等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差為一個(gè)定值，其前n項(xiàng)和公式為[Sn=na1+n（n-1）2d].解答等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，通常需靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)，以及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).下面主要介紹解答等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的三個(gè)“妙招”.

一、巧用通項(xiàng)變號(hào)法

我們知道，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為[an=a1+（n-1）d]，當(dāng)d＞0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)[an]隨n的增大而增大；當(dāng)d＜0時(shí)，[an]隨n的增大而減小.一般地，當(dāng)a1gt;0，dlt;0時(shí)，若[am≥0，am+1≤0，]則Sn的最大值為Sm；當(dāng)a1lt;0，dgt;0時(shí)，若[am≤0，am+1≥0，]則Sn的最小值為Sm.運(yùn)用通項(xiàng)變號(hào)法求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，需判斷a1、d、[am]、[am+1]的符號(hào)，進(jìn)而確定m的值.

例1.若等差數(shù)列[an]的首項(xiàng)[a1]為負(fù)數(shù)，數(shù)列的前5項(xiàng)和與數(shù)列的前13項(xiàng)和相等，問(wèn)：等差數(shù)列[an]的前幾項(xiàng)和最小.

解：由題意可知[S5=5a1+10d=S13=13a1+78d]，

解得[d=-217a1]，且d＞0，

則[amlt;0，am+1gt;0，amam+1]＜0，

由[am≤0，am+1≥0，]得[-217a1m-192lt;0，-217a1m-172gt;0，]

解得[192gt;mgt;172].

由于m為正整數(shù)，則m=9，

所以數(shù)列[an]的前9項(xiàng)和最小.

我們需先根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立a1與d之間的關(guān)系，以明確a1、d的符號(hào)；再利用通項(xiàng)變號(hào)法，由[am≤0，am+1≥0，]確定m的取值，從而求得數(shù)列[an]的最小值.

例2.在等差數(shù)列[an]中，[a1lt;0]，[S8=S11]，則等差數(shù)列的前多少項(xiàng)和最?。?/p>

解：因?yàn)閇S8=S11]，所以8[a1]+28d=11[a1]+55d，

解得[d=-a19]，[a1lt;0]，則d＞0，

假設(shè)等差數(shù)列[an]的前m項(xiàng)和[Sm]最小，

則[am≤0，am+1≥0，]即[am=a1+（m-1）d≤0，am+1=a1+md≥0，]

將[d=-a19]代入，可得[a19（10-m）≤0，a19（9-m）≥0，]

由于[a1lt;0]，則[9≤m≤10].

由于m為正整數(shù)，所以m=9或m=10，

即等差數(shù)列[an]的前9項(xiàng)和或前10項(xiàng)和最小.

運(yùn)用通項(xiàng)變號(hào)法求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，關(guān)鍵在于判斷a1、d的符號(hào)，根據(jù)[am]、[am+1]與0之間的關(guān)系來(lái)確定m的取值.

二、妙用函數(shù)性質(zhì)法

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為[Sn=na1+n（n-1）2d]，也可寫成[Sn=d2n2+（a1-d2）n]，那么等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可視為關(guān)于n的二次函數(shù).在求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題時(shí)，便可直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性來(lái)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.

例3.設(shè)[Sn]是公差為[d（d≠0）]的無(wú)窮等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是[（] [）].

A. 若[dlt;0]，則數(shù)列[Sn]有最大項(xiàng)

B. 若數(shù)列[Sn]有最大項(xiàng)，則[dlt;0]

C. 若數(shù)列[Sn]是遞增數(shù)列，則對(duì)任意[n∈N*]均有[Sngt;0]

D. 若對(duì)任意[n∈N*]均有[Sngt;0]，則數(shù)列[Sn]是遞增數(shù)列

解：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得[Sn=d2n2+（a1-d2）n]，

對(duì)于選項(xiàng)A，若[dlt;0]，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列[Sn]有最大項(xiàng)，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，若數(shù)列[Sn]有最大項(xiàng)，則對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向下，則[dlt;0]，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，若數(shù)列[Sn]是遞增數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向上，但不一定有任意[n∈N*]，均有[Sngt;0]，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，若對(duì)任意[n∈N*]，均有[Sngt;0]，對(duì)應(yīng)的拋物線開(kāi)口向上，則[dgt;0]，可得數(shù)列[Sn]是遞增數(shù)列，故D選項(xiàng)正確.故本題選C選項(xiàng)．

將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式用[Sn=d2n2+（a1-d2）n]表示，即可將其視為二次函數(shù)，討論其開(kāi)口方向和單調(diào)性，便能快速解題.

三、數(shù)形結(jié)合

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[Sn=d2n2+（a1-d2）n]，可以快速畫出函數(shù)的圖象，討論a1、d的符號(hào)，以及對(duì)稱軸[n=-a1-d2d]的位置，便可直接根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最值.

例4.已知等差數(shù)列[an]的公差d＜0，[a1lt;0]，若[Sm]=[Sk]，則數(shù)列[an]的前多少項(xiàng)和最大.

解：因?yàn)閇a1lt;0]，則函數(shù)的圖象的開(kāi)口向下.

（1）當(dāng)m+k的和為偶數(shù)時(shí)，[m+k2]為正整數(shù)，

由圖1可知等差數(shù)列[an]的第[m+k2]項(xiàng)和最大；

（2）當(dāng)m+k的和為奇數(shù)時(shí)，[m+k2]不為整數(shù)，

由圖2可知數(shù)列的第[m+k-12]或[m+k+12]項(xiàng)和最大.

[x][k][i][m][y][x][k][i][m][y][j][O][O]

圖1" " " " " " " " " "圖2

我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式視為二次函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象，便可根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值.而自變量n為正整數(shù)，則需找出離對(duì)稱軸最近的正整數(shù).將等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問(wèn)題來(lái)求解，能夠使問(wèn)題變得具象化、簡(jiǎn)單化，這有利于提升解題的效率.

總之，解答等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，需從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式入手，靈活運(yùn)用通項(xiàng)變號(hào)法、函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)求最值.

（作者單位：甘肅省慶陽(yáng)第一中學(xué)）