陶漢斌

■ 例題（2010重慶）小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng). 當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地. 如圖所示. 已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為■d，重力加速度為g. 忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力.

（1） 求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2.

（2） 問(wèn)繩能承受的最大拉力多大？

（3） 改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？

■ 解析（1） 設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有

豎直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由機(jī)械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mg■d

解得v2=■

（2） 設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=■d

由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有

T-mg=■

得T=■mg

（3） 設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v3，繩承受的最大推力不變，

有T-mg=■得v3=■

繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d-l，水平位移為x，時(shí)間為t1

有d-l=■gt21x=v3t1

得x=4■

當(dāng)l=■時(shí)，x有極大值，xmax=■d

【破解考點(diǎn)一】 在第一小題的解答中，考查平拋運(yùn)動(dòng)中的獨(dú)立性原理以及機(jī)械能守恒律.

【變式一】 如圖所示，一小球從一定的高度h以一定的初速度v做平拋運(yùn)動(dòng)，求小球落地時(shí)的速度大小.

【提純】 此題的純平拋運(yùn)動(dòng)的基本模型，可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)或能量的觀點(diǎn)進(jìn)行求解.

【解析】 方法一：小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)

v2y=2gh

小球落地時(shí)的速度

v′=■=■

方法二：小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒

■mv2+mgh=■mv′2

解得v′=■

【點(diǎn)評(píng)】 力與運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)以及能量的觀點(diǎn)是高中物理的兩條主線.

【破解考點(diǎn)二】 此題的第二小題考查圓周運(yùn)動(dòng)的基本模型——繩的模型.

【變式二】 如圖，長(zhǎng)1 m只能承受74 N拉力的繩子，拴著一個(gè)質(zhì)量為1 kg的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)中小球在最低點(diǎn)時(shí)繩子斷了，求繩子斷時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的速度多大？

【提純】 圓周運(yùn)動(dòng)的基本問(wèn)題就是通過(guò)受力分析求出向心力.

【解析】 在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)小球受力分析

T-mg=m■

解得v=8 m/s

【點(diǎn)評(píng)】 求解圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題關(guān)鍵是列出供需平衡的方程F=m■.

【總結(jié)】 本題考查了曲線運(yùn)動(dòng)中的圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)兩個(gè)基本模型，是兩個(gè)過(guò)程相鏈接的過(guò)程型綜合題，需要我們熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的解題方法.