曹雪平

摘 要：中考數(shù)學綜合復習的目的是在短時間內(nèi)幫助學生熟練掌握所學知識，為進一步地學習打好基礎。“變式訓練”是實現(xiàn)這一目標的方法之一。作者從概念、結(jié)構(gòu)、題目、方法、思維五個方面進行變式訓練，從邏輯推理上演繹出一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題、探究創(chuàng)新及靈活多變的思維能力。

關鍵詞：中考數(shù)學復習 變式訓練 選題

中考數(shù)學復習是初中學生進行系統(tǒng)學習的最后階段，總復習的效果直接影響著學生對數(shù)學知識的掌握程度。調(diào)動學生復習的主動性和積極性，是提高復習效率的關鍵。由于總復習是知識的再現(xiàn)過程，學生容易產(chǎn)生厭倦心理，如何上好復習課，使學生易于接受，樂于接受？老師要吃透《數(shù)學課程標準》，掌握課程考試綱要，熟練駕馭教材，注重變式訓練，讓數(shù)學課堂在變中出彩。

數(shù)學學習貫穿兩條主線，即數(shù)學知識和數(shù)學思想方法?！白兪接柧殹碧N含著豐富的數(shù)學思想和方法，更貼近學生的思想認識水平，符合常人的思維習慣，同樣也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。復習時要讓學生熟練掌握通用方法和規(guī)律，并能夠靈活應用，而對那些適用面窄、局限性大的特殊技巧應予以淡化，以免削弱復習和訓練的效率。在初中數(shù)學中，常用的數(shù)學思想有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、整體思想等，應在解決問題的過程中加以揭示、運用和提煉，并在專題復習階段進一步系統(tǒng)化。對于常用于數(shù)學解題的配方法、換元法、待定系數(shù)法等通法，盡管各自有其不同的特點和應用范圍，但它們都是解決數(shù)學問題的強有力的工具，應在基礎知識復習階段進行滲透、解釋和運用，并在專題復習階段進行系統(tǒng)化的訓練，要注意積累一些常規(guī)的解題方法，形成常規(guī)的解題意識和能力。下面是我在初三數(shù)學復習教學中的做法，供大家參討。

一、通過正例變式突出概念的本質(zhì)屬性

一般意義上的教學變式主要包括兩類：一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式，可以根據(jù)其在教學中的作用分為概念的標準變式和非標準變式；另一類是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式。

和一般科學概念一樣，數(shù)學概念是一種外延性概念，也就是說，每個概念都有一個明晰的邊界，掌握概念意味著能夠通過內(nèi)涵去確定一個具體的對象是否在這個邊界內(nèi)。因此，教學的一種有效途徑就是將概念的外延作為變異空間，將其所包含的對象作為變式，通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。

在概念的對象集合中，盡管從邏輯的角度看，每個對象都是等價的，但實際上，這些對象在學生的概念理解系統(tǒng)中的地位并不相同。特別的，其中一些對象由于擁有“標準的”形式，或者受到感性經(jīng)驗的影響，或者在引入概念時的“先入為主”等原因，而成為所謂的標準變式。

在這兩種正例變式中，標準變式雖然有利于學生對概念的準確把握，但也容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個問題的方法之一就是充分利用非標準變式，通過變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。

二、通過反例變式明確概念的外延

概念的內(nèi)涵與外延是對立而統(tǒng)一的，內(nèi)涵明確則外延清晰。因此，概念的教學除了在內(nèi)涵上下工夫外，還應該使學生對概念所包含的對象集合有一個清晰的邊界。

這類反例變式一般有兩個來源：一是來自概念之間的邏輯關系；二是基于學生常見的錯誤。教師運用反例變式進行概念教學，一方面可以幫助學生建立相關概念之間的聯(lián)系，另一方面也可以預防或者澄清學生在概念理解時可能出現(xiàn)的混淆，從而確切地把握概念變式的本質(zhì)特征。

反例變式的另一種形式是讓學生舉出不合某屬性的例子。例如，命題“各邊都相等的多邊形是正多邊形”是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉一反例。在去掉本質(zhì)屬性“各角相等”后，學生需要對各邊都相等的多邊形進行多次的檢驗、選擇、批判，從而明白哪些是本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，再舉出反例。在這一思考過程中，學生思維的批判性和創(chuàng)造性都會得到很好的培養(yǎng)。

