【摘 要】排列組合問題的內(nèi)容比較抽象，解題方法比較靈活，很多學(xué)生感到難學(xué)，尤其在解應(yīng)用題時(shí)不知從何入手。針對上述情況，本文從排列組合問題的解題原則和解題策略兩方面闡述了解排列組合應(yīng)用題的方法，并附以相應(yīng)的例題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 排列組合 解題技巧

排列組合問題歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，其思考方法獨(dú)特，求解思路靈活，因而在解題中極易出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤。雖然近幾年高考將側(cè)重點(diǎn)放在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查上，但當(dāng)對問題類型把握準(zhǔn)確時(shí)，解答的準(zhǔn)確性上將會(huì)有很大的提升，解答速度也會(huì)大大提高，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討數(shù)學(xué)排列組合試題的解題技巧。

一、在具體的教學(xué)過程中一定要引導(dǎo)學(xué)生注意以下幾點(diǎn)

1. 使用“分類計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定，“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。

2. 處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

3. 在解決排列組合綜合問題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進(jìn)行分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)。

二、具體的操作方法

（一）相鄰捆綁、不鄰插空法

對于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

例16名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（ ）種。

A、720B、360C、240D、120

解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人進(jìn)行全排列，由乘法原理可知，共有240種不同排法，故選（C）。

【解析】從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是對元素進(jìn)行整體處理的形象化表述，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的整體思想。對于以“某些元素必須相鄰”為附加條件的排列組合問題，只要把必須相鄰的元素“捆”成一個(gè)整體，視作一個(gè)“大”元素，再考慮相鄰元素內(nèi)部的排列或組合，就能保證這些元素相鄰而不散亂。

（二）插板法

一般解決相同元素分配問題，而且對被分成的元素限制很弱（一般只要求不等于零），只對分成的份數(shù)有要求。

例2 把20臺(tái)電腦分給18個(gè)村，要求每村至少分一臺(tái)，共有多少種分配方法？

A.190""" B.171""" C.153""" D.19

【答案】B。【解析】此題的想法即是插板思想：在20電腦內(nèi)部所形成的19個(gè)空中任意插入17個(gè)板，這樣即把其分成18份，那么共有： C（19，17）=C（19，2）=171 種。

（三）特殊位置和特殊元素優(yōu)先法

對有限制的排列組合問題中的特殊元素或特殊位置優(yōu)先考慮。

例3 從6名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的參賽方案各有多少種？

A.120""" B.240 """C.180""" D.60

【答案】B?！窘馕觥糠椒ㄒ唬禾厥馕恢脙?yōu)先法：首先填充第一棒，第一棒共有5個(gè)元素可供選擇，其次第4棒則有4個(gè)元素可以選擇；然后第2棒則有4個(gè)元素可以選擇，第3棒則有3個(gè)元素可以選擇。則共有5×4×4×3=240種。

方法二：特殊元素優(yōu)先法：首先考慮甲元素的位置

第一類，甲不參賽有A（5，4）=120種排法；

第二類，甲參賽，因只有兩個(gè)位置可供選擇，故有2種排法；其余5人占3個(gè)位置有A（5，3）=60種占法，故有2×60=120種方案。

所以有120+120=240種參賽方案。

（四）分類法

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

例4 三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形有多少個(gè)？

解：設(shè)三角形的另外兩個(gè)邊分別為x和y，要構(gòu)成三角形，則分類討論如下：

當(dāng)y為11時(shí)，x可以為：1，2，3，…，11，可有11個(gè)三角形；

當(dāng)y為10時(shí)，x可以為：2，3，4，…，10，可有9個(gè)三角形；

當(dāng)y為9時(shí)，x可以為：3，4，5，…，9，可有7個(gè)三角形；

當(dāng)y為8時(shí)，x可以為：4，5，6，7，8，可有5個(gè)三角形；

當(dāng)y為7時(shí)，x可以為：5，6，7，可有3個(gè)三角形；

當(dāng)y為6時(shí)，x可以為：6，只有1個(gè)三角形；

所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36個(gè)。

總之，課堂教學(xué)中教師應(yīng)該發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。

【參考文獻(xiàn)】

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