葉提芳

摘 要 本文分別采取冪級(jí)數(shù)展開式的方法、隨機(jī)數(shù)的方法、數(shù)值積分的方法和公式法結(jié)合Matlab程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)圓周率的近似計(jì)算，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，比較每種方法的近似程度的高低，實(shí)現(xiàn)了Matlab實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)理論的很好結(jié)合。

關(guān)鍵詞 Matlab實(shí)驗(yàn) 圓周率 冪級(jí)數(shù) 隨機(jī)數(shù) 數(shù)值積分

中圖分類號(hào)：TP312 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Some Methods of Approximatively Calculating Using Matlab Experiments

YE Tifang

(Industrial and Commercial College, Wuhan Polytechnic University, Wuhan, Hubei 430065)

Abstract In this paper, we used expanding power series, random number, numerical integration and formula methods combining matlab experiments to achieve the approximate value of. Then, we analyzed the experiments results, and compared the degree approximation of every method. It achieved the satisfying results of combination withMatlab experiment and mathematics theory.

Key words Matlab experiments; ; power series; random number; numerical integration

古今中外，歷史上有許多人積極致力于圓周率的研究與計(jì)算。我國(guó)的劉徽用正3072邊形得到小數(shù)點(diǎn)后的5位精度值,Ludolph Van Ceulen用262正邊形得到了小數(shù)點(diǎn)后的35位精度值。這種方法雖然經(jīng)典，但相當(dāng)耗時(shí)。20世紀(jì)，很多數(shù)學(xué)家采取級(jí)數(shù)來近似計(jì)算圓周率的方法，已經(jīng)能把圓周率近似計(jì)算精確到了上億位，可以說，我們對(duì)圓周率的近似計(jì)算研究已經(jīng)相當(dāng)成熟。本文試在利用Matlab實(shí)驗(yàn)和高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，分別采取冪級(jí)數(shù)展開式的方法、隨機(jī)數(shù)的方法、數(shù)值積分的方法和公式法結(jié)合Matlab程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)圓周率的近似計(jì)算。

1 利用冪級(jí)數(shù)展開式的計(jì)算方法

設(shè)是以2 為周期的周期函數(shù)，在[- , )上的表達(dá)式如下：

顯然，為奇函數(shù)，利用我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)冪級(jí)數(shù)一章知識(shí)①，可以將其展開為正弦級(jí)數(shù)為：= 4

當(dāng)我們?nèi)?= 時(shí)，得到一數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4，因?yàn)?，則有4 =，求其部分和為 = 4，顯然有 =，下面我們分別給出 = 1000,10000,50000時(shí)，利用Matlab程序求得的 的近似值。程序如下：

>> s=0;

>> n=50000;

>> digits(22)

>> for k=1:n

s=s+(-1)^(k-1)/(2*k-1);

end

>> s=vpa(4*s,20)

s =

3.1415726535897814387

= 1000,10000,50000時(shí)， 的近似值如下：

2 采取隨機(jī)數(shù)的近似計(jì)算方法

設(shè)一制作均勻的冰激凌可以看做是由圓錐面 = 和球面 ++ （）2= 1圍成②。我們利用積分知識(shí)求得它的體積為：

其中。

我們還可以采取隨機(jī)數(shù)的方法，由于所求錐形體可表示為：= {（）| + ≤ （）,+ ≤}，

它位于長(zhǎng)方體 = {（）|-1≤≤1}內(nèi)部，該長(zhǎng)方體體積為8，往長(zhǎng)方體內(nèi)部隨機(jī)投點(diǎn)個(gè)，然后統(tǒng)計(jì)錐形體內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)，則≈ ≈8祝因?yàn)橛?jì)算結(jié)果帶有隨機(jī)性，我們用十次重復(fù)的計(jì)算作比較，下面為N取100000時(shí)，用Matlab近似 的程序：

>> for k=1:10

r=rand(100000,3);

x=2*r(:,1)-1;

y=2*r(:,2)-1;

z=2*r(:,3);

fl=x.^2+y.^2;

p(k)=8*sum(fl-z.*z<=0&fl-z.*(2-z)<=0)/100000;

end

>> p

運(yùn)行程序，得到 的近似值如下：

3.11363.12003.10003.16963.15603.12483.14643.09203.20003.1752

當(dāng)取5000000時(shí)，運(yùn)行程序，得到的 的近似值如下，可見近似程度是較好的：

3.14293.14293.14373.14053.14183.13973.13983.14093.14323.1430

從計(jì)算結(jié)果看：這種方法雖然簡(jiǎn)單可行，但收斂的速度慢，距離真實(shí)值誤差較大。

3 利用定積分 = 近似計(jì)算

根據(jù)定積分的定義，（積分的結(jié)果和區(qū)間的分法及的取法無關(guān)，現(xiàn)在采取特殊分割和特殊取法不影響結(jié)果）將區(qū)間[0,1]分成等份，在每個(gè)小區(qū)間上，選取中點(diǎn)為，有

程度如下：

>> n=1000;

>> i=0:1/n:1;

>> s=0;

>> for k=1:length(i)-1

s=s+(1/(1+((i(k)+i(k+1))/2)^2))*1/n;

end

>> vpa(4*s,20)

運(yùn)行程序，得到的 的近似值為3.1415927369231306798，可見，近似程度已經(jīng)很可觀了。

4 其它方法

我們知道 = ,= ,…= （重根號(hào)），即 = ，由此我們得到韋達(dá)公式 = …，據(jù)此= 2/（…），

我們編寫Matlab程序如下（下面為計(jì)算式分母中取前10項(xiàng)乘積的程序）:

a=sqrt(2);

>> s=1;

>> for i=1:10

s=(s*a)/2;

a1=sqrt(2+a);

a=a1;

end

>> vpa(2/s,20)

運(yùn)行程序，得到結(jié)果：3.1415914215111997443。當(dāng)計(jì)算式分母中取前100項(xiàng)乘積時(shí)，運(yùn)行程序，得到結(jié)果：3.1415926535897932385，可見，這種方法收斂速度快，近似精度高。

注釋

① 高純一,周勇.高等數(shù)學(xué)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2006:249-259.

② 李繼成.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2006:92.