植樹、插旗、排隊等問題，它們的解題策略基本一致，我們把它們統(tǒng)稱為“植樹問題”。想一想，生活中還有這樣的植樹問題嗎？請舉例說一說！

師：確實(shí)，只要我們細(xì)心觀察，生活中還有更多更有挑戰(zhàn)性的問題等著我們?nèi)ソ鉀Q，比如小朋友們排隊，如果排成個圈兒，棵數(shù)與間隔數(shù)之間會藏著怎樣的秘密呢？就留給大家課后去思考吧！

【思考與感悟】

《植樹問題》是人教版教材四年級下冊第117~120頁例1、例2、例3的內(nèi)容。本課內(nèi)容是學(xué)生第一次在教材中接觸“植樹問題”，但一部分學(xué)生在興趣小組、校外培訓(xùn)等活動中對“植樹問題”已經(jīng)有了不同程度的認(rèn)識。因此，教學(xué)時，以教材例1中生活中的植樹問題引入，讓學(xué)生初步感知植樹問題三種常見的類型。在此基本上以兩端都種的植樹問題為重點(diǎn)展開研究，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生在畫一畫，看一看，想一想的過程中建構(gòu)植樹問題的數(shù)學(xué)模式，溝通植樹問題三種情況之兩端都種間的聯(lián)系，形成解決植樹問題的基本解題策略體系。數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)不應(yīng)是簡單的線性的建構(gòu)，而應(yīng)是如同建筑模型般的三維立體的建構(gòu)。那么在教學(xué)中如何建構(gòu)真正意義上的“立體”數(shù)學(xué)模式呢？在經(jīng)過數(shù)次教學(xué)實(shí)踐后，我不斷改進(jìn)，不斷反思，對此有了更加深入地思考。

策略一：量的積累

世界上任何事物的變化發(fā)展，都是首先從量的積累開始的。只有當(dāng)量的積累超過一定的范圍和限度才會引發(fā)質(zhì)的變化。在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中亦是如此，一定的感性經(jīng)驗(yàn)的積累是十分必要的，特別是像《植樹問題》此類應(yīng)用規(guī)律解決問題的課型。教材中只呈現(xiàn)了一個學(xué)生利用線段圖探究規(guī)律解決問題的過程，而其背后所蘊(yùn)涵的應(yīng)是一個學(xué)生大量的實(shí)踐操作的過程。只有當(dāng)學(xué)生擁有了足夠量的感性活動經(jīng)驗(yàn)積累之后，才能對事物有所感悟，進(jìn)而抓住問題的本質(zhì)。鑒于此我是這樣設(shè)計的：當(dāng)學(xué)生獨(dú)立嘗試畫出長10米、15米、25米、30米各條路上種樹情況后，師生利用課件再次看線段圖，回顧種樹的過程。之后教師順勢問道：“如果一條長1000米的小路，你們還畫嗎？那怎么辦呢？”學(xué)生們爭先恐后地說：“可以列式計算?！睂W(xué)生邊回答，教師邊板書：10÷5+1=3 15÷5+1=4 25÷5+1=6 30÷5+1=7 1000÷5+1=201。至此實(shí)踐感悟、列式解答就一氣呵成了。在教師引導(dǎo)下學(xué)生嘗試用一個算式或一句話來表示這些情況。如生1：A÷5+1；生2：總長÷間距+1=棵數(shù)。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)植樹問題在兩端都種的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不斷畫線段圖、反復(fù)看線段圖，從而積累豐富了感性活動經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

