極限是用以描述變量在一定變化的過程中的終極狀態(tài)的概念。是人們從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。教師要在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中針對小學(xué)生的年齡和思維特點(diǎn)，將現(xiàn)行小學(xué)教材中的極限思想有意識(shí)地進(jìn)行分層遞進(jìn)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟并獲取初步極限思想。

一、從具體到抽象，感受無限延伸

現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含著豐富的無限延伸的情況。 如在教學(xué)奇數(shù)、偶數(shù)、 自然數(shù)等的概念時(shí)，教師可讓學(xué)生感受到奇數(shù)、偶數(shù)個(gè)數(shù)的無限多個(gè)，自然數(shù)個(gè)數(shù)是數(shù)也數(shù)不完的。又如在循環(huán)小數(shù)教學(xué)中，2÷3=0.666……是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，無限延伸，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的。通過這些方面讓學(xué)生初步感受“無限”思想。

在“圖形與幾何”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念也是非常重要的。如直線、射線、角的邊、平行線的長度等，它們都是可以無限延伸的。這些概念是只存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結(jié)果。而這種想象又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必不可少的基礎(chǔ)能力。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從有形到無形體驗(yàn)，感受圖形無限延伸，以增強(qiáng)在圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的效果。

例如，“射線的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段。

師：請同學(xué)們在白紙上畫一條2厘米長的線段，說一說它有什么特點(diǎn)。

生：它是直的，用尺可以量出長度，它有兩個(gè)端點(diǎn)。

師：請同學(xué)們在白紙上畫一條3厘米長的直線，有什么問題?

生：不對!直線是沒有長短的！

師：為什么?

生：因?yàn)橹本€可以向兩邊無限延長。

師：無限延長是什么意思?

生：就是無限的長，沒完沒了的意思。

師：下面請同學(xué)們仔細(xì)觀察老師的演示(將紅色激光電筒射向天空)，如果光束沒有受到阻礙的話，請你畫出來。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的射線，它有什么特點(diǎn)呢?

生：一個(gè)端點(diǎn)、直的、可以向一個(gè)方向無限延長、不可度量。

讓學(xué)生一下子認(rèn)識(shí)到圖形的無限性是有一定難度的，上面的教學(xué)片段中，教師通過學(xué)生自己動(dòng)手，建立起對線段、射線、直線認(rèn)知的矛盾沖突，這樣巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)使得學(xué)生輕松地建立了對直線、射線的無限的空間感觀，真實(shí)、自然又不失嚴(yán)密。在我們周圍的事物中，是找不到那種可以真正地被看成是“無限的直線”的東西的。學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何空間想象，極限思想在圖形概念形成初期呼之欲出，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆。

二、從持續(xù)延伸到無限逼近，體驗(yàn)極限狀態(tài)

由于小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸體驗(yàn)到什么是無限地逼近。因此，逐步體驗(yàn)逼近是形成極限思想的另一個(gè)重要方面。

例如，在“循環(huán)小數(shù)”的教學(xué)中，0.99……這個(gè)數(shù)無論小數(shù)點(diǎn)后面9的個(gè)數(shù)怎樣增多，它始終只能越來越接近1，而不等于1。為了幫助學(xué)生體驗(yàn)極限狀態(tài)，教師讓學(xué)生比較0.99……和1大小，讓學(xué)生找大于0.99……而小于1的數(shù)，學(xué)生找不到這樣的數(shù)，從而告訴學(xué)生0.99……無限逼近1。讓學(xué)生體驗(yàn)到“0.99……”這個(gè)小數(shù)后面的“9”有無限多個(gè)，誰都數(shù)不完，但有一點(diǎn)是肯定的，這個(gè)數(shù) 無限逼近的終極狀態(tài)就是1，但又不等于1。

又如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)解決問題”時(shí)，在學(xué)生完成“一塊面包，今天吃它的，明天吃它剩下的，還剩這塊面包的幾分之幾？”后，教師又出了這樣一道思考題：一塊面包，今天吃它的，明天吃它的的，后天吃它的的的……如果一直這樣下去，這塊面包吃得完嗎？通過學(xué)生的討論得出這樣的結(jié)論：這塊面包是永遠(yuǎn)吃不完的，理論上是這樣，實(shí)際上也是這樣，盡管面包越來越小，但還是有的（只要你有耐心，灰塵大的物質(zhì)都是有的）。我們只能說，這塊面包最后的極限為零，但卻絕不為零。為了讓學(xué)生充分體驗(yàn)極限狀態(tài)，上面的例子我們還可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合法畫圖幫助理解。

以上的例子，使極限理論中無限逼近的概念在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生了朦朧的定義。這為他們將來學(xué)習(xí)極限理論，提高抽象思維，做了很好的鋪墊。

三、從無限逼近到極限，“感悟”極限思想

例如我在教學(xué)《圓的面積》這一課時(shí)，學(xué)生把圓八等分，拼成近似的平行四邊形時(shí)，有一個(gè)學(xué)生突發(fā)奇想。他認(rèn)為將形如波浪的部分剪掉變成直線就可以求平行四邊形的面積，圓的面積也就可以求了。更可貴的是，這位學(xué)生在教師的鼓勵(lì)下說出了變曲為直的思想。之后，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生討論后，得出用“無限細(xì)分”的方法可以既不改變原面積的大小，又能把曲線變直。

又如通過多媒體課件演示，把圓平均分成若干份時(shí)，有的學(xué)生會(huì)提出其中的一份有點(diǎn)像三角形。教師適時(shí)跟進(jìn)提出：“那么有沒有辦法使它更像三角形”的問題。學(xué)生通過討論得出“分的份數(shù)越來越多，且這樣一直分下去就無限逼近三角形”的結(jié)論。同時(shí)，教師通過課件讓學(xué)生充分感受到每個(gè)扇形的弧的形狀視覺變化，即分的份數(shù)越來越多，弧就由曲變直的過程，增強(qiáng)形象直觀感。當(dāng)n無窮大時(shí)，這個(gè)小扇形可以看作是一個(gè)三角形。因?yàn)槿切蔚母叩扔趫A的半徑，底等于圓周長除以n，所以n個(gè)三角形的面積S= (2πr÷n)×r÷2×n =πr2。從而同樣能推導(dǎo)出圓的面積S=πr2。從這個(gè)角度探究極限，操作方便，學(xué)生易接受，且自主性高，能有效深化極限思想。

以上計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，采用化圓為方、變曲為直的極限分割思路。在觀察有限分割的基礎(chǔ)上，想象無限細(xì)分，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的終極狀態(tài)。這樣不僅使學(xué)生掌握了圓的面積計(jì)算公式，而且非常自然地在“曲”與“直”的矛盾轉(zhuǎn)化中獲取無限逼近的極限思想。這個(gè)過程中從“分得分?jǐn)?shù)越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程，感悟極限思想的巨大價(jià)值。學(xué)生有了這個(gè)基礎(chǔ)，在以后推導(dǎo)圓柱體的體積公式時(shí)就會(huì)自然而然地想起這種方法，從而為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，在不斷的應(yīng)用中初步獲得極限思想。

在小學(xué)階段極限思想的獲取可以在著重培養(yǎng)學(xué)生的“無限”想象力，在圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念、體驗(yàn)無限逼近、領(lǐng)悟終極狀態(tài)等方面下工夫，形成一個(gè)系統(tǒng)性的循序漸進(jìn)策略。

（作者單位：福建省平潭實(shí)驗(yàn)小學(xué)?搖?搖?搖責(zé)任編輯：王彬）