摘 要：數(shù)形結合是根據數(shù)量與圖形之間的關系，認識研究對象的數(shù)學特征、尋找解決問題的一種數(shù)學思想。本文結合具體事例，論述了在中職數(shù)學教學中應用數(shù)形結合的思想方法解決問題的直觀性、快捷性、奇異性和突破性。

關鍵詞：數(shù)學；數(shù)形結合；教學方法

數(shù)形結合的思想，簡而言之即對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應的幾何性質使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應圖形的數(shù)量關系使問題得以解決（以數(shù)助形）。數(shù)形結合是根據數(shù)量與圖形之間的關系，認識研究對象的數(shù)學特征、尋找解決問題的一種數(shù)學思想。

通常情況下，在應用數(shù)形結合思想方法解決問題時，往往偏重于“形”對“數(shù)”的作用，也就是經常地利用圖形的直觀性來解決某些數(shù)學問題。數(shù)形結合以解題的形象、直觀、快捷著稱，所以倍受師生的青睞。應用數(shù)形結合思想，就是充分考查數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，將數(shù)量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決。運用這一數(shù)學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征。本文結合具體實例闡述了數(shù)形結合教學的優(yōu)越性。

一、直觀性

在中職數(shù)學中，若要解決“判斷0.32，log20.3，20.3三個數(shù)間的大小順序”這類型的題目，我們要充分運用函數(shù)圖形的特點，將問題變得非常具有直觀性。這三個數(shù)我們可以看成三個函數(shù)：y1=x2，y2=log2x，y3=2x。在x=0.3時，所對應的函數(shù)值在同一坐標系內作出這三個函數(shù)的圖像（如圖1所示），從圖像可以直觀地看出當x=0.3時，所對應的三個點P1，P2，P3的位置，從而可得出結論： 20.3>0.32>log20.3。

二、快捷性

在計算“求函數(shù)y= + 的最小值”這類型的題目時，教師可教學生先考察式子特點。若從代數(shù)的角度求解，學生的思維會受阻，這時利用數(shù)形結合為轉化手段，引導學生探索函數(shù)背后的幾何背景，巧用兩點間距離公式，可化為 + = + ，令A（0，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉化為在x軸上求一點P，使│PA│+ │PB│有最小值。如圖2所示，由于AB在x軸同側，故取A關于x軸的對稱點C（0，-1），故（│PA│+│PB│）min=│CB│= =

又如例題“已知點P（x，y）在線性區(qū)域x？莛0y？莛03x+4y？燮12內，求（1）U= 的最小值；（2）V= 的值域?！崩脭?shù)形結合的思想，則由線性規(guī)劃可知P（x，y）在Rt△OAB內（包括邊界），Umin實質上是M（4，3）點到直線AB的距離 ；V的值域實質上是直線PM斜率的取值范圍[0，+∞），如圖3所示。

三、奇異性

在“解不等式│cosx│>│sinx│，x∈[0，2π]”此類題中，學生通常覺得這類題目的問題比較煩瑣，但教師若能引導學生運用函數(shù)的特點，則問題將變得非常容易，這充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的奇異性。我們可將不等式的兩邊表達式看成兩個函數(shù)y1=│cosx│，y2=│sinx│，在[0，2π]上作出他們的圖像（見圖4），得到四個不同的交點，橫坐標分別為： ， ， ， ，而當x在區(qū)間（0， ），（ ， ），（ ，2π）內時，y1=│cosx│的圖像都在y2=│sinx│的圖像上方。所以可得到原不等式的解集為：{x│0

又如解不等式sinx>- ，因為正弦線在單位圓中是用方向平行于y軸的有向線段來表示的，所以，我們可先在y軸上取一點P，使OP=- ，恰好表示x角的正弦線simx=- ，過點P作x軸的平行線交單位圓于點P1P2，在- ， 內，OP1，OP2分別對應于角 ，- ，這時所對應的正弦值恰好為- 。而要求sinx> - 的解集，只需將弦P1P2向上平移，使OP1，OP2重合，也即點P向上平移至與單位圓交點處，這樣OP1，OP2所掃過的范圍即為所求的角（圖5），從而，順利得出原不等式的解集為

x│2kπ-

四、突破性

像“設方程│x2-1│=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況”這種題目，是我們經常能見到的一種題目類型，要解方程是不可能的。但題目只要我們判斷方程解的個數(shù)，此時若能突破傳統(tǒng)的解方程思想，轉而利用圖形的觀點來處理問題，那么這類問題的解決將得變輕而易舉。利用數(shù)形結合的思想，可把這個問題轉化為確定函數(shù)y1=│x2-1│與y2=k+1圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù)y2=k+1表示平行于x軸的所有直線，從圖像（如圖6所示）可以直觀看出：

①當k<-1時， y1與y2沒有交點，這時原方程無解；

②當k=-1時， y1與y2有兩個交點，原方程有兩個不同的解；

③當-1

④當k=0時， y1與y2有三個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個；

⑤當k>0時，y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有兩個。

比如，解方程3x=2-x，由方程兩邊的表達式我們可以聯(lián)想起函數(shù)y=3x與y=2-x，若作出這兩個函數(shù)的圖像（圖7），這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4.

以上四個方面是數(shù)形結合的主要優(yōu)越性，在中職數(shù)學教學中，教師要多引導學生注意發(fā)揮圖象的功能，這樣有助于他們開拓思路，從而順利解決問題。

（作者單位：南雄市中等職業(yè)學校）

參考文獻：

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責任編輯 陳春陽