策略二：質(zhì)的感悟

量的積累成就質(zhì)的感悟，但這里所指的“量”絕不是知識的簡單疊加，更需要對知識的深化、突破、超越。因而，我們建構(gòu)數(shù)學(xué)模式時，要抓準(zhǔn)問題的本質(zhì)，逐步積累感悟數(shù)學(xué)模型本質(zhì)的東西。教材只以情境對話的形式呈現(xiàn)學(xué)生從一組簡單數(shù)據(jù)入手，利用線段圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題的對話情境，沒有具體的問題解決的過程。而許多教師未能真正解讀教材意圖，盲目地讓學(xué)生畫線段圖，得出規(guī)律，將數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)過程簡單歸結(jié)為利用表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。如此簡單的理解數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)是不可取。讓我們通過兩個課例中兩張不同的表格設(shè)計來解讀其中所蘊(yùn)涵的不同的教學(xué)思想。

課例一借助表（一）讓學(xué)生在畫一畫、填一填的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（兩端都種）棵數(shù)=間隔數(shù)+1，從而建構(gòu)兩端都種植樹問題的數(shù)學(xué)模型。如此設(shè)計表面看來合情合理，然而事實(shí)卻是否定的！在教師指令性的操作下，圖表暗示作用下，學(xué)生雖能迅速歸納出數(shù)學(xué)模式，但對于數(shù)學(xué)模式的理解卻只停留于文字表面，知其然而不知其所以然。課例二中同樣是利用表格，但呈現(xiàn)的內(nèi)容、方式變活了；同樣是實(shí)踐操作，但操作對象的思維得到充分展示；同樣是建構(gòu)模式，但更關(guān)注數(shù)學(xué)模式建構(gòu)的過程。教師借助數(shù)形結(jié)合思想，充分利用線段圖將植樹問題中棵數(shù)與間隔數(shù)之間內(nèi)在的“一一對應(yīng)”聯(lián)系在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起清晰的表象。從表（一）到表（二）的轉(zhuǎn)變，是從注重結(jié)論到注重過程的轉(zhuǎn)變，是從“是什么”到“為什么”的轉(zhuǎn)變，是教學(xué)思想方法的一次飛躍。

策略三：形的豐滿

在現(xiàn)實(shí)生活中，植樹問題披著形形色色的外衣，存在著復(fù)雜多樣的情況，如安裝路燈、走樓梯、鋸木頭，而學(xué)生常常會被這些美麗的外表所迷惑。因此，我們必須抓住它們的本質(zhì)，從這些復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出它們最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模式。我在設(shè)計時考慮到實(shí)際生活的紛繁復(fù)雜，在新課伊始就將植樹問題的三種不同情況（兩端都種、只種一端、兩端都不種）完整地呈現(xiàn)給學(xué)生，然后以兩端都種為基礎(chǔ)展開研究，充分利用線段圖幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起一個完整的植樹問題的數(shù)學(xué)模式。在練習(xí)設(shè)計時，我注重習(xí)題的靈活性、開放性，避免學(xué)生死記規(guī)律機(jī)械化操作。如在基本練習(xí)中我設(shè)計了“明明在屋旁的小路一邊種樹。小路全長21米，從路口開始每隔3米種一棵。至少要種多少棵樹？”這一習(xí)題。讓學(xué)生在解決具體問題情境的過程，發(fā)現(xiàn)并感悟植樹問題其它兩種情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的聯(lián)系，并學(xué)會根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方式解決問題。

兩端都種 只種一端 兩端都不種

在這個環(huán)節(jié)中，教師利用線段圖逐步建立間隔數(shù)與棵數(shù)之間的“一一對應(yīng)”關(guān)系，溝通三種不同情況之間的聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)模式學(xué)生頭腦中完整地構(gòu)建，并不斷豐滿起來。

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是在對新舊知識的否定之中經(jīng)歷無數(shù)個建構(gòu)、解構(gòu)與重構(gòu)的過程。因此，任何一個數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)都不可能是一蹴而就的，如同制作建筑模型般，它需要充足的材料，充足的時間，更需要充足的耐心來搭建它。切莫讓結(jié)果代替過程，與學(xué)生一起共同經(jīng)歷這個不可或缺的美妙的建構(gòu)過程吧！