一、從人們?nèi)绾握J識數(shù)學的角度看

1 演繹推理，是從一般到特殊的推理，只要前提為真，符合邏輯規(guī)則，那么結論就可靠。它通常包括直接演繹（由一個前提直接推出結論）和間接演繹（由兩個或兩個以上前提推出結論）。

演繹推理具有“三段論”的形式，它是由大前提（一般的判斷）、小前提（特殊的判斷）、結論（最后的判斷）這三個判斷組成的。例如，一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)（大前提）；258各位上的數(shù)字和15是3的倍數(shù)（小前提）；所以，258是3的倍數(shù)（結論）。

2 合情推理，是從特殊到一般的思想，通過研究一些具體、特殊的情況，達到認識一般規(guī)律的目的，它是人們認識未知的一種重要思想。歸納推理就是一種從特殊到一般的推理，它是一種合情推理，是在觀察分析問題的幾個簡單、特殊情況，從中總結規(guī)律，發(fā)現(xiàn)一般問題的解答的思想方法。

例如，六年級下冊第94頁第3題，（1）多邊形內(nèi)角和與它的邊數(shù)有什么關系？（2）一個九邊形的內(nèi)角和是多少度？通過學生思考三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，由三角形內(nèi)角和是180°×（3—2），四邊形內(nèi)角和是180°×（4—2），五邊形內(nèi)角和是180°×（5—2），從中發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與它邊數(shù)的關系，推出規(guī)律：內(nèi)角和的度數(shù)=180°×（邊數(shù)—2）。這是一種不完全歸納推理，不完全歸納推理是在研究某個事物或現(xiàn)象的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎上，對這一事物或現(xiàn)象作出一般結論的。不完全歸納推理所得到的結論可能是正確的，也可能是錯誤的。例如，由4是偶數(shù)，4也是合數(shù)；6是偶數(shù)，6也是合數(shù)；8是偶數(shù)，8也是合數(shù)；推得一切偶數(shù)都是合數(shù)，這個結論就不正確。雖然不完全歸納推理得到的結論可能正確也可能錯誤，但是它能幫助人們迅速地去發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，提供研究的線索和方向。

有時在解決問題中，從特殊到一般和從一般到特殊這兩種思想方法需要結合使用。

例如，3⁵⁸⁶除以5的余數(shù)是多少？如果你一心一意想把586個3連乘，企圖得到它們的積，再把積除以5求余數(shù)，盡管你的整數(shù)乘法基本功很好，也是難以求得答案的，因為這是一個天文數(shù)字。正確的思考方法是：1.先把問題一般化：問3ⁿ（n表示自然數(shù)）除以5的余數(shù)是什么？如果能夠解答這個一般問題，那么當n=586時，便是本題的答案。2.使用歸納法，從n=1，2，3，……入手，探求一般問題的結論。當，n=1時，3¹=3，除以5的余數(shù)是3；當n=2時，3²=9，除以5的余數(shù)是4；當n=3時，3³=27，除以5的余數(shù)是2；當n=4時，3⁴=81，除以5的余數(shù)是1；當n=5時，3⁵=243，除以5的余數(shù)是3；當n=6時，3⁶=729，除以5的余數(shù)是4……從上面可以看出，當，n從1開始按順序取值時，3ⁿ除以5的余數(shù)依次以3、4、2、1周期反復出現(xiàn)。這就是上述一般問題的解答。3.使用演繹法，從一般規(guī)律求當n=586時本題的解答，因為586被4除余2，所以3⁵⁸⁶除以5的余數(shù)是4。

3 類比思想，從特殊到特殊的思想。人們研究魚為什么在水中能自由浮沉，設計發(fā)明了潛水艇；從雞蛋殼的結構，發(fā)明了薄殼建筑等，這些都是人類模仿生物特性創(chuàng)造發(fā)明的成果，使用的思想方法就是類比思想。

類比思想是小學數(shù)學常用到的思維方法。例如，由整數(shù)的運算定律遷移到小數(shù)、分數(shù)的運算定律，解決問題中數(shù)量關系相近的問題的類比等。小學數(shù)學中的類比推理除了能有效地促進知識的遷移，還能進一步加強新舊知識間的聯(lián)系，引導學生從知識點形成知識鏈，并進一步形成知識面，完成知識的系統(tǒng)化。例如，整數(shù)四則運算與小數(shù)四則運算的類比，還能幫助學生有效地掌握運算法則。

類比推理并不是論證，由類比推理所引出的結論并不一定是正確的，例如由“a×3=b×3，則a=b”；類比推出“a×0=b×0，則a=b”，后者就不一定正確，但是類比思想在科學假設中常常能起到很大的作用。