總之，在數(shù)學概念的形成過程中，正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“純潔”概念，從而盡可能避免非本質(zhì)屬性泛化的錯誤，使數(shù)學概念的概括精確化，提高概念教學的有效性。

可見，數(shù)學教師運用變式來進行概念教學的基本特征是：通過各種概念之間，以及正例變式與反例變式之間的差異與聯(lián)系來把握概念的內(nèi)涵與外延，實現(xiàn)對概念的多角度的理解，從而引導學生對概念進行靈活變換，使學生觸類旁通、舉一反三，進而“減負增效”，提高數(shù)學概念課堂的有效性。

三、變通知識結(jié)構(gòu)，整理知識脈絡

數(shù)學教材是按循序漸進、螺旋式上升的原則進行編排的，復習時若再按章節(jié)一一回顧知識要點，學生就會覺得枯燥乏味，心生厭煩，也不利于知識系統(tǒng)的形成。心理學研究表明新鮮事物容易使人產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心、求知欲?？倧土曤A段學生已經(jīng)失去了上新課時的那種熱情和新鮮感，因此，教師要調(diào)整知識結(jié)構(gòu)，讓知識以另一副面孔呈現(xiàn)。

根據(jù)學生的認知規(guī)律，教材在內(nèi)容編排上往往把某些知識分散介紹。在總復習時，應將這些知識運用通性通法進行系統(tǒng)整理，給學生以整體全面的知識結(jié)構(gòu)體系。例如，方程、不等式與函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，看似相互獨立的三塊知識結(jié)構(gòu)，實際上是緊密聯(lián)系、相輔相成的教學內(nèi)容。在復習一次函數(shù)時，可利用圖像闡明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之間的聯(lián)系。而復習二次函數(shù)時，可利用圖像闡明它和一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系。這樣的知識整理可讓學生對函數(shù)、方程、不等式有更全面的理解，在對舊知識進行梳理時，要進行多角度的審視，而不是機械地重復，讓學生在耳目一新的同時，體會數(shù)學的緊密性、邏輯性和嚴謹性。

四、改編題目條件，實現(xiàn)知識遷移

題目變化包括條件的探究，即增加、減少或改變條件；結(jié)論的探究，即結(jié)論是否唯一；引申探究，即命題是否推廣；數(shù)與形的探究，等等。利用此類變式方法，可以使學生掌握一類題的解法，即解題通法。其實解題不僅可以查漏補缺，檢查知識的掌握情況，而且能夠通過解題提煉出解題方法，解題技巧，培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題、探究創(chuàng)新、靈活多變的思維能力。

例如：如圖1，正方形ABCD中，E、F在邊BC、CD上，且滿足∠EAF=45°，探索線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系并說明理由.

點撥：說明三條線段的數(shù)量關系，在圖形準確的情況下，我們可通過初步測量其長度，尋找其關系。在得出三者的和差關系后，說理時，可采用“截長補短”的方法。例如：可延長CB到G使BG=DF，通過證明△AGB≌△AFD和△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

變式1.靜動轉(zhuǎn)換

把一無限大等腰直角三角板的銳角頂點放在A頂點處，三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD或其延長線相交于E、F點，當三角板繞點A旋轉(zhuǎn)時，上例的結(jié)論還成立嗎？

當三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD相交于E、F點時，結(jié)論BE+FD=EF成立；當三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD延長線相交于E、F點時，結(jié)論不成立，變?yōu)閨BE-FD|=EF.

變式2.條件與結(jié)論轉(zhuǎn)換

把例中BE、EF、FD關系與∠EAF=45°互換，命題還是真命題嗎？

變式3.弱化題設

如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別在BC、CD上，且滿足∠EAF=∠BAD.

探究原結(jié)論是否成立.

