一、在抽象概括中建立數(shù)學(xué)模型

用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是世界性語(yǔ)言，正如華羅庚所說(shuō)的：“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象，正因?yàn)槿绱?，用符?hào)表示就更具有廣泛的應(yīng)用性與優(yōu)越性?！苯虒W(xué)時(shí)，教師要注意設(shè)計(jì)一些利用符號(hào)分析的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)來(lái)表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，讓學(xué)生看到用符號(hào)表示數(shù)學(xué)模型的價(jià)值所在。

例1：人教版四年級(jí)下冊(cè)第123頁(yè)的“圖文題”配有下面的文字：一張桌子坐6人，兩張桌子并起來(lái)坐10人，三張桌子并起來(lái)坐14人……照這樣，10張桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少?gòu)堊雷硬拍茏拢?/p>

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，主要有以下幾種方法：方法一：第一張桌子與增加的桌子坐的人數(shù)之和：6＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝42（人）；方法二：如果第一張也坐4人，就有4×10＋2＝42（人）；方法三：第一張桌子坐6人與增加的9張桌子坐的人數(shù)之和：6＋4×9＝42（人）。

方法一雖然是運(yùn)用表象和已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用具體的數(shù)量關(guān)系直接求和，但卻為方法二、三的數(shù)學(xué)建模打下了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)；方法二、三是學(xué)生鑒于數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單，利用直覺(jué)思維快速求解，構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型雖不精確，但離精確的數(shù)學(xué)模型也只有一步之遙了。

方法四：用列表格的方法表述建模和解題過(guò)程。這是教師刻意引導(dǎo)學(xué)生用列表的方法表述建模和解題的過(guò)程。

方法四，學(xué)生在對(duì)1、2、3張桌子坐的人數(shù)仔細(xì)觀察的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)分析與綜合、比較與推理的思維活動(dòng)，有根有據(jù)地構(gòu)建了精確的用字母符號(hào)表示的數(shù)學(xué)模型：如果將數(shù)量關(guān)系式6＋4×（10－1）中的“10”（桌子數(shù)）用符號(hào)“x”表示，則成為代數(shù)式6＋4×（x－1），就是建立了一個(gè)解決這類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。有了這個(gè)模型，適用范圍更廣了，可以解決任意張數(shù)桌子可以坐多少人的問(wèn)題。因此，幾種方法相比，方法一、二、三只解決了一個(gè)問(wèn)題，而方法四由于建立了正確的數(shù)學(xué)模型就能解決一類(lèi)問(wèn)題了。同時(shí)為解決第二個(gè)問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有著很多相通之處，同樣具有普遍的意義。

二、在解決問(wèn)題中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型思想和符號(hào)化思想都是經(jīng)過(guò)抽象后用符號(hào)和圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是它們的共同之處。但是符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和符號(hào)表達(dá)，而數(shù)學(xué)模型思想更重視如何經(jīng)過(guò)分析抽象建立數(shù)學(xué)模型，更加重視數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，即通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題。

如在六年級(jí)教材中多次出現(xiàn)圓與正方形關(guān)系的內(nèi)容，學(xué)生就題論題，如果題目稍加變化就束手無(wú)策，如果嘗試用數(shù)學(xué)建模與模型應(yīng)用，就能幫助學(xué)生打開(kāi)思路。

例2：從一個(gè)面積是12平方厘米的正方形紙板上剪下一個(gè)最大的圓，求圓的面積。

思考：在正方形中剪一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積與正方形面積有什么關(guān)系？

設(shè)：正方形的邊長(zhǎng)為2，正方形的面積是4，而圓的面積是1×1×3？郾14＝3？郾14，圓的面積是正方形面積的■。

在正方形中剪一個(gè)最大的圓的數(shù)學(xué)模型：圓的面積就是正方形面積的■。正方形的面積就是圓面積的■。

解：12×■＝9？郾42（平方厘米）。

上述例子由于建立了正確的模型就可以輕松解決問(wèn)題，避免了用常態(tài)方法（已知半徑求面積）無(wú)法解決帶來(lái)的尷尬和無(wú)奈，但是這樣的模型除了解決該題外，還可以應(yīng)用在哪些問(wèn)題中呢？

變化1：如圖，等腰直角三角形的面積是10平方米，求空白半圓的面積。

（原圖）

思考：還能用例2的模型嗎？能！只要再補(bǔ)充一個(gè)與左圖完全相同的圖形，就得到一個(gè)正方形和它內(nèi)部的最大圓（右圖），因此，在左上圖中，空白半圓的面積仍占整個(gè)三角形面積的■。那么，空白半圓面積＝10×■＝7？郾85（平方米）。

變化2：圖中，正方形的面積是6平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

思考：能用以上的模型嗎？能！

解1：6×4＝24（平方厘米），24×■＝18？郾84（平方厘米）。（仿例1）

解2：6×■×4＝18？郾84（平方厘米）。（仿變化1）

解3：6×3？郾14＝18？郾84（平方厘米）。（正方形的邊長(zhǎng)正好是圓的半徑，即6就是r的平方，巧妙）

變化3：（人教版六年級(jí)下冊(cè)第30頁(yè)第6題）一個(gè)正方體木料的棱長(zhǎng)為4分米，把它加工成一個(gè)最大的圓柱體，圓柱體的體積是多少立方分米？

思考：由平面圖形到立體圖形，模型變了嗎？沒(méi)變！

解：4×4×4×■＝50？郾24（立方分米）。

例3：圖中，正方形的面積是10平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

思考：在圓中剪一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形與圓的面積有什么關(guān)系？

（例3與例2的數(shù)學(xué)模型不同，因此需要重新建構(gòu)）

設(shè)：圓的直徑為2，正方形的面積為2×1÷2×2＝2，圓的面積為1×1×π，則正方形面積 ∶ 圓的面積＝■。

解1：圓的面積是10÷■＝5×3？郾14＝15？郾7（平方分米）。（這種解法是利用新的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的）

解2：連接正方形的兩條對(duì)角線（畫(huà)輔助線），將正方形分成四個(gè)相等的等腰直角三角形，那么兩個(gè)等腰直角三角形可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為r的小正方形。小正方形的面積是大正方形面積的■，因此小正方形的面積是5平方厘米，圓的面積為5×3？郾14＝15？郾7（平方厘米）。（這種解法溝通了例1和例2兩種數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系，變“圓中求方”為“方中求圓”。）

解3：5×■×4＝15？郾7（平方厘米）。

上述的過(guò)程，實(shí)際上就是一個(gè)抽象數(shù)學(xué)模型、用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的過(guò)程。在例2、例3中讓學(xué)生找出圓面積與正方形面積的內(nèi)在聯(lián)系，即建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。變式題，依然是根據(jù)已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，使得數(shù)學(xué)模型得到及時(shí)的鞏固和應(yīng)用，目的是學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能夠運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想來(lái)解題，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

總之，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想，首先教師要有濃厚的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生把自己當(dāng)作解決某個(gè)問(wèn)題的探究者，讓學(xué)生看到自己運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法的完整過(guò)程。通過(guò)教師經(jīng)常的示范去熏陶學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。其次，在教師指導(dǎo)下，讓學(xué)生常常經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決問(wèn)題的過(guò)程。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 責(zé)任編輯：王彬）