二、從數(shù)學間的區(qū)別和轉化的角度看

1 分類的思想。分類是一種重要的數(shù)學思想，分類思想是根據(jù)對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將屬性對象按一定的秩序區(qū)分為不同種類的思想，它以比較為基礎，能夠揭示數(shù)學對象之間的聯(lián)系與區(qū)別，有助于更準確完整地認識事物。學習數(shù)學的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類（整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)：奇數(shù)、偶數(shù)；質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1等）、圖形的分類（角的分類、三角形的分類等）。在研究數(shù)學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解分類標準是多樣的，不同的分類標準會有不同的分類結果。例如，《三角形的分類》一課。制定教學目標時，一方面要求讓學生牢固掌握三角形角的特征，另一方面還應重點讓學生去感悟抽象或分類的數(shù)學思想。教學的具體實施，更要時刻圍繞著這樣的目標去展開。比如，當學生不能正確分類時，可以引導學生去觀察角的特征，使分類得以進行：當學生出現(xiàn)將三角形按角分成直角三角形和沒有直角的三角形（斜三角形）兩類或直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三類時，則可以引導學生去對比其中的聯(lián)系，使學生認識鈍角三角形、銳角三角形都是在斜三角形基礎上的細化分類，都完全符合概念分類的原則，都完整地展現(xiàn)了分類的結果。這樣不僅直觀體現(xiàn)了分類的思想，還能夠有效地支撐學生進一步明確概念之間的邏輯關系。

學會分類，可以有助于學習新的數(shù)學知識，有助于分析和解決數(shù)學問題。例如，等腰三角形中有一個角是80°，它的另外兩個角分別是多少度？就要將問題分兩類未思考：①當頂角為80°時，另外兩個角分別為50°，50°。（②當?shù)捉菫?0°時，另外兩個角分別為80°，20°。

2 化歸的思想。在許多情況中，我們遇到的數(shù)學問題所蘊含的模式難以檢索到相關的數(shù)學知識，就常常需要將原有的數(shù)學問題進行一定的轉化，這在數(shù)學上稱為化歸，化歸也是普遍使用的一種數(shù)學思想。其基本思想就是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。其基本方法是：在考察待解決的問題時，能意識到與對象有內(nèi)在聯(lián)系的其他諸多對象，將原對象化歸為一個較為熟悉的另一個對象，最終達到對原問題的解答。

化歸思想作為最基本的數(shù)學思想之一，在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的過程中無所不在。例如，六年級上冊的“雞兔同籠”的教學。由于“雞兔同籠”問題解決的特殊性，許多問題都可以化歸為“雞兔同籠”問題。人教版教材“做一做”和練習中安排了類似的一些習題，讓學生拓寬對“雞兔同籠”問題的認識，讓學生進一步體會到這類問題在日常生活中的應用。同時這些問題通過轉化，都可以將其歸結為已經(jīng)解決的“雞兔同籠”問題類型，從而進一步求解，這就是化歸。

在計算以及解決問題時，有時就需要把條件進行變更、化歸，使原問題變更為一個更容易解決的問題。例如，解決問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年共織布680千米，其中甲車間比去年增產(chǎn)48%，乙車間比去年增產(chǎn)20%。今年甲、乙兩個車間各織布多少千米？這道題中兩個百分率所表示的單位1不同，難以下手進行直接轉化。但我們可以將原問題進行非等價變形，使它變成一個比較簡單的問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年甲、乙兩個車間都比去年增產(chǎn)20%。今年共織布多少千米？先解化歸后的問題，今年共織布520×（1+20%）=624（千米）?，F(xiàn)在將結果與原問題進行比較，發(fā)現(xiàn)比原問題中少織布680—624=56（千米）。而這56千米的差是由于甲車間增產(chǎn)的48%變?yōu)?0%所致，所以甲車間今年的織布數(shù)為56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙車間今年織布數(shù)為680—296=384（千米）。非等價變形指化歸前后兩個問題并不等價。但是，當解決了化歸問題之后，就能為解決問題提供解題線索和程序。解題思路是：假設兩個車間多織的百分率相同一找出織布千米數(shù)的差與對應百分數(shù)的差一求出對應百分數(shù)所在單位1的千米數(shù)。

盡管化歸方法在具體運用過程中有各種形式，但它的目標都指向一個，即使原問題化歸為一個容易解決的問題，而化歸后的問題解答目標又盡可能接近原問題解答的目標，這就是化歸法的本質(zhì)所在。

基本思想這一層面是數(shù)學思想的最高以及最核心的層面。處于下一層次的還有與具體內(nèi)容緊密結合的具體思想，如：數(shù)形結合思想、符號思想、方程思想、代換思想、對應思想（含量量對應、量率對應、數(shù)形對應、函數(shù)對應）、結構思想、模型思想、極限思想、統(tǒng)計思想、集合思想和數(shù)學美（對稱與和諧、簡單與明快、嚴謹與統(tǒng)一、奇異與突變）的思想等，以及數(shù)學思想之下統(tǒng)領的一些具體的方法。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區(qū)教師進修學校本專輯責任編輯：辛銘 王彬）