點撥：題中∠EAF=∠BAD，可轉(zhuǎn)化為∠EAF=∠BAE+∠FAD，仍采用例1的解法，即延長EB到G使BG=DF，由∠B+∠D=180°，∠ABE+∠ABG=180°，得出∠D=∠ABG，再通過證明△AGB≌△AFD得出∠BAG=∠DAF，進而得出∠FAE=∠EAG，再通過證明△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

事實上，許多課本習題是編寫者精心篩選、匠心獨運命制而成的，具有豐富的內(nèi)涵，平時解題時應引導學生進行解題反思。既要反思題目的條件與結(jié)論之間因果關系能否交換，又要注意命題條件能否等價的更換，結(jié)論能否拓展、引申與推廣，圖形的結(jié)構(gòu)能否發(fā)生變化，怎樣變化？從而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方法的變通。總結(jié)的過程需要運用許多相關知識，因此，有的學生不愿意在這方面下工夫，而忽略了它，但真正做起來就會覺得其妙無窮，因為總結(jié)解決的不只是解一道題，更為重要的是學生在這一過程中會參與創(chuàng)造性思維活動，這一點絕非單純地解多少道題目所能比及的，如果教師能引導學生認真做好解題后的反思總結(jié)，橫穿縱拓地探索，必能激起學生探求數(shù)學奧秘的動機，對數(shù)學學習產(chǎn)生濃厚興趣。久而久之，就可以讓學生學到總結(jié)歸納的方法，收到“做一題，通一類，會一片”，舉一反三、觸類旁通的功效。

五、變換解題方法，感受數(shù)學思想

對于解題方法而言，當從某個角度難以入手時，可以換一個角度。對各種思路、方法分析比較，是形成創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的源泉。通過有意識地精選可用多種思路來完成的典型題，利用方法變通，可幫助學生找到解題的“切入點”，領會數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，掌握換元法、配方法、待定系數(shù)法等常用數(shù)學方法。

例如：關于x的一元二次方程x-2x+a=0有解的條件是.

分析：這題是直接考查一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有解，滿足2-4a≥0，即a≤1.

變式：（1）關于x的一元二次方程ax-2x+1=0有解的條件是；

（2）關于x的方程ax-2x+1=0有解的條件是；

（3）二次函數(shù)y=ax-2x+1與x軸有交點的條件是；

（4）函數(shù)y=ax-2x+1與x軸有交點的條件是.

我預先把題抄到小黑板上，讓每個同學都積極思考，在分組討論，比較四小題關系，讓他們都能體驗自己的成功，課堂因不同的方法而變得精彩。

六、變換思維方式，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

“數(shù)學是訓練思維的體操”。思維變通往往指的是以上幾種變通的綜合，尤其是題目變式和方法變化。在中考數(shù)學復習教學過程中，利用此類變式問題可以培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性和發(fā)散性，從而更好地挖掘?qū)W生的潛能，提高學生的綜合素質(zhì)。

例如：如圖3，在小河l的同側(cè)有牛欄A和草地B，牛每天要先到河邊飲水，然后到草地吃草。請問牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

這是一道典型的幾何作圖試題，它涉及軸對稱、兩點之間線段最短、尺規(guī)作圖等數(shù)學知識，若將這道題稍加變式，則能激起學生更大的思維浪花。

變式1：一束光線從x軸上點A（1，0）出發(fā)，經(jīng)過y軸上點P反射后經(jīng)過點B（4，6），則點P坐標.

變式2：在上題中，試在y軸上找一點P，使PB-PA的值最大，則點P坐標.

變式3：在y軸上試在y軸上找一點C，使CB+CA的值最小，則點C坐標.

思路分析：若P、A、B不在一直線上，則PB-PA＜AB；若P、A、B在一直線上，則PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB，其最大值為AB，求出直線AB與y軸的交點即P點.變式3可用類似的方法求得C坐標。在展示這道變式題時學生的興致很高，尤其是基礎比較扎實、成績比較優(yōu)秀的學生，收效甚好。

在變式探究過程中，學生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因奧妙精彩的變化而達到高潮。教學的關鍵不是記住結(jié)論，而是經(jīng)歷探究的過程，感受數(shù)學的研究方法，促進數(shù)學能力的提高，只有在運用通性通法進行不斷變式演練的過程中，才能提高解題能力。教師通過變式教學，有意識、有目的地引導學生從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可使學生思維在所學知識中游刃有余，順暢飛翔。

在總復習中，教師不能將新題型的復習游離于通性通法之外，應重視選題和變式訓練，通過變式訓練幫助學生多角度理解知識，掌握數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想和方法，從而達到靈活運用的目的。挖掘每個數(shù)學問題的“營養(yǎng)價值”，達到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會貫通”的效果，是數(shù)學教師錘煉自身內(nèi)功的一個追求目標，例題、習題要體現(xiàn)通性通法，既包含數(shù)學思想方法，又適量“難、新、活、寬”，做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏，從而使數(shù)學課堂在“變”中出